例談中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透
——等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

◆楊 薇

(麗水市職業(yè)高級(jí)中學(xué))

例談中職數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透
——等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

◆楊 薇

(麗水市職業(yè)高級(jí)中學(xué))

針對(duì)中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，結(jié)合教材，提出數(shù)形結(jié)合借助圖形，推導(dǎo)等差數(shù)列前N項(xiàng)和求和公式以及結(jié)合中職學(xué)生思維的依賴性，遲緩性，被動(dòng)性等特點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的方法類比面積公式記憶求和公式。通過(guò)以形助數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、激勵(lì)學(xué)習(xí)信心。

數(shù)形結(jié)合 思想方法 中職生 等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式 應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想方法，其本質(zhì)就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此數(shù)形結(jié)合是提高中職學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維能力的非常有效的途徑。

下面以《等差數(shù)列前N項(xiàng)和公式推導(dǎo)》教學(xué)為例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想如何在教學(xué)中進(jìn)行滲透。

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)易于“數(shù)形結(jié)合”的情境

欣賞一段視頻——泰姬陵，泰姬陵是全部用白色大理石建成的宮殿式陵園，傳說(shuō)她的陵寢中有面大理石墻壁，墻壁上有一個(gè)等邊三角形的圖案，用了相同大小的圓寶石鑲嵌而成的(如圖)，一共有100層，那么你能計(jì)算出這100層一共有多少顆寶石嗎？

創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境是激活學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，是調(diào)動(dòng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)的有效方法。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用“首尾配對(duì)”的方法來(lái)求和

1+2+3+4+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050

雖然可以求出答案，但是他們對(duì)這種“首尾配對(duì)”方法的認(rèn)識(shí)僅僅還是處于模仿、記憶的階段，不能靈活的運(yùn)用。為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了問(wèn)題一。

環(huán)節(jié)二：等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

1.問(wèn)題一：這個(gè)全等三角形的圖案中，第1層到第15層一共有多少顆寶石？

這是一個(gè)求奇數(shù)項(xiàng)和的問(wèn)題，如果只是簡(jiǎn)單的使用“首尾配對(duì)”將不能直接給出答案，而要將奇數(shù)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項(xiàng)求解，進(jìn)而引申出一個(gè)問(wèn)題：求若干個(gè)前自然數(shù)之和是不是需要看其項(xiàng)數(shù)的奇偶呢？即求1+2+3+……+n需討論n的奇偶呢？而對(duì)于這種需要分類討論的問(wèn)題中職生們往往望而卻步，不知從何下手，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有更簡(jiǎn)捷的做法？

利用多媒體課件的進(jìn)行直觀演示：把全等的一個(gè)三角形倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生觀察思考。

回憶初中學(xué)過(guò)的三角形面積公式的推導(dǎo)，補(bǔ)上一個(gè)全等的三角形就變成了平行四邊形，那每層的個(gè)數(shù)都相等(1+15=16)，共有15層，非常直觀，容易的得出算法。這種借助幾何圖形的直觀特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，從而求出答案。這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的最好滲透，具體、直觀，體現(xiàn)的恰到好處。

2.問(wèn)題二：圖案中從第1層到第n層(1

從求確定具體的的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，目的在于讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法。

問(wèn)題三：在公差為d的等差數(shù)列中，定義前n項(xiàng)和為，如何求？

聯(lián)想到練習(xí)題中堆木料的例子，從直觀的圖像出發(fā)，把等差數(shù)列“看成”一個(gè)梯形，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從一個(gè)數(shù)列“配對(duì)”的方法發(fā)展到兩個(gè)數(shù)列的“配對(duì)”，為“倒序相加方法”做一個(gè)鋪墊。

如圖所示：

幾何圖形能非常直觀地啟發(fā)學(xué)生的推導(dǎo)思路，幫助理解知識(shí)，因此作為中職的數(shù)學(xué)老師在平時(shí)的教學(xué)中，更要鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)意識(shí)，學(xué)會(huì)用圖來(lái)幫助理解數(shù)，真正的學(xué)活起來(lái)。

本環(huán)節(jié)從數(shù)形結(jié)合的角度設(shè)計(jì)一系列的問(wèn)題，目的也就是引導(dǎo)學(xué)生從“形”出發(fā)探究等差數(shù)列求和公式，避免了用首尾相加的方法要討論的項(xiàng)數(shù)的奇偶問(wèn)題，更直觀形象的推導(dǎo)出求和公式，也為后面公式的記憶奠定了基礎(chǔ)。

環(huán)節(jié)三：類比梯形面積公式記憶求和公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的魅力

教師可做適當(dāng)?shù)奶崾疽龑?dǎo)聯(lián)想到將兩個(gè)公式與梯形面積公式建立聯(lián)系。將求和公式1與梯形面積公式建立聯(lián)系，其實(shí)初中所學(xué)的梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。

公式2與梯形面積的另一種推導(dǎo)方法相類比。用“割”的方法，把梯形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，所求梯形面積就是這兩部分面積之和。

借助圖形的輔助，充分利用圖形直觀形象的特點(diǎn)，類比著記憶數(shù)學(xué)公式，不僅可以激發(fā)中職生的學(xué)習(xí)興趣，還能更有效地提高學(xué)習(xí)效率。這種采用形狀記憶法的好處就是圖形和公式互相印證，互相提醒。用這種方法記憶數(shù)學(xué)公式，學(xué)生不僅便于理解，而且記憶特別深刻。同時(shí)，有了圖形的介入，學(xué)生不需要死記硬背，對(duì)公式的理解加深了，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣也得到了提高，公式的記憶自然也就更高效了。

環(huán)節(jié)四：變式練習(xí)，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想

一個(gè)筆架，最下面一層放10支筆，往上每一層都比它下面

一層多放5支，最上面一層放90支．這個(gè)筆架上共放著多少支筆？

學(xué)生獨(dú)立完成變式訓(xùn)練題，提高了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型的能力，也強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，滲透等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式結(jié)構(gòu)的類比記憶達(dá)到了對(duì)求和公式的辨析應(yīng)用效果，進(jìn)一步加深了數(shù)形結(jié)合這一思想方法的印象。

本課例“潤(rùn)雨細(xì)無(wú)聲式”的滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合這一基本數(shù)學(xué)思想有了更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，充分的體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合所帶來(lái)的魅力。利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，繞過(guò)一些學(xué)習(xí)障礙，使得許多學(xué)生不易理解的問(wèn)題變得明了了。通過(guò)以形助數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；借助于幾何直觀類比記憶公式，真正掌握公式。

縱觀整個(gè)中職數(shù)學(xué)教學(xué)，大部分都是在數(shù)形結(jié)合的思想指引下展開(kāi)的，只有靈活、有效的用好數(shù)形結(jié)合這個(gè)工具，才能真正理解、掌握、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維能力和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及學(xué)生的邏輯思維能力和形象思維能力。相信長(zhǎng)此以往一定能樹(shù)立起中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

[1]韋中慶.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.中學(xué)教學(xué)參考，2011.

[2]王佳燈．?dāng)?shù)形結(jié)合解題中要注意的幾個(gè)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2005，(5)．

[3]張宏良.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，(3)：24.

[4]康小玲.數(shù)形結(jié)合法.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002，(5)：46.