橫向比較　縱向聯(lián)系
——“用字母表示數(shù)”一課教學(xué)的思考

安徽合肥市新城學(xué)校（230031）朱　軍

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橫向比較縱向聯(lián)系
——“用字母表示數(shù)”一課教學(xué)的思考

安徽合肥市新城學(xué)校（230031）朱軍

［摘要］“用字母表示數(shù)”是代數(shù)學(xué)的發(fā)端，是學(xué)生在小學(xué)階段第一次正式接觸代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)。在教學(xué)前，教師不僅要深入挖掘教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)橫向比較、縱向聯(lián)系，而且要為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊、滲透，使學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)。

［關(guān)鍵詞］字母?jìng)湔n思考符號(hào)意識(shí)數(shù)量關(guān)系問(wèn)題情境比較建議

前不久，我再一次執(zhí)教“用字母表示數(shù)”一課，與之前的教學(xué)相比，這次教學(xué)設(shè)計(jì)做了較大的改動(dòng)，教學(xué)側(cè)重點(diǎn)也有所變化?；叵脒@幾次不同的教學(xué)，我腦中突然出現(xiàn)了疑問(wèn)：“究竟哪次教學(xué)才是真正為學(xué)生的學(xué)習(xí)而教？”帶著這個(gè)疑問(wèn)，我進(jìn)行了以下思考：“‘用字母表示數(shù)’是學(xué)生在小學(xué)階段第一次正式接觸代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，從具體的確定的數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)，從用生活語(yǔ)言到用符號(hào)語(yǔ)言描述關(guān)系，這是認(rèn)知上的一次突破，學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度。怎樣使學(xué)生更好地理解這部分知識(shí)，以便進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)，就顯得格外重要?！蹦敲矗鳛榻處?，我們?cè)撛鯓咏M織教學(xué)素材和落實(shí)教學(xué)目標(biāo)呢？下面，我從以下幾個(gè)方面來(lái)談?wù)剬?duì)本節(jié)課教學(xué)的思考。

一、不同版本教材的比較

蘇教版教材在“用字母表示數(shù)”一課中安排了三道例題：例1，通過(guò)用小棒擺三角形的個(gè)數(shù)逐次增加的問(wèn)題，思考用一個(gè)式子來(lái)表示三角形個(gè)數(shù)與所用小棒根數(shù)之間的關(guān)系，理解字母可以表示哪些數(shù)；例2，出示汽車在一段路上行駛的問(wèn)題，由于汽車所走的路程是個(gè)未知數(shù)，思考含有字母的式子表示行駛一段路程后剩下的千米數(shù)，同時(shí)結(jié)合問(wèn)題情境思考該字母可以表示哪些數(shù)，初步學(xué)會(huì)代入數(shù)值求解；例3，溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理解用字母還可以表示特定的對(duì)象和計(jì)算公式，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)含有字母的乘法算式的簡(jiǎn)寫。大家都知道用字母可以表示任何形式的數(shù)（包括自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)），而當(dāng)我研讀蘇教版教材后發(fā)現(xiàn)，教材中所選擇的教學(xué)素材只涵蓋了用字母可以表示自然數(shù)、小數(shù)的知識(shí)，為什么沒有包含分?jǐn)?shù)？難道是教材編者的疏忽？為此，我又翻閱了人教版、北師大版教材中關(guān)于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容。雖然人教版和北師大版教材中所選擇的教學(xué)素材各不相同，但是同樣的問(wèn)題卻出現(xiàn)在兩套教材中。而且，人教版、北師大版和蘇教版教材從例題到練習(xí)，沒有編排字母可以表示分?jǐn)?shù)的情境或?qū)嵗?/p>

為什么人教版、北師大版和蘇教版這三套教材中都沒有談及用字母可以表示分?jǐn)?shù)的內(nèi)容呢？教材讀到這里，我豁然開朗，明白教材之所以這樣安排應(yīng)該有以下幾個(gè)原因：第一，學(xué)生在前四年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要認(rèn)識(shí)自然數(shù)和小數(shù)，對(duì)于分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)主要集中在五、六年級(jí)，五年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)尚不深刻，此時(shí)若在“用字母表示數(shù)”中提及用字母可以表示分?jǐn)?shù)，學(xué)生未必能理解；第二，生活中很少有用分?jǐn)?shù)計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，大多都是用小數(shù)代替的；第三，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，很難找到一個(gè)可以承載用字母表示數(shù)，又恰恰用分?jǐn)?shù)計(jì)算的情境。為此，這三套教材對(duì)于用字母可以表示分?jǐn)?shù)這一知識(shí)沒有涉及。對(duì)于用字母可以表示分?jǐn)?shù)的知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的推廣運(yùn)用這一內(nèi)容后，自然能夠理解。

二、研讀初中教材的思考

眾所周知，“用字母表示數(shù)”在小學(xué)階段只是初步學(xué)習(xí)，教材編排此內(nèi)容的主要目的是為了方便學(xué)生以后學(xué)習(xí)初中的代數(shù)知識(shí)。那么，在初中數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生將會(huì)學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容要達(dá)到怎樣的認(rèn)識(shí)，才能對(duì)初中學(xué)習(xí)產(chǎn)生持續(xù)的影響？為此，我以人教版教材為主，研讀初中數(shù)學(xué)教材中的這部分內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)教材的相關(guān)章節(jié)中，有對(duì)小學(xué)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容的簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)，但教材更多的是對(duì)式的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生學(xué)會(huì)用單項(xiàng)式（含有字母的式子）表示結(jié)果（數(shù)）。因此，如果學(xué)生對(duì)于用字母表示數(shù)的知識(shí)僅僅停留在用字母可以表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，甚至隨著時(shí)間的推移，這種認(rèn)識(shí)勢(shì)必對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)造成一定的干擾。

三、問(wèn)卷調(diào)查情況

那么，這節(jié)課的教學(xué)該從哪出發(fā)，最終落腳點(diǎn)在哪呢？教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于用字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)需要達(dá)到什么水平？為了解學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”這一內(nèi)容的認(rèn)知情況，我把相同的問(wèn)卷（共有兩題）分別給五年級(jí)和六年級(jí)的學(xué)生作答。如下：

①你認(rèn)為字母a能表示下面哪種含義（略）？

②你認(rèn)為a+3這個(gè)式子能表示下面哪種含義（略）？

（下面三組統(tǒng)計(jì)圖為不同班級(jí)學(xué)生對(duì)這兩道題的回答，每組中左邊圖是第①小題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，右邊圖是第②小題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果）

被調(diào)查學(xué)生的情況：五（2）班學(xué)生共68人，第一學(xué)期該班尚未學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容；五（1）班學(xué)生共52人，第一學(xué)期該班在一個(gè)月前有教師上過(guò)公開課，剛好講的是“用字母表示數(shù)”這一單元的第一課時(shí)，截止到調(diào)查時(shí)，該單元的后續(xù)內(nèi)容仍然沒學(xué)；六年級(jí)學(xué)生共103人，第一學(xué)期截止到調(diào)查時(shí)，學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容有近一年時(shí)間。

六年級(jí)（103人）

從上述數(shù)據(jù)來(lái)看，學(xué)生在未學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容之前，對(duì)該知識(shí)是不太了解的，甚至他們的理解是有問(wèn)題的。以上圖中的五（2）班學(xué)生為例，對(duì)于a的含義，有52.94%的學(xué)生認(rèn)為它只可以表示特定的對(duì)象（如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等），這部分學(xué)生有此認(rèn)識(shí)可能是受教材的編排內(nèi)容影響所致。在進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查時(shí)，該班學(xué)生剛好學(xué)習(xí)“多邊形的面積”這一單元，可想而知，在前攝抑制影響下，有這么高比例的學(xué)生形成錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)也就不足為奇了。對(duì)于a+3的含義，也有近一半的學(xué)生認(rèn)為它僅僅是一個(gè)加法算式而已，還有13.24%的學(xué)生對(duì)這個(gè)含有字母的式子的含義產(chǎn)生理解上的困難。這是尚未學(xué)習(xí)的情況，那么學(xué)習(xí)過(guò)的學(xué)生的情況又會(huì)怎樣呢？

接著，我又對(duì)五（1）班的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。從數(shù)據(jù)來(lái)看，學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)并沒有很大的改善，我想大概有以下兩個(gè)原因：一是因?yàn)閷W(xué)生只學(xué)習(xí)了一節(jié)課，對(duì)于該知識(shí)的理解還有待后續(xù)的學(xué)習(xí)加以強(qiáng)化；二是學(xué)生學(xué)這部分知識(shí)已有月余，且這段時(shí)間大多都在學(xué)習(xí)“多邊形的面積”的相關(guān)知識(shí)，沒有得到明顯改善也是可以理解的。學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容后，學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解究竟會(huì)怎么樣呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)，我再次對(duì)我校六年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。從調(diào)查的數(shù)據(jù)來(lái)看，學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解較之剛學(xué)習(xí)時(shí)確實(shí)有了很大的改善，可仍然暴露出兩個(gè)問(wèn)題：一是學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)這一數(shù)學(xué)思想較之以前用具體的數(shù)表示仍有認(rèn)知上的障礙；二是六年級(jí)學(xué)生通過(guò)方程等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，對(duì)用字母表示數(shù)的含義的理解確實(shí)得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化，但由于學(xué)生經(jīng)常用方程解決實(shí)際問(wèn)題，導(dǎo)致他們更多的以為字母a表示一個(gè)未知數(shù)、a+3表示一種數(shù)量關(guān)系。學(xué)生有此認(rèn)識(shí)，應(yīng)該是學(xué)習(xí)方程和列方程解決實(shí)際問(wèn)題這一部分知識(shí)的“后遺癥”。另外，學(xué)生對(duì)于a+3這個(gè)式子也可以表示一個(gè)數(shù)或運(yùn)算結(jié)果的認(rèn)識(shí)較之五年級(jí)剛學(xué)的時(shí)候，并沒有隨著學(xué)習(xí)時(shí)間的推移而得到強(qiáng)化。

四、關(guān)于“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)建議

1.抓住“用字母表示數(shù)”這個(gè)根，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

不論是用字母表示數(shù)，還是用字母表示數(shù)量關(guān)系，都是建立在學(xué)生能理解并主動(dòng)運(yùn)用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上。為此，在本課教學(xué)中，教師應(yīng)該抓住“用字母表示數(shù)”這個(gè)根，只有將這個(gè)根扎得越深，學(xué)生將來(lái)或后面的學(xué)習(xí)才有可能枝繁葉茂。此外，用字母還可以表示任意數(shù)和未知數(shù)，這些都是學(xué)生在以往學(xué)習(xí)中沒有探究過(guò)的。要讓學(xué)生理解這些知識(shí)不難，但要讓學(xué)生由被動(dòng)接受轉(zhuǎn)為主動(dòng)的選擇，就需要借助合理的情境，尋求新的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

2.借助數(shù)量可變的問(wèn)題情境，理解用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系所具有的一般性

之所以用字母表示數(shù)，是為了更進(jìn)一步用代數(shù)式來(lái)構(gòu)建等量關(guān)系，這是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。用字母表示數(shù)量關(guān)系較之以前的算式，最大的區(qū)別在于含有字母的式子所表示的數(shù)量關(guān)系更具一般性，就需要讓學(xué)生在一個(gè)熟悉的且數(shù)量會(huì)隨著條件變化而變化的情境中進(jìn)行感知和理解。如人教版教材中的父女年齡問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)式子來(lái)表示任何一年爸爸的年齡，使學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的過(guò)程，體會(huì)到用一個(gè)含有字母的式子可以表示父女兩人任何一年的年齡，因而這樣的式子更具有一般性。

3．借助數(shù)量關(guān)系的支撐，引導(dǎo)理解含有字母的式子也可以表示一個(gè)數(shù)或一個(gè)運(yùn)算結(jié)果

我在翻閱人教版初中數(shù)學(xué)教材后發(fā)現(xiàn)，如果學(xué)生對(duì)于用字母表示數(shù)僅停留在用字母可以表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)上，到了初中學(xué)習(xí)式與方程時(shí)，對(duì)于理解a+3可以表示一個(gè)數(shù)（運(yùn)算結(jié)果）會(huì)有比較大的認(rèn)知障礙，這一點(diǎn)從上述調(diào)查六年級(jí)學(xué)生的數(shù)據(jù)就可以看出來(lái)。為此，我在教學(xué)之前一直思考這樣一個(gè)問(wèn)題：“我們是否可以借助情境中數(shù)量關(guān)系的支撐，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解含有字母的式子也可以表示一個(gè)數(shù)或一個(gè)運(yùn)算結(jié)果呢？”

總之，作為數(shù)學(xué)教師，我們?cè)诮虒W(xué)前應(yīng)充分思考，既要挖掘教材本身蘊(yùn)含的知識(shí)內(nèi)容，又要為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊、滲透。

（責(zé)編杜華）

［中圖分類號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）14-014