關(guān)于近世代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

熊騰飛

（韶關(guān)學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

關(guān)于近世代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

熊騰飛

（韶關(guān)學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

近世代數(shù)是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感覺難學(xué)難懂.為更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好近世代數(shù)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高教學(xué)效果，從概念的講解、如何上好習(xí)題課、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和良好的學(xué)習(xí)意志品質(zhì)的角度出發(fā)，給出了一些在教學(xué)實(shí)踐中行之有效的方法和技巧.

近世代數(shù);教學(xué);概念;群

近世代數(shù)是以代數(shù)系統(tǒng)為研究對(duì)象的一門學(xué)科，是專業(yè)基礎(chǔ)課高等代數(shù)的直接后續(xù)課，是代數(shù)系列的主干課程，幾乎所有本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都要學(xué)習(xí)該課程.本科階段的近世代數(shù)課程，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)的重要先行課，為有限群論、交換代數(shù)、模論等課程的學(xué)習(xí)打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生掌握近世代數(shù)的基本知識(shí)、基本理論以及基本的計(jì)算、證明方法，可以很好地幫助他們提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)他們的邏輯推理、抽象思維能力.然而，近世代數(shù)課程的理論是相當(dāng)抽象而且枯燥的，這使得許多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程越來越缺乏信心和興趣，嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)效果.近年來，許多數(shù)學(xué)專業(yè)一線教育工作者對(duì)這門課程的教學(xué)進(jìn)行了研究：他們論述了近世代數(shù)課程的意義、地位和作用，概括了近世代數(shù)課程的主要特點(diǎn)，闡述了各自在近世代數(shù)課程教學(xué)實(shí)踐中幾點(diǎn)有益的教學(xué)嘗試，提出了近世代數(shù)課堂開拓學(xué)生思維以及培養(yǎng)他們解決問題能力的方法［1-9］，得出了一系列很好的成果，教學(xué)理論也越來越豐富.本文從近世代數(shù)課堂教學(xué)中概念的講解、如何上好習(xí)題課、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和良好的學(xué)習(xí)意志品質(zhì)的角度出發(fā)，總結(jié)了一些在教學(xué)實(shí)踐中的行之有效的方法和技巧，旨在引導(dǎo)學(xué)生更加高效地投入到近世代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，從而提高教學(xué)的效果.

1 近世代數(shù)概念的講解

和本科階段的其他數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，近世代數(shù)包含大量的概念，不僅如此，它的每個(gè)定義都擁有深刻的內(nèi)涵，運(yùn)用十分廣泛.近世代數(shù)教材的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)框架是從公理體系出發(fā)，沿著“定義——假設(shè)——定理——證明——推論——例題”這一條演繹道路進(jìn)行的［1］.在近世代數(shù)課堂上，能否把概念講清楚、講透徹，將極大地影響學(xué)生對(duì)一個(gè)甚至是幾個(gè)章節(jié)所學(xué)知識(shí)的理解，因此，必須重視概念講解的環(huán)節(jié).然而，在教學(xué)實(shí)踐中，有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)概念的理解僅僅停留在簡單的記憶階段，他們雖然能夠熟練地背出相應(yīng)的內(nèi)容，但是卻不懂得如何從概念出發(fā)，解決所遇到的問題，甚至是學(xué)習(xí)了后面章節(jié)的概念，就把前面所學(xué)的概念遺忘.因此，在講解概念的過程中，必須注重講解的方式和方法，引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解所學(xué)內(nèi)容，拓展他們的思維，培養(yǎng)他們自主解決問題的能力.

1.1 通過例子和反例相結(jié)合的方式講解概念

近世代數(shù)中的絕大部分概念都是抽象難懂的，教師在講課過程中，既要有意識(shí)地講解一些典型的例子，又要適時(shí)舉出若干反例.通過典型的例子，學(xué)生能夠從感性出發(fā)，更好地理解概念的內(nèi)涵；反例是從另外一個(gè)角度去考察所學(xué)的概念，舉反例能夠幫助學(xué)生更加全面地理解它們，幫助他們更加靈活地運(yùn)用所學(xué)概念去解決遇到的問題.當(dāng)學(xué)生接觸到一些較為復(fù)雜的概念時(shí)，采用例子和反例相結(jié)合的方式來講解，往往能獲得不錯(cuò)的效果.

例如，在講解群的概念時(shí)，給出群的定義以后，一方面列出整數(shù)加群、非零有理數(shù)乘群等典型例子，學(xué)生從這些具體的例子出發(fā)，逐條對(duì)照群的定義中所列出來的條件，能夠有效地幫助他們理解各項(xiàng)條件，從而掌握群的概念；另一方面給出幾個(gè)反例，比如全體有理數(shù)對(duì)于普通乘法、全體整數(shù)對(duì)于普通減法，通過這些反例，學(xué)生從另外一個(gè)角度考察群的概念，進(jìn)一步理解群的各項(xiàng)條件的同時(shí)，也體會(huì)到了判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否構(gòu)成“群”的方法，有助于他們更加靈活地運(yùn)用群的概念.

1.2 結(jié)合學(xué)習(xí)過的內(nèi)容講解概念

近世代數(shù)每一章都有很多概念需要學(xué)習(xí)，這些概念往往又是有著緊密聯(lián)系的，隨著課程的推進(jìn)，學(xué)生很可能會(huì)把前面學(xué)習(xí)過的概念遺忘，使他們對(duì)新的概念的理解產(chǎn)生影響.在講解概念的過程中，把一些學(xué)習(xí)過并且聯(lián)系緊密的內(nèi)容提取出來跟當(dāng)前所講解的概念作對(duì)照，既能促進(jìn)學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過的知識(shí)，也有利于學(xué)生掌握新的概念，達(dá)到溫故而知新的效果.

例如，在介紹環(huán)的定義時(shí)，首先要用到加群的概念，而加群實(shí)際上就是一個(gè)交換群，只不過是對(duì)代數(shù)運(yùn)算的稱呼和符號(hào)做了改變.在講解加群的概念時(shí)，可以把先前學(xué)習(xí)過的群的性質(zhì)拿出來跟加群做個(gè)對(duì)比，如表1所示.

表1 群和加群

通過表1可以清楚地看到一般的群與加群的聯(lián)系與區(qū)別.學(xué)生在回憶起前者的性質(zhì)的同時(shí)，也能從這些性質(zhì)出發(fā)，迅速掌握加群的內(nèi)涵，以便進(jìn)一步學(xué)習(xí)環(huán)的定義.

1.3 通過過渡語言引出概念

在近世代數(shù)的課堂上，經(jīng)常會(huì)遇到一些比較抽象的概念，學(xué)生理解起來比較困難，適時(shí)介紹一下這些概念的主要作用，往往可以吸引學(xué)生的聽課注意力，調(diào)節(jié)課堂氣氛，也可以使他們加深對(duì)所學(xué)概念的印象.例如，在介紹群的同構(gòu)的概念時(shí)，可以采用過渡語言如下：群該群的一個(gè)最關(guān)鍵的要素，運(yùn)算把集合中的元素很好地聯(lián)系了起來.在群論當(dāng)中，經(jīng)常把“一樣”的群分為一類去研究，那么對(duì)于群G1和群G2，怎么樣才能認(rèn)為這兩個(gè)群是“一樣”的呢？顯然，如果僅僅在集合G1和集合G2之間存在一個(gè)雙射f，那是完全不夠的，還要考慮這個(gè)f和兩個(gè)群的運(yùn)算之間存在什么關(guān)系.

隨后，教師給出群的同構(gòu)的詳細(xì)定義，學(xué)生經(jīng)過前面簡要的鋪墊，大致明白了群的同構(gòu)所起的作用，會(huì)對(duì)群的同構(gòu)的概念產(chǎn)生較深的印象，也能夠吸引學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)接下來的內(nèi)容.

2 提高習(xí)題課的課堂效果

習(xí)題課是任何數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，而提升學(xué)生動(dòng)手解題能力，是習(xí)題課的一個(gè)重要目標(biāo).在習(xí)題課上，不能一味地教師講，學(xué)生聽，而要注意留給學(xué)生充分的思考以及動(dòng)手解題的時(shí)間.有的學(xué)生在課堂上能夠聽懂所講的知識(shí)，但是在考試時(shí)卻無法準(zhǔn)確地答題，這往往是平時(shí)動(dòng)手解題較少造成的.因此，教師是習(xí)題課上，應(yīng)及時(shí)提醒學(xué)生動(dòng)手解題，而不要僅僅局限于聽老師講解，以達(dá)到練習(xí)的目的.

另一方面，一些學(xué)生在解答近世代數(shù)的題目時(shí)缺乏積極性，事實(shí)上，如果在習(xí)題課上布置一些開放性的題目，即列出若干命題，讓學(xué)生自行判斷對(duì)與錯(cuò)，對(duì)的予以證明，錯(cuò)的找出反例，往往能夠激發(fā)學(xué)生的思考熱情.

例如，給出題目：

(1)設(shè)K是群H的正規(guī)子群，H是群G的正規(guī)子群，則H是否G的正規(guī)子群？

(2)設(shè)f是群G到群G的一個(gè)同態(tài)映射，且H≤G，H≤G，若H?G，則是否f-1(H)?G？

以上兩個(gè)題目，(1)的答案為“否”，(2)的答案為“是”，在做出判斷以后，要求學(xué)生分別給出反例和證明，不確定的命題能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們真正參與到習(xí)題課中來，避免僅僅只是聽教師講解或者上課走神.

3 利用課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

能否發(fā)現(xiàn)和能發(fā)現(xiàn)多少有價(jià)值的問題是衡量一個(gè)人創(chuàng)新能力高低的重要標(biāo)桿.學(xué)習(xí)近世代數(shù)課程，不能僅僅局限于掌握相關(guān)知識(shí)和解題方法，更要通過這門課程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而這要以善于發(fā)現(xiàn)好的問題為前提.學(xué)生在學(xué)習(xí)近世代數(shù)時(shí)會(huì)遇到有很多定理、命題，在講解某些結(jié)論的過程中，可以不必在第一時(shí)間把所有內(nèi)容都展示給學(xué)生，而是從較為簡單的特殊情況出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，提出一般情況下的結(jié)論，然后再指導(dǎo)他們對(duì)得出的結(jié)論加以分析并判斷對(duì)錯(cuò).

例如，在介紹左陪集和右陪集的關(guān)系時(shí)，可以先從具體的例子出發(fā)：令G=S3,H={((1),(1,2)}≤G，寫出子群H的所有左陪集和右陪集.

在列出子群H的所有左陪集和右陪集后，學(xué)生經(jīng)過觀察，很容易就得出結(jié)論：在一般情況下，子群H的右陪集并不等于H的左陪集.此時(shí)，教師可以趁勢(shì)提問：“雖然一個(gè)子群的右陪集一般不等于左陪集，但是它們之間有沒有什么聯(lián)系？”同時(shí)，再給出的幾個(gè)不同的具體例子，讓學(xué)生去觀察，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：一個(gè)子群H的右陪集的個(gè)數(shù)和左陪集的個(gè)數(shù)相等，它們或者都是無限大，或者都有限且相等.

接下來就是指導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行證明.

經(jīng)過以上教學(xué)過程，既能使學(xué)生對(duì)結(jié)論本身有一個(gè)較深刻地認(rèn)識(shí)，又能讓他們體會(huì)到學(xué)習(xí)近世代數(shù)的樂趣，同時(shí)也令他們實(shí)踐了“發(fā)現(xiàn)問題”的一種方法，從而提升他們的創(chuàng)新能力，對(duì)有意于將來從事理論研究工作的學(xué)生起到一定的示范作用.

4 適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)意志品質(zhì)

德國教育家第斯多惠說過：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞”［2］.有的學(xué)生在遇到問題時(shí)，第一反應(yīng)就是懷疑自己的學(xué)習(xí)能力，而不是迎難而上，刻苦專研，解決問題，時(shí)間久了就會(huì)失去學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，這需要教師適時(shí)予以鼓勵(lì).實(shí)際上，想要學(xué)好任何一門課程從來就不是一件輕松的事，在學(xué)習(xí)過程中，總會(huì)遇到各式各樣的困難，學(xué)習(xí)近世代數(shù)更是如此.近世代數(shù)是一門歷史悠久的學(xué)科，在其理論發(fā)展的過程中，無數(shù)數(shù)學(xué)家為此傾注了大量的心血，而有的問題是經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的時(shí)間才得以解決.例如，有限單群分類定理，歷經(jīng)數(shù)十年，前后有100多位數(shù)學(xué)家參與論證，整個(gè)結(jié)果由500多篇論文組成，才于1980年完成.教師可以告訴學(xué)生，在學(xué)習(xí)上遇到困難是再正常不過的事，同時(shí)通過一些前輩數(shù)學(xué)家不懈努力的例子，激勵(lì)學(xué)生通過自己的努力解決問題，保持學(xué)習(xí)熱情.培養(yǎng)百折不撓、勇于克服困難的學(xué)習(xí)意志品質(zhì)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著重要的促進(jìn)作用.

5 結(jié)語

在近世代數(shù)教學(xué)過程中，必須重視對(duì)基本概念的講解，掌握基本概念是學(xué)生學(xué)好該課程的前提條件；應(yīng)該充分利用習(xí)題課，使學(xué)生能夠熟練、靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決遇到的問題；開設(shè)近世代數(shù)課程，不僅僅為了學(xué)習(xí)知識(shí)本身，教師可以在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，為他們創(chuàng)新能力的提高打下基礎(chǔ);當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的遇到困難時(shí)，應(yīng)適時(shí)予以鼓勵(lì).總之，要上好近世代數(shù)課程，必須勤于思考，用心對(duì)待.

［1］王曉,汪小黎.近世代數(shù)課程教學(xué)的改革與實(shí)踐[J].課程教育研究,2014(34):140.

［2］張振亮.互動(dòng)式教學(xué)法在近世代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2015,31(6):106-107.

［3］夏靜波,鄒庭榮,張四蘭.“近世代數(shù)”的教學(xué)技巧[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2009,25(1):5-8.

［4］袁玉卓,王驍力.關(guān)于近世代數(shù)課程教學(xué)的一些建議[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,11(9):90-92.

［5］張慧.《近世代數(shù)》課程教學(xué)及教學(xué)案例分析[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐,2016,8(1):34-36.

［6］胡江勝.關(guān)于近世代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].江蘇理工學(xué)院學(xué)報(bào),2015,21(4):88-90.

［7］程曉亮.高師院校近世代數(shù)課程教學(xué)策略[J].德州學(xué)院學(xué)報(bào),2015,31(4):92-94.

［8］陶司興.抽象代數(shù)課程教學(xué)方法研究與實(shí)踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2016,32(2):239-240.

［9］韓榮梅.關(guān)于近世代數(shù)課程如何培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力[J].科技信息,2014(4):75.

Some Experiences of Teaching Modern Algebra

XIONG Teng-fei
（Institute of Information Science and Engineering,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Modern algebra is an important basic course of undergraduate's specialized Mathematics,and many students feel difficult to understand in their learning.In order to instruct students learning modern algebra well, improve their mathematical literacy and the teaching effect,some effective methods and techniques in teaching practice are given from the explanation of concepts,exercise teaching,cultivating students'ability to fine questions and the excellent study will quality.

morden algebra;teaching;concept;group

G642.1

A

1007-5348（2016）12-0084-04

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2016-07-20

熊騰飛(1985-)，男，廣東韶關(guān)人，韶關(guān)學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院講師，碩士；研究方向：環(huán)論、代數(shù)圖論.