從一次作業(yè)中的發(fā)現(xiàn)談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

盧國(guó)興（浙江省杭州市桐廬中學(xué)）

從一次作業(yè)中的發(fā)現(xiàn)談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移

盧國(guó)興
（浙江省杭州市桐廬中學(xué)）

學(xué)習(xí)新內(nèi)容都是在原有學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，而新知識(shí)的學(xué)習(xí)都不能擺脫原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響。因此,學(xué)生先期學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)及習(xí)慣形成的思維有時(shí)會(huì)讓他們失去判斷事物的能力，從而產(chǎn)生負(fù)遷移。應(yīng)該整合教學(xué)資源,提升教學(xué)效率,盡可能避免負(fù)遷移，促進(jìn)正遷移。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；思維定勢(shì)；負(fù)遷移

一、從一次作業(yè)引發(fā)的思考

在最近一次“二項(xiàng)式定理”的作業(yè)中，有這樣一個(gè)題目：

已知（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求a0+a1+a3+a5=______.本以為這是很簡(jiǎn)單的一個(gè)小問題，只要會(huì)用賦值法就可以解決：令x=1，則243=a0+a1+a2+a3+a4+a5（1）；再令x=-1，則-1=a0-a1+a2-a3+ a4-a5（2）由（1）+（2），a1+a3+a5=122；又令x=0，得到a0=1，所以a0+ a1+a3+a5=123.

從學(xué)生作業(yè)的反饋來看，我所任教的兩個(gè)班級(jí)人數(shù)為100人，錯(cuò)誤的有32人，其中答案為“122”的學(xué)生有22人，原因在于沒看到還有個(gè)a0，都是直接求a1+a3+a5=122。

針對(duì)這個(gè)問題，我進(jìn)行了思考，之前我們練習(xí)的都是求“a1+ a3+a5”或“a0+a2+a3+a4”這樣類型的問題?，F(xiàn)在在作業(yè)中又看到這種題型，學(xué)生憑自己的感覺認(rèn)知題意，存在思維定勢(shì)，從而發(fā)生負(fù)遷移。所謂負(fù)遷移，是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極的影響或阻礙另一種學(xué)習(xí)的順利進(jìn)行，學(xué)習(xí)新知識(shí)或解決新問題時(shí)受到已有知識(shí)的負(fù)面影響。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，隨著教學(xué)的深入，學(xué)生勢(shì)必會(huì)更新已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)入新的認(rèn)知層次。但學(xué)生在先期學(xué)習(xí)中形成的模式、結(jié)構(gòu)以及產(chǎn)生的一些習(xí)慣在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移。而負(fù)遷移會(huì)危害教學(xué)，大大降低教學(xué)效果。作為教師，應(yīng)通過自身的教學(xué)實(shí)踐與反思，盡可能地避免負(fù)遷移，促進(jìn)正遷移。

二、形成負(fù)遷移的主要成因

1.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解得不全面

由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性，隨著研究范圍逐漸擴(kuò)大，不少概念、公式等知識(shí)已經(jīng)發(fā)生變化，如果學(xué)生沒有真正理解和掌握的新知識(shí)，就會(huì)出現(xiàn)概念模糊，對(duì)公式和定理一知半解，這樣舊知識(shí)對(duì)新知識(shí)的干擾和抑制作用就會(huì)帶來負(fù)遷移。例如由平面中兩直線垂直必然有交點(diǎn)得出：空間中兩直線垂直也要有交點(diǎn)（異面直線所成的角為90°時(shí)，也可稱垂直），由數(shù)的乘法結(jié)合律（a·b）·c=a·（b· c）得出向量的錯(cuò)誤運(yùn)算

2.學(xué)生分析問題的能力差

學(xué)生分析問題的能力是指對(duì)事物間關(guān)系的覺察能力，它影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移。

由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，容易將此數(shù)列單調(diào)性問題遷移為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題，即解得這種解法似乎順理成章，但是是錯(cuò)的。題中的是對(duì)n∈N+并不是對(duì)n≥1的所有實(shí)數(shù)成立。

3.學(xué)生的思維定勢(shì)帶來的影響

學(xué)生生活在自然環(huán)境中，從大量的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中獲得不少有關(guān)數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)，形成了一定的生活觀念和經(jīng)驗(yàn)，容易忽視對(duì)題目的分析，從而導(dǎo)致結(jié)果的錯(cuò)誤。

例2：已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

錯(cuò)解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），則有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求D的坐標(biāo)為（-2，3）。錯(cuò)因：思維定勢(shì)。認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按照ABCD的順序。其實(shí)題目根本就沒有指出四邊形ABCD。因此，還需要分類討論。

正解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y）當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時(shí)，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。解得D的坐標(biāo)為（-2，3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時(shí)，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x= 6，y=-1。解得D的坐標(biāo)為（6，-1）；當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時(shí)，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x=0，y=5。解得D的坐標(biāo)為（0，5）。故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

三、克服負(fù)遷移促進(jìn)正遷移的主要對(duì)策

負(fù)遷移的產(chǎn)生主要是由數(shù)學(xué)系統(tǒng)中學(xué)生、教師雙方引起的。其中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力是產(chǎn)生負(fù)遷移的內(nèi)因。教師的教學(xué)方法、教學(xué)水平等則是產(chǎn)生負(fù)遷移的外因。

1.重視構(gòu)建有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，克服知識(shí)上的負(fù)遷移

數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是學(xué)生解決問題和樹立數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。而良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有適當(dāng)?shù)?、可利用的特點(diǎn)。為了使學(xué)生能“看清”題目，教師需要：

（1）注重概念辨析對(duì)比

學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)，往往不容易感知和理解概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，以致經(jīng)常造成負(fù)遷移。所以，教師應(yīng)該循序漸進(jìn)地對(duì)相似和易混淆的基本概念、基本原理等進(jìn)行辨析和對(duì)比，講清內(nèi)涵和外延。只有學(xué)生真正理解了，才能有效預(yù)防和克服知識(shí)的負(fù)遷移。

例3：高三復(fù)習(xí)課“離散型隨機(jī)變量的均值與方差”

某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，采取了如下措施：對(duì)不使用超市塑料購(gòu)物袋的顧客，超市給予0.96折優(yōu)惠；對(duì)需要超市塑料購(gòu)物袋的顧客，既要付購(gòu)買費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠。假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購(gòu)物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購(gòu)物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)這2人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ζ，求ζ的分布列。

例題呈現(xiàn)后，學(xué)生思考。一段時(shí)間后，我把學(xué)生1的答題過程進(jìn)行實(shí)物投影：

學(xué)生1：這36人中享受折扣優(yōu)惠的人占了抽兩個(gè)人相當(dāng)于進(jìn)行了兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次抽到享受折扣優(yōu)惠的人的概率都是所以

聽了該學(xué)生的解釋，班級(jí)中有很多學(xué)生也認(rèn)為很有道理，作為教師，我并沒有直接評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)，而是說道：“看誰能先解破其中的奧秘，請(qǐng)同學(xué)們探究。”

學(xué)生2：它不服從二項(xiàng)分布。這36人中享受折扣優(yōu)惠的人確實(shí)占了但這里抽兩個(gè)人相當(dāng)于不放回地抽，不是每次抽到享受折扣優(yōu)惠的人的概率都是

經(jīng)過一系列的分析探究，其他學(xué)生明白了學(xué)生1的錯(cuò)誤之處。學(xué)生2：ζ的可能取值為0，1，2.其中該學(xué)生解答正確，課堂氣氛也很活躍。

這時(shí)我乘勝追擊，問：“它不服從二項(xiàng)分布，那么它到底服從什么分布？”

學(xué)生3：“超幾何分布?！?/p>

師：“剛才學(xué)生1把它看作服從二項(xiàng)分布是不對(duì)的，但在怎樣的條件下，我們可以近似看作服從二項(xiàng)分布呢？”

學(xué)生4：“可不可以按比例增加總?cè)藬?shù)，這樣的話抽出一個(gè)，對(duì)概率就近似看作不影響了。”

師：“對(duì)！請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)二項(xiàng)分布和超幾何分布之間的關(guān)系。”

學(xué)生一起答道：“樣本個(gè)數(shù)越大，超幾何分布和二項(xiàng)分布對(duì)應(yīng)的概率值差別就越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)N很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布。”

通過剛才的教學(xué)，學(xué)生能更好地理解二項(xiàng)分布和超幾何分布，對(duì)今后隨機(jī)變量的分布會(huì)有更準(zhǔn)確的判斷。

（2）注重公式、法則結(jié)構(gòu)分析

不少數(shù)學(xué)公式、法則之間，在結(jié)構(gòu)上存在較強(qiáng)的相似性，從而導(dǎo)致學(xué)生發(fā)生負(fù)遷移而致錯(cuò)。教師要重點(diǎn)講清楚實(shí)質(zhì)，揭示內(nèi)在規(guī)律，而不能讓學(xué)生從形式上死記硬背。教師應(yīng)重點(diǎn)分析其條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，看適當(dāng)放縮條件會(huì)得到什么結(jié)論，也可以探討其逆命題的真假，使學(xué)生明確條件對(duì)結(jié)論產(chǎn)生的影響，有助于他們對(duì)法則實(shí)質(zhì)的理解。

（3）注重新舊知識(shí)之間的聯(lián)系

如果學(xué)生能對(duì)新舊知識(shí)做出概括，找出他們之間的聯(lián)系，就能實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)之間的正遷移。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)考慮到學(xué)生已有的知識(shí)，充分利用已有知識(shí)的特點(diǎn)學(xué)習(xí)新知識(shí)。在教學(xué)過程中，教師也可以給學(xué)生一個(gè)開放的交流平臺(tái)，拓展學(xué)生的思維空間，進(jìn)一步把握新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

2.重視加強(qiáng)實(shí)際操作能力，克服技能上的負(fù)遷移

著名心理學(xué)家皮亞杰說：“學(xué)生的思維從動(dòng)作開始，切斷動(dòng)作與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展?！逼綍r(shí)教師講解較多，導(dǎo)致學(xué)生實(shí)際解題能力弱。教師在教學(xué)中要有目的地加強(qiáng)學(xué)生的技能練習(xí)，注重練習(xí)的科學(xué)性與有效性。在橫向方面，注意引導(dǎo)學(xué)生以整體思想研究教材，全面處理所教內(nèi)容，幫助學(xué)生把頭腦里的知識(shí)形成“由點(diǎn)構(gòu)成線、由線構(gòu)成面”的融會(huì)貫通的邏輯結(jié)構(gòu)；在縱向方面，要幫助學(xué)生把握知識(shí)之間、方法技巧之間的上下從屬關(guān)系。在學(xué)生解決問題的過程中，要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間和空間，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和創(chuàng)新意識(shí)。

3.重視優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，消除思維定勢(shì)造成的負(fù)遷移

優(yōu)秀的思維品質(zhì)包括思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、獨(dú)創(chuàng)性等。學(xué)生具有優(yōu)秀的思維品質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才更具有探索性和思考性，對(duì)所學(xué)的知識(shí)才能達(dá)到真正的理解和掌握。教學(xué)中師生雙方都應(yīng)充分展現(xiàn)思維過程。師生、生生之間的思維路線溝通，形成教與學(xué)的良性發(fā)展，真正優(yōu)化品質(zhì)，發(fā)展思維。

課堂教學(xué)中，從一個(gè)基本問題出發(fā)，進(jìn)行漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練，讓學(xué)生在變中求進(jìn)，進(jìn)中求通，雖然上課的進(jìn)度慢了點(diǎn)，但這樣的過程能拓展學(xué)生的認(rèn)知空間，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，能較好地防止負(fù)遷移。

在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的經(jīng)驗(yàn)。但是，教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置，利用情感的共鳴、思維的共振達(dá)到學(xué)習(xí)的共進(jìn)，最大限度地促使學(xué)生知識(shí)、技能、思維的正遷移。

［1］章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論與學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京：人民教育出版社，2001.

［2］俞濤.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移方法［J］.教學(xué)與教育，2012.

·編輯李琴芳