真的是“循環(huán)論證”嗎——對一道試題數(shù)學歸納法解法的探究

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真的是“循環(huán)論證”嗎
——對一道試題數(shù)學歸納法解法的探究

潘神龍

(廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學 ，511400)

數(shù)學歸納法是一種特殊的證明方法,主要用于研究與正整數(shù)有關的數(shù)學問題,體現(xiàn)了人的認識從有限到無限的飛躍,在數(shù)學的發(fā)展中起著重要的作用．

2014年廣東高考(理)數(shù)列解答題考查學生的推理意識,避免一味的機械應試訓練,著重考查了數(shù)學歸納法．受前幾年題目的影響,不少教師在已知遞推公式求通項公式上訓練了不少,卻對數(shù)學歸納法缺乏研究,出現(xiàn)一些教學瓶頸．

2015年廣州市一模數(shù)列解答題(題目見下),可用數(shù)學歸納法進行求解,有教師認為這是“循環(huán)論證”.對此，本文談點筆者的認識,以期與同行探討,共同提高．

一、問題由來

解猜想an=2n-1.下面用數(shù)學歸納法證明.

①n=1時，命題成立.

由① ②,對任意?n∈N*,an=2n-1.

有教師認為,這是“循環(huán)論證”:假設n=k時命題成立,不能說明n

二、追本溯源

正所謂,給學生一杯水,教師就要有長流水．

1.數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法起源于最小數(shù)原理(正整數(shù)集的任意非空子集必有一個最小數(shù)),是有意地以形式相同、范圍較小的命題成立性為前提,來不斷推導更大范圍內命題的成立性,體現(xiàn)了遞推的思想．教材上出現(xiàn)的是第一數(shù)學歸納法,其實還有第二數(shù)學歸納法,步驟如下: (1)證明n=n0時,命題成立； (2)假設n≤k(n≥n0)時,命題成立，證明n=k+1時,命題也成立．由(1) (2),對所有正整數(shù)n(n≥n0),命題都成立．

證明假設命題不是對所有正整數(shù)n(n≥n0)都成立.令M表示使命題不成立的正整數(shù)所成的集合,M≠?．由最小數(shù)原理,M中有最小數(shù)m,m>n0,且命題對m不成立，所以m-1是正整數(shù),且命題對所有的n(n0≤n≤m-1)都成立；由(2)知,命題對m也成立,矛盾,證畢．

數(shù)學理論已經(jīng)證明了第一數(shù)學歸納法與第二數(shù)學歸納法是等價的．

2.“循環(huán)論證”

“循環(huán)論證”是指在證明的過程中,把命題的結論作為證明的論據(jù)使用,又稱為“先定結論”．第一數(shù)學歸納法中的“循環(huán)論證”是指從“假設n=k時命題成立”到“證明n=k+1時命題也成立”時,啟用了不完全歸納的結論．

三、撥云見日

另外,有教師認為,將② 中“n=k”改為“n≤k”即可,這實質上是使用第二數(shù)學歸納法．由兩種數(shù)學歸納法的等價性可知,當“n≤k”是正確時,“n=k”也是正確的．而且,本解法考查的是推理意識,學生也沒有接觸過第二數(shù)學歸納法,若糾纏于“n=k”還是“n≤k”,未免有些舍本逐末．

四、他石攻玉

解猜想an=2n+1,下面用數(shù)學歸納法證明.

① 當n=1，易知命題成立.

② 假設n=k(k≥1)時，ak=2k+1,則Sk=3+5+7+…+(2k+1)=k(k+2)；再結合條件Sk=2kak+1-3k2-4k,解得ak+1=2(k+1)+1,命題成立.

由① ②,對任意n∈N*，an=2n+1.

本解法和上述廣一模的解法是一致的.多家網(wǎng)站(包括學科網(wǎng))均收錄了這個解法，可見,“循環(huán)論證”的疑惑是沒有必要的．

由第(1)問，得

ex-1-x≥0,

即ex-1≥x，

當且僅當x=0時取等號.