方程教學(xué)重在建模

楊冬紅

（東至縣大渡口鎮(zhèn)中心學(xué)校本部小學(xué) 安徽池州 247210）

方程教學(xué)重在建模

楊冬紅

（東至縣大渡口鎮(zhèn)中心學(xué)校本部小學(xué) 安徽池州 247210）

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型”。究其本質(zhì)，是把未知數(shù)量當(dāng)做已知數(shù)量進(jìn)行分析，列方程的關(guān)鍵在于找到數(shù)量之間相等的關(guān)系。

方程 建模 經(jīng)歷 訓(xùn)練 反思

長(zhǎng)期教授小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)。每每學(xué)生在整個(gè)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，最讓他們犯愁的莫過(guò)于應(yīng)用方程解決實(shí)際問(wèn)題。特別是剛開(kāi)始階段對(duì)算術(shù)方法難以割舍，一方面是算術(shù)思維方法的慣性；二是剛開(kāi)始解決簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)學(xué)生很難驗(yàn)證到方程的優(yōu)越性，學(xué)生困惑于列方程解決問(wèn)題的繁瑣“設(shè)未知數(shù)、找數(shù)量關(guān)系、列方程，解方程還要檢驗(yàn)”；三是當(dāng)問(wèn)題復(fù)雜化時(shí)數(shù)量關(guān)系的尋找、算術(shù)法負(fù)遷移的糾結(jié)讓學(xué)生望而生畏。歸根結(jié)底還是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中急功近利的學(xué)習(xí)目標(biāo)，特別是沒(méi)有體會(huì)到方程建模中的本質(zhì)：把未知數(shù)量當(dāng)做已知數(shù)量進(jìn)行分析，體驗(yàn)到方程方法思考問(wèn)題的便捷和從容。

綜合上述總總因素筆者認(rèn)為其一是教者要對(duì)方程建模策略的深刻理解。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型”究其本質(zhì)，列方程的關(guān)鍵在于找到數(shù)量之間相等的關(guān)系，只有圍繞問(wèn)題的既定目標(biāo)，將現(xiàn)實(shí)情境抽概括為自己的語(yǔ)言，也就是用等號(hào)將相等的兩個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，再用數(shù)學(xué)符號(hào)等價(jià)的表達(dá)出來(lái)，它區(qū)別于四則運(yùn)算，只是闡述數(shù)學(xué)事實(shí)，沒(méi)有經(jīng)過(guò)運(yùn)算，是沒(méi)有任何加工的數(shù)學(xué)事實(shí)，其本質(zhì)是在說(shuō)明兩種事件是等價(jià)的。建立這種等價(jià)關(guān)系的思維過(guò)程一般要經(jīng)歷三個(gè)階段：第一階段語(yǔ)言描述：用文字、圖形語(yǔ)言表達(dá)數(shù)量之間相等的關(guān)系。第二階段數(shù)學(xué)表達(dá)：把文字、圖像語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言即數(shù)、式子。第三階段方程的建立：在數(shù)和式子之間建立等價(jià)關(guān)系，形成方程。借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，從現(xiàn)實(shí)情境中，剝離出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，把生活世界引向符號(hào)世界。

其二是教者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練掌握尋找等量關(guān)系的策略，體驗(yàn)方程解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值。

1.是掌握確定等量關(guān)系的基本方法。學(xué)生能尋找等量關(guān)系的基本方法是建立在建模策略的基礎(chǔ)上。在小學(xué)階段要幫助學(xué)生梳理出一些分析問(wèn)題的基本方法。①牢記數(shù)學(xué)計(jì)算公式，根據(jù)學(xué)生記住的周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式等然后直接利用公式列出方程。②熟記常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系式如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、價(jià)格問(wèn)題等等，教師在教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上熟記這些基本的特別是他們之間的乘法關(guān)系式：“工作效率×工作時(shí)間=工作總量；速度×?xí)r間=路程；單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。③是抓住關(guān)鍵字句，根據(jù)關(guān)鍵句提示找等量關(guān)系。這種方法一般適用于和差關(guān)系，和倍關(guān)系的解決問(wèn)題。關(guān)鍵句如“小華比小明的4倍多5”“今年的產(chǎn)量比去年的產(chǎn)量的80%少60千克”等。解題時(shí)直接按照題目敘述的順序列出方程即可。④利用好線段圖、示意圖幫助理解題中的數(shù)量關(guān)系，在文字中不容易理解的通過(guò)線段圖和示意圖直觀的分析未知量與已知量的關(guān)系，變“看不見(jiàn)”為“看得見(jiàn)”以形助數(shù)正確地列出方程。

2.是訓(xùn)練信息“互譯”能力。方程建模中學(xué)生將生活語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再將數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯成代數(shù)式表達(dá)，最后列出方程，能順利地進(jìn)行文字----符號(hào)之間的互譯是學(xué)生正確建立策略的重點(diǎn)。在學(xué)生中讓學(xué)生進(jìn)行一些“互譯”訓(xùn)練，不僅能培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)代數(shù)式的能力，為列方程掃除障礙，鋪平道路，還能讓學(xué)生明白代數(shù)式的實(shí)際意義，提高學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

3.是在比較中體會(huì)方程方法的價(jià)值。在方程學(xué)習(xí)的不同階段要充分利用比較，讓學(xué)生在不同的策略使用中加深對(duì)方程分析方法、使用條件、方程選擇等的理解，體會(huì)方程建模的作用和優(yōu)勢(shì)。①綜合法和分析法的比較。列方程解題有兩種基本分析方法：綜合法和分析法。所謂綜合法，就是從所設(shè)的未知數(shù)出發(fā)，根據(jù)該數(shù)與其他各已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，列出代數(shù)式，然后依據(jù)題意找出等量關(guān)系，最后列出方程。而分析法則是先確定題中最明顯的兩個(gè)相同的等量，然后找到這兩個(gè)量分別與其他已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，如此繼續(xù)下去，一直反推出最后一個(gè)未知數(shù)為止。然后設(shè)這個(gè)未知數(shù)為ⅹ，再代入上式的各種相關(guān)關(guān)系中，即可得到兩個(gè)相等的代數(shù)式，由此列出方程。②算術(shù)和方程方法的比較。對(duì)于小學(xué)生的思維水平和分析習(xí)慣，他們更樂(lè)于旋轉(zhuǎn)算術(shù)分析的思路，把目標(biāo)直指結(jié)果的得出。對(duì)于未知量等同于已知量參與分析的方法，學(xué)生不容易掌握，也不容易體會(huì)到方法的好處。在方程引入的初始階段可以通過(guò)不同思路的比較讓學(xué)生感受它們的聯(lián)系和區(qū)別。

4.是在活動(dòng)中經(jīng)歷方程建模的全過(guò)程。小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，知識(shí)基礎(chǔ)是有限的，所以方程學(xué)習(xí)中的素材都是經(jīng)過(guò)初步加工的數(shù)學(xué)情境，完整的方程建模過(guò)程是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。設(shè)計(jì)有過(guò)程的教學(xué)才能落實(shí)目標(biāo)。讓學(xué)生參與，合作中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程稱(chēng)為一個(gè)探究的過(guò)程。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候絕不是一張白紙，他們往往是帶著自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入學(xué)習(xí)的。教師要利用好方程單元后安排的活動(dòng)課程。

其三是教者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行反思，評(píng)價(jià)自己的解題方法，努力尋求解決問(wèn)題的最佳方案。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，往往只重視問(wèn)題的結(jié)果，而忽視了解決問(wèn)題的回顧與反思。在解題受阻時(shí)需要及時(shí)反思，考慮方法的正確性、可行性，以便及時(shí)調(diào)整；在解題失敗時(shí)，同樣要反思尋找失敗的原因；在解題順利時(shí)，更要對(duì)解題過(guò)程審視，從偶然中發(fā)現(xiàn)必然性，尋找其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律。包括對(duì)方法應(yīng)用的反思，對(duì)問(wèn)題條件的反思，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)。逐步讓學(xué)生養(yǎng)成質(zhì)疑的思維習(xí)慣，反思解題受阻的原因是什么？這樣解題合理嗎？這是最佳方案嗎？對(duì)比思路之間的異同點(diǎn)，階段性地進(jìn)行歸納和總結(jié)性的反思。當(dāng)然學(xué)生的反思習(xí)慣需要教師的要求，習(xí)慣的養(yǎng)成需要執(zhí)行一定量的練習(xí)。在訓(xùn)練中教師重視加強(qiáng)反饋和積極評(píng)價(jià)。

小學(xué)方程的教學(xué)不能僅限于方程單元的學(xué)習(xí)。代數(shù)思維方式，方程的思想在小學(xué)整個(gè)中高學(xué)段尤顯重要，掌握好這一思維方式可有利于中小學(xué)教學(xué)的銜接，有利于學(xué)生的終身發(fā)展。