例析含參不等式恒成立問(wèn)題

?

例析含參不等式恒成立問(wèn)題

李運(yùn)財(cái)

(甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)，734500)

已知不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.這類(lèi)問(wèn)題以含參不等式恒成立為載體,鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容,綜合性強(qiáng),思想方法深刻,能力要求較高,因而成為高考試題中的熱點(diǎn)問(wèn)題．新教材將導(dǎo)數(shù)知識(shí)增加到高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,無(wú)疑為多角度、高觀點(diǎn)解決含參不等式恒成立問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具．我們以下面一道經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)題來(lái)談一談含參不等式恒成立問(wèn)題的處理策略．

題目設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x≥0時(shí),都有f(x)≥0,試求a的取值范圍．

分析對(duì)于第(1)問(wèn),利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系很容易得出f(x)的減區(qū)間為(-∞,0],增區(qū)間為[0,+∞)；進(jìn)而得出f(x)min=f(0)=0,故有f(x)≥0,即ex-1-x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．

下面重點(diǎn)來(lái)討論第(2)問(wèn),第(2)問(wèn)等價(jià)于f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范圍．

解法1(導(dǎo)數(shù)法與放縮法結(jié)合)

f′(x)=ex-1-2ax

≥x-2ax

=x(1-2a),

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

e-x-1+x≥0，

即e-x-1≥-x，

所以有f′(x)=ex-1-2ax

≤ex-1+2a(e-x-1)

=e-x(ex-1)(ex-2a).

令f′(x)<0，得x∈(0,ln 2a),

故f(x)在(0,ln 2a)內(nèi)是減函數(shù)，所以f(x)

解法2(二階導(dǎo)數(shù)法)

f′(x)=ex-1-2ax,

f″(x)=ex-2a.

x≥0時(shí),ex≥1，

∴f(x)≥f(0)=0恒成立.

當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),f′(x)

∴f(x)在(0,ln 2a)內(nèi)是減函數(shù)，

∴當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),f(x)

解法3(參數(shù)分離與確界原理相結(jié)合)

設(shè)g(x)=ex(x-2)+(x+2),x>0,則

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可得g(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=0故h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立.

所以h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

利用羅比達(dá)法則，求得

在我國(guó),教育部已經(jīng)出臺(tái)實(shí)施的兩個(gè)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(義務(wù)教育階段和高中階段)中明顯地加大了經(jīng)典高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)含量,而且主要以系列、模塊和專(zhuān)題的形式呈現(xiàn)；同時(shí)滲透了數(shù)學(xué)模型思想、算法思想等,這與F·克萊茵的改革理念如出一轍．因此,正確認(rèn)識(shí)“高觀點(diǎn)”,對(duì)我國(guó)現(xiàn)階段新課程的順利實(shí)施有著重要的現(xiàn)實(shí)意義,而且能夠改善教師自身的知識(shí)結(jié)構(gòu),也促使其不斷鉆研數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí),關(guān)注學(xué)科發(fā)展．