信息技術(shù)輔助函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)

賴曉暉（福建省福州高級(jí)中學(xué)）

信息技術(shù)輔助函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)

賴曉暉
（福建省福州高級(jí)中學(xué)）

信息技術(shù)輔助函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)能加深概念理解、糾正認(rèn)識(shí)誤區(qū)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，能幫助處于不同認(rèn)知層次的學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。

信息技術(shù)；函數(shù)與方程；數(shù)學(xué)思維

信息技術(shù)在不斷發(fā)展，它改變著我們的生活，也改變著學(xué)生的認(rèn)知方式。在學(xué)生的不同認(rèn)知層次情況下，如何應(yīng)用信息技術(shù)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)？本文試以函數(shù)與方程教學(xué)中的案例加以說明。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合（如，把算法融入數(shù)學(xué)課程的各個(gè)相關(guān)部分），整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，在保證筆算訓(xùn)練的前提下，盡可能使用科學(xué)型計(jì)算器、計(jì)算機(jī)軟件、互聯(lián)網(wǎng)以及各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)?！薄皯?yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題。例如，利用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)畫出指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)，求方程的近似解等?！?/p>

高中數(shù)學(xué)，尤其是函數(shù)，強(qiáng)調(diào)“數(shù)以形而直觀，形因數(shù)而入微”，利用信息技術(shù)可以直觀、準(zhǔn)確地顯示函數(shù)圖象以及多個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，能動(dòng)態(tài)展示函數(shù)圖象變化的規(guī)律。

一、理論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師的組織和引導(dǎo)下，以數(shù)學(xué)教材為中介，學(xué)生主動(dòng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力、形成良好個(gè)性心理品質(zhì)的認(rèn)識(shí)與發(fā)展相統(tǒng)一的過程，是一種特殊的認(rèn)識(shí)過程。學(xué)習(xí)效果與教學(xué)內(nèi)容的選擇、呈現(xiàn)方式、學(xué)生的基礎(chǔ)等有密切的關(guān)系。高中學(xué)生在學(xué)習(xí)初等函數(shù)時(shí)，通常是教師精確作圖，學(xué)生觀察分析，學(xué)生對(duì)函數(shù)的圖象形成表象，在大腦中形成自己對(duì)這個(gè)圖象的觀念并形成記憶，然后通過語言與文字表述這個(gè)函數(shù)的圖象特征，進(jìn)而對(duì)這個(gè)函數(shù)形成代數(shù)抽象，還能對(duì)其中的參數(shù)分類探究。學(xué)生常見問題有：概念理解不深入，記憶有誤差，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維難見成效。

在實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)用信息技術(shù)工具可以解決這些問題。在使用信息技術(shù)工具呈現(xiàn)出精確圖象或運(yùn)動(dòng)圖象后，教師還應(yīng)設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生理解并分析函數(shù)圖象，并內(nèi)化為對(duì)概念的理解。學(xué)生利用信息技術(shù)工具可以自主準(zhǔn)確作圖，分析對(duì)比函數(shù)圖象，深入認(rèn)識(shí)函數(shù)概念，發(fā)展辯證思維能力。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用，用信息技術(shù)輔助課堂教學(xué)。在當(dāng)前的考試中不能使用圖形計(jì)算器，但函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合又是高中數(shù)學(xué)分析思路與解題的重要工具，因此，教師在使用信息技術(shù)工具講解完后，應(yīng)與學(xué)生共同分析，在沒有信息技術(shù)工具時(shí)，如何解決這些問題，從而讓信息技術(shù)工具真正起到輔助作用。正如全國中小學(xué)計(jì)算機(jī)教育研究中心主任苗逢春博士所說：“如果沒有教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)一步步展開深刻思考，則信息技術(shù)整合就失去了靈魂，功能強(qiáng)大的信息技術(shù)就只是可供教師換取一兩聲喝彩的花拳繡腿和表演道具。”

二、用途

1.加深概念理解

奧蘇貝爾在“學(xué)與教”理論中提出“有意義學(xué)習(xí)”的理論，要求將有潛在意義的學(xué)習(xí)材料同學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。數(shù)學(xué)概念通常是準(zhǔn)確的定義，學(xué)生作為初學(xué)者，種種因素使學(xué)生難以準(zhǔn)確理解定義，更難主動(dòng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。教師可以借助信息技術(shù)工具，創(chuàng)建認(rèn)知情境，以精確的作圖、動(dòng)態(tài)的圖象變化吸引學(xué)生主動(dòng)探究，同時(shí)可以直觀感知的圖象能幫助學(xué)生歸納并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，可以作出函數(shù)y=ax的圖象，并改變底數(shù)a的數(shù)值形成圖象的動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生通過觀察底數(shù)a的大小變化和圖象的變化，可以發(fā)現(xiàn)底數(shù)a>1和0

在課堂中，可以用幾何畫板實(shí)現(xiàn)圖象的動(dòng)態(tài)變化。用線段的長(zhǎng)度度量底數(shù)a的大小，通過拉動(dòng)線段的端點(diǎn)改變線段長(zhǎng)度，從而改變a的大小，實(shí)現(xiàn)圖象的連續(xù)變化。這個(gè)課件也可以作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自主操作、自主探究。類似的，在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)也可以用信息技術(shù)呈現(xiàn)圖象的變化，由學(xué)生自主歸納函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

傳統(tǒng)教學(xué)手段由于以靜態(tài)為主，單個(gè)圖象的精確作圖可以以“列表描點(diǎn)連線”完成，要想看到圖象的變化情況，須作出多個(gè)圖象，這不僅耗費(fèi)時(shí)間較多，所作的圖象也未必精確，而且在同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圖象也容易相互干擾。靜態(tài)圖象需要學(xué)生想象才能“連續(xù)變化”，不是直觀感知。所以信息技術(shù)工具作出的函數(shù)圖象連續(xù)變化是黑板上作圖無法替代的。信息技術(shù)作圖能彌補(bǔ)手工作圖的不足，增強(qiáng)直覺，如果學(xué)生能動(dòng)手操作，就能強(qiáng)化學(xué)生動(dòng)手操作時(shí)的直覺體驗(yàn)。函數(shù)圖象從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，學(xué)生從觀察動(dòng)態(tài)圖象到對(duì)比分析，從眼見到腦想，促進(jìn)思維發(fā)展。這種利用信息技術(shù)自我探究的學(xué)習(xí)方式和效果是傳統(tǒng)教學(xué)手段達(dá)不到的。

強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)作圖帶來的好處，并非“列表描點(diǎn)連線”的作圖方法不重要。通過上述課程的學(xué)習(xí)或探究，學(xué)生認(rèn)識(shí)了指數(shù)圖象的變化規(guī)律。在解題時(shí)，學(xué)生能取點(diǎn)做出較準(zhǔn)確的指數(shù)函數(shù)圖象。所以，信息技術(shù)精確作圖能加深對(duì)概念的理解，這一點(diǎn)體現(xiàn)在解題時(shí)較準(zhǔn)確作圖上。

2.糾正認(rèn)識(shí)誤區(qū)

學(xué)生對(duì)函數(shù)圖形的認(rèn)識(shí)，較多是記憶其大致形狀和趨勢(shì)，容易形成對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，在解題時(shí)草圖畫不準(zhǔn)確，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。糾正作圖中的錯(cuò)誤就要用計(jì)算機(jī)軟件精確作圖，能幫助學(xué)生重新形成對(duì)函數(shù)圖象的正確認(rèn)識(shí)。

學(xué)生的習(xí)慣是畫出函數(shù)f（x）的圖象后，隨手畫出函數(shù)y=lg x的圖象。教師講解時(shí)要用計(jì)算機(jī)畫出精確圖形，學(xué)生對(duì)比后發(fā)現(xiàn)自己的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，再探究怎樣畫出函數(shù)y=lg x的較準(zhǔn)確的草圖，學(xué)生聯(lián)想到課堂上發(fā)現(xiàn)的函數(shù)y=logax過定點(diǎn)（1，0）和（a，1），所以可以用定點(diǎn)（1，0）和（10，1）畫出函數(shù)y=lg x的較準(zhǔn)確的草圖。這個(gè)過程能讓學(xué)生糾正認(rèn)識(shí)誤區(qū)，重新內(nèi)化為對(duì)函數(shù)圖象的理解，學(xué)生的思維從感性上升到理性，為培養(yǎng)學(xué)生推理論證的意識(shí)和能力奠定基礎(chǔ)。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

分類思想是數(shù)學(xué)思維的重要方面，分類討論對(duì)學(xué)生是思維發(fā)展上的難點(diǎn)。函數(shù)是培養(yǎng)分類談?wù)撍季S的良好載體。在函數(shù)中，參數(shù)的改變將引起圖象的變化，導(dǎo)致兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化。信息技術(shù)在動(dòng)態(tài)圖形的作圖上有優(yōu)勢(shì)，通過觀察圖象變化，能發(fā)現(xiàn)上述變化。

例2：求y=ax與y=logax的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

學(xué)生通常只能畫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)的圖形，得不到更多結(jié)果。通過幾何畫板作圖，隨著參數(shù)a的變化能得到上述結(jié)論，還可以得到三個(gè)交點(diǎn)的情形，圖形激發(fā)了學(xué)生探究的熱情，師生一起分類討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

需要強(qiáng)調(diào)的是，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，只有當(dāng)學(xué)生深入探究問題，找到分類標(biāo)準(zhǔn)后，才能提升思維品質(zhì)。其實(shí)，數(shù)學(xué)思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程。因此信息技術(shù)可以輔助培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

4.應(yīng)用數(shù)學(xué)思想

在目前高考中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)成為檢測(cè)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的重頭戲，學(xué)生要具備深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和分析能力，尤其要熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)建函數(shù)并應(yīng)用圖象解決問題。

學(xué)生如果能從圖象知道ln x和x的增長(zhǎng)速度和變化趨勢(shì)，就能直接得出函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，在解題思路分析上前進(jìn)了一大步。當(dāng)然正確應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的前提是有扎實(shí)的函數(shù)圖象基礎(chǔ)和準(zhǔn)確的圖形直觀認(rèn)識(shí)。通過信息技術(shù)能培養(yǎng)準(zhǔn)確的對(duì)函數(shù)圖形的直觀認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生自信地作圖和應(yīng)用圖形解決函數(shù)問題。

以圖形技術(shù)為核心的信息技術(shù)，能使復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀、形象、動(dòng)態(tài)的感性情景，降低了學(xué)生理解數(shù)學(xué)的難度，但需要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，靈活選用合適的信息技術(shù)工具。教師把信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)結(jié)合起來，揭示數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展，揭示數(shù)學(xué)思維的形成與實(shí)質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵與應(yīng)用，幫助處于不同認(rèn)知層次的學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)收到事半功倍的效果。

［1］德里斯科爾.學(xué)習(xí)心理學(xué)：面向教學(xué)的取向［M］.王小明，譯.華東師范大學(xué)出版社，2008.

［2］李馨.信息技術(shù)應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)的反思和建議［J］.中國電化教育，2003：5-9

注：本文系“函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的實(shí)踐與研究”FZ2014GH014的課題論文。

·編輯李琴芳