深化數(shù)學(xué)概念理解的要求與策略

戴厚祥　呂長春

“概念”是用符號(hào)來標(biāo)志的具有共同的關(guān)鍵屬性的一類事物或特性。概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，學(xué)習(xí)概念有利于促進(jìn)思維，提高小學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力；學(xué)習(xí)概念有利于簡化知識(shí)，使小學(xué)生的知識(shí)更加條理化；學(xué)習(xí)概念有利于豐富知識(shí)，為學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新儲(chǔ)備能量，總之教給學(xué)生正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本。

“理解”是指對(duì)所學(xué)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí)，能夠用語言表述它的確切含義，知道它的用途及與其他知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別。“知道”是指對(duì)所學(xué)知識(shí)有感性的初步的認(rèn)識(shí)，能夠說出它所指的是什么，并能識(shí)別它。“理解”是比“知道”更高層次的抽象的思維活動(dòng)。

新課程下，我們不難見到由于一味地過度追求生活化、趣味化和教學(xué)的流暢，淡化了數(shù)學(xué)教育最為本質(zhì)的特征——數(shù)學(xué)化，“浮光掠影”式的概念教學(xué)屢見不鮮，表面的喧鬧替代了學(xué)生本應(yīng)進(jìn)行的深層次的思考，因?yàn)槿狈ι羁痰睦斫?，學(xué)習(xí)效果令人擔(dān)憂。學(xué)生理解概念應(yīng)達(dá)到以下三點(diǎn)要求：①明確概念的內(nèi)涵和外延。②明確這個(gè)概念和其他一些概念的關(guān)系。③能正確運(yùn)用概念。概念的掌握是一種特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，需要經(jīng)歷復(fù)雜的心理過程，教師必須遵循學(xué)生掌握概念的心理過程和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，充分發(fā)揮表象的“中介”作用，讓學(xué)生利用表象作“渡船”，從感知的此岸順利到達(dá)抽象思維的彼岸。

下面筆者以蘇教版數(shù)學(xué)教科書第九冊(cè)《循環(huán)小數(shù)》為例，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深刻理解的幾點(diǎn)做法。循環(huán)小數(shù)的定義字?jǐn)?shù)多且拗口，學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)的意義較難理解，表達(dá)它的確切含義更加困難，怎樣引導(dǎo)、促進(jìn)學(xué)生深刻理解循環(huán)小數(shù)的意義？我主要采取以下幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)：

一、豐富感知，深化概念的表象

感性知識(shí)是理性知識(shí)的源泉，理解知識(shí)必須在感性知識(shí)的基礎(chǔ)上才能形成。感性知識(shí)愈豐富、愈完善，理性知識(shí)也就愈順利、愈牢固。因此我們必須先將抽象的知識(shí)“物化”，讓學(xué)生通過操作、觀察，逐步領(lǐng)會(huì)和理解，“內(nèi)化”為頭腦里的知識(shí)。這一階段主要是讓學(xué)生通過感知活動(dòng)，獲得感性認(rèn)識(shí)，形成表象基礎(chǔ)。

1、引導(dǎo)學(xué)生觀察。觀察是一種有意識(shí)、有目的的知覺活動(dòng)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)。教師用簡明的語言指導(dǎo)學(xué)生觀察，告訴學(xué)生注意觀察什么并且啟發(fā)學(xué)生把眼前看到事物和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，正確理解所觀察的事物，如教學(xué)中教師首先讓學(xué)生注意觀察一組動(dòng)物圖片出示的規(guī)律，讓學(xué)生猜猜后面的圖片會(huì)怎樣出現(xiàn)？在圖片后面添上“……”表示的意思是什么？讓學(xué)生初步感知“依次不斷”、“重復(fù)出現(xiàn)”等詞的含義。

2、聯(lián)系生活感悟。學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一些感性知識(shí)，教者可以聯(lián)系學(xué)生的實(shí)踐，通過形象的語言描述喚起學(xué)生的回憶，使學(xué)生通過形成的表象重現(xiàn)，并且激發(fā)學(xué)生的想象，作為建立新概念的基礎(chǔ)。如讓學(xué)生舉例說說生活中有沒有見過類似“依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)”的循環(huán)現(xiàn)象？如火車輪跑動(dòng)時(shí)發(fā)出的咔嚓、咔嚓……的聲音；春、夏、秋、冬四季的更替等等。這樣聯(lián)系生活讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)“循環(huán)”的感悟。

3、經(jīng)歷計(jì)算體驗(yàn)?！把h(huán)小數(shù)”的產(chǎn)生很難用物質(zhì)化的形式表達(dá)出來，但可以通過組織學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，使學(xué)生從計(jì)算中獲得數(shù)理經(jīng)驗(yàn)。如讓學(xué)生進(jìn)行小數(shù)除法的計(jì)算：①4÷3=（1.33……），②58.6÷11=（5.32727……），要學(xué)生一邊計(jì)算每次除得的商和余數(shù)，同時(shí)思考：當(dāng)余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)繼續(xù)除下會(huì)得到什么結(jié)果呢？讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這表示商中將會(huì)有數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)。通過讓學(xué)生親歷計(jì)算過程，體驗(yàn)感受計(jì)算中的循環(huán)現(xiàn)象。

二、抽象概括，明晰概念的外延和內(nèi)涵

學(xué)生由直觀感知所獲得的對(duì)于概念的認(rèn)知是粗略的、膚淺的，因此在演示和計(jì)算結(jié)束后，不要匆忙進(jìn)行概括，要通過分析和比較，使表象由模糊到清晰，由分散到集中，從而抽象出共同的本質(zhì)屬性，形成完整的、準(zhǔn)確的概念。

1、理順認(rèn)識(shí)次序。教材是學(xué)習(xí)的資源，不是圣經(jīng)，教師是“用教材教并不是”“教教材”，教材上的編排是先學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)再學(xué)習(xí)有限小數(shù)與無限小數(shù)。我根據(jù)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的規(guī)律對(duì)教材進(jìn)行了改造。首先讓學(xué)生觀察和比較二題商的區(qū)別，認(rèn)識(shí)有限小數(shù)和無限小數(shù)，再比較兩個(gè)無限小數(shù)的特征，認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)，這樣調(diào)整教材順序，也比較符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

2、啟發(fā)比較概括。針對(duì)兩個(gè)無限小數(shù)，教師出示討論題，讓學(xué)生自主觀察、合作交流，通過生生互動(dòng)與教師的啟發(fā)引導(dǎo)，比較概括出兩個(gè)數(shù)的小數(shù)部分的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，教師通過點(diǎn)撥、引導(dǎo)，適時(shí)地板書關(guān)鍵詞語：依次不斷的重復(fù)出現(xiàn)、一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字、小數(shù)部分的某一位起。概念學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是掌握同類事物的共同的關(guān)鍵特征。這樣通過比較、慨括，讓學(xué)生清楚了解循環(huán)小數(shù)意義的內(nèi)涵。

3、自我語言表達(dá)。教師明確指出符合這些特點(diǎn)的小數(shù)就叫做循環(huán)小數(shù)。那究竟什么是循環(huán)小數(shù)呢？讓學(xué)生自己嘗試用語言表述出來。語言是思維的外殼，語言的條理性反映思維的有序性，由于前面已有了充分的感知和抽象，故而學(xué)生能夠水到渠成的概括出循環(huán)小數(shù)的意義。

三、鞏固利用，促進(jìn)概念的深層理解

小學(xué)生對(duì)概念的掌握不是一次就能完成的。需要由具體到抽象，再由抽象到具體多次重復(fù)，所以當(dāng)學(xué)生初步建立新概念后，需要應(yīng)用多種方法，促進(jìn)概念在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的保持，并通過不斷的運(yùn)用概念，加深對(duì)概念的理解。

1、對(duì)概念進(jìn)行“精加工”。學(xué)生既可對(duì)概念作表面的加工（只注意概念的準(zhǔn)確詞句）也可以作深入的心理加工（對(duì)概念的意義深刻的思考）。信息加工理論的研究表明：意義的編碼越深刻越精細(xì)，即加工水平越深，記憶就越好，因此學(xué)生初步建立概念后，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的意義做多方面的深入思考。例如：學(xué)生獲得“循環(huán)小數(shù)”的概念后，要引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面對(duì)循環(huán)小數(shù)概念的意義作進(jìn)一步加工。（1）領(lǐng)會(huì)定義中的關(guān)鍵詞語。讓學(xué)生自己說說看意義中的關(guān)鍵詞語是哪些？你是怎么理解的？（2）分塊記憶?？蓪?dǎo)學(xué)生將概念的定義劃分成合理的組塊，幫助學(xué)生很好地記住概念的信息，以方便提取。例如，循環(huán)小數(shù)的概念可以劃分為三個(gè)組塊：①一個(gè)小數(shù)，②從小數(shù)部分的某一位起，③一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。（3）運(yùn)用雙重編碼。如果一個(gè)材料不僅有形象編碼而且有語義編碼，則被視為雙重編碼，如果編碼的理論認(rèn)為，雙重編碼的材料能持久保持，數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)中要充分利用這一點(diǎn)。而且可以找到具體形象加以想象。如在學(xué)生建立循環(huán)小數(shù)的概念后，讓學(xué)生閉上眼睛在頭腦想一個(gè)循環(huán)小數(shù)寫出來，再用自已喜歡的一個(gè)方式表示出循環(huán)小數(shù)的形象。生1：□，○○……；生2：a.bcc……等，學(xué)生將概念的模型深入的印在頭腦中，即使意義遺忘，也能根據(jù)表象重建概念，同樣有利于發(fā)展學(xué)生的形象思維、直覺思維與發(fā)散思維的能力。

2、建立概念間的“關(guān)系樹”。學(xué)生存入記憶的概念組織得越好，提取越容易，讓學(xué)生自己按概念間的關(guān)系對(duì)概念加以整理，并在腦中記住這種組織，更有利于提取。例如《循環(huán)小數(shù)》一課中的概念很多，如果僅是使學(xué)生掌握各個(gè)概念，這些概念以“堆”的形式散亂的、無序的存在于學(xué)生頭腦中，成為未經(jīng)消化的、沒有整體功能的知識(shí)堆積，不僅記憶困難而且不能用來分析和解決問題。因此幫助學(xué)生貫通概念間的聯(lián)系，建立有關(guān)循環(huán)小數(shù)的“關(guān)系樹”；小數(shù)這樣清楚地顯示這些概念之間的并列關(guān)系和屬種關(guān)系，充分揭示知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，使學(xué)生掌握完整的概念系統(tǒng)，才能理解深刻、記憶牢固。

3.在概念應(yīng)用中深化理解。概念的應(yīng)用是掌握概念過程中一個(gè)不可缺少的階段，通過應(yīng)用可以加深理解，增強(qiáng)記憶。如學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)概念之后，組織下例不同層次的練習(xí)。（1）看一看，想一想，下列數(shù)中哪些是循環(huán)小數(shù)，哪些不是循環(huán)小數(shù)，為什么？①0.33……②3.155③3.14159……④7.5858……這一組數(shù)讓學(xué)生運(yùn)用概念作出判斷，以加深理解循環(huán)小數(shù)的意義，在練習(xí)中要引導(dǎo)學(xué)生說出判斷的思維過程，如3.155這個(gè)小數(shù)部分雖然有數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，但它的小數(shù)位數(shù)不是無限，所以它不是循環(huán)小數(shù)。（2）自己寫出幾個(gè)循環(huán)小數(shù)，并用簡便寫法表示，同桌相互檢查，并說明寫出的數(shù)是循環(huán)小數(shù)的理由。這一層次的練習(xí)是讓學(xué)生從循環(huán)小數(shù)的外延中找出事例，并用其內(nèi)涵加以分析判斷，可培養(yǎng)學(xué)生說理的能力。（3）計(jì)算下面各題：①2÷6②4.8÷11③2.5÷9，指出哪些商是循環(huán)小數(shù)，并說出它的循環(huán)數(shù)字，使學(xué)生進(jìn)一步從練習(xí)中體會(huì)到可以從余數(shù)是否重復(fù)出現(xiàn)來判斷商是否是循環(huán)小數(shù)。