重構教材　優(yōu)化設計
——“函數(shù)的單調性與導數(shù)”教學設計探究

袁培培（新疆農業(yè)大學附屬中學）

重構教材優(yōu)化設計
——“函數(shù)的單調性與導數(shù)”教學設計探究

袁培培
（新疆農業(yè)大學附屬中學）

對于函數(shù)單調性的研究在高中可分為兩個階段：第一個階段是在數(shù)學《必修1》中，用定義研究函數(shù)單調性；第二階段在《選修2-2》中，用導數(shù)研究函數(shù)的單調性。利用導數(shù)研究函數(shù)在高考中占有重要的一席之地，是高中數(shù)學教學中大家公認的重要章節(jié)，曾多次觀摩、聽評該課，并在參加講課比賽中因該課獲一等獎，故有一些認識和體會，在此與同仁們分享，共同探究。

函數(shù)教學；高中數(shù)學；教學設計

熟悉教材的老師都知道，任教A版必修教材的主編寄語中提到數(shù)學是自然的、數(shù)學是清楚的、數(shù)學是有用的，整套教材力求做到概念引入“自然”、邏輯敘述“清楚”、知識體系“有用”，如何結合學生實際利用好教材，最大限度地發(fā)揮教材的實用性，成為老師們教學研究中津津樂道的內容。

一、數(shù)學是自然的

人教A版教材中利用高臺跳水引出學習內容，讓學生觀察兩個圖象（一是高度隨時間變化的圖象，一是速度隨時間變化的圖象），發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減與導函數(shù)正負之間的聯(lián)系。意在借此體現(xiàn)數(shù)學在物理和生活中的應用。而現(xiàn)實教學中很少有老師選用這一素材，因為從實際生活中抽象出數(shù)學問題并加以研究加大了學生的認知難度，不利于新課的講授。多數(shù)教師會直接利用課本第二個環(huán)節(jié)引課：結合大量的函數(shù)實例，借助圖象（幾何直觀）讓學生觀察、歸納、得出結論。這樣的設計符合學生思維的最近發(fā)展區(qū)，降低了認知難度。但僅僅利用幾個學生已經耳熟能詳?shù)暮瘮?shù)就想體現(xiàn)導數(shù)的價值，大有簡單問題復雜化之嫌。

筆者認為好的引課首先應該是自然的、承上啟下的、符合學生認知規(guī)律的、能吸引學生注意力的。在必修一中學生已經知道了利用基本初等函數(shù)的圖象可以判斷函數(shù)的單調性，并在后續(xù)拓展中了解了利用“同增異減”可以判斷復合函數(shù)的單調性，對于其他函數(shù)的單調性又該如何判斷呢？有統(tǒng)一的方法嗎？筆者結合課本，精心設計三個表，基本覆蓋了前面所學的導數(shù)公式和運算法則，起到鞏固前知的作用。三個表的安排又各有深意，表1意在體現(xiàn)利用圖象判斷函數(shù)的單調性，表2意在利用單調函數(shù)的加減和復合函數(shù)求單調性，對于表3中的函數(shù)又該如何求單調性呢？提出問題，通過表格間的聯(lián)系層層遞進地引入新課，通過求前面三個表中各函數(shù)導函數(shù)大于0的解集，學生在動手實踐中親身體驗導函數(shù)的正負與原函數(shù)單調性間的關系，認識到導數(shù)作為研究函數(shù)單調性通法的意義所在。這樣的引課正如主編寄語中說的：“概念的形成實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！?/p>

二、數(shù)學是清楚的

“清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論。只要按照數(shù)學規(guī)則，按部就班地學，循序漸進地想，絕對可以學懂?！苯滩闹欣?利用大量的篇幅舉例如何利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，甚至在第（3）（4）問中去除部分關鍵內容讓學生填空，力求清楚地表達嚴謹?shù)慕忸}邏輯格式。但是結合多年的教學經驗，筆者認為教材的安排還不夠合理、不夠清楚。問題不在解題過程，而在例題的選取。4個小例中有3個定義域為R，另一個給出了x的取值范圍，例題的講解中沒有涉及求定義域，缺少了這一環(huán)節(jié)，很容易讓學生忽略定義域對單調性的影響，而恰恰這是萬萬不可的。所以，在教學中整合教材，合理地選取例題是十分有必要的。

三、數(shù)學是有用的

教材第24頁有一個思考：“請同學們回顧一下函數(shù)單調性的定義，并思考某個區(qū)間上函數(shù)y=f（x）的平均變化率的幾何意義與其導數(shù)正負的關系?！倍鄶?shù)老師在處理這一環(huán)節(jié)時選擇忽略，從得到定義后直接進入例題講解。筆者認為這樣做是不恰當?shù)?，編者提出這個問題不是空穴來風，定是有用的。課本設計結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與其導函數(shù)正負之間的關系，沒有進行嚴格的證明，因為嚴格的證明需要導數(shù)的很多基礎知識，遠遠超過本節(jié)的教學要求。但是不給證明不代表可以不問究竟，究竟為什么利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性，如何解答學生心中的疑慮？這里的思考把導數(shù)的定義與函數(shù)的單調性定義聯(lián)系起來，從概念的角度表達兩者之間的內在聯(lián)系，相當于旁證。所以，對“思考”的探究就顯得十分必要了。

教材內容的重構既要依托于教材又要超越教材，靈活地、創(chuàng)造性地、個性化地對教材內容進行“裁剪”，對教學資源做出合理的選擇和優(yōu)化，為學生一一呈現(xiàn)出具有系統(tǒng)性和完整性的數(shù)學課，是教育一線者的不懈追求。

［1］黃超.以審慎和發(fā)展的眼光優(yōu)化教材［J］.中學數(shù)學教學參考；上旬，2013（7）：24-26.

［2］楊育池.多一點精心預設，融一份動態(tài)生成［J］.數(shù)學通報，2009（1）：34-41.

［3］彭上觀，羅碎海.課程標準視角下高中教材的新變化：以高一數(shù)學《函數(shù)》一章為例［J］.數(shù)學通報，2004（9）.

［4］吳蘭珍.高中數(shù)學函數(shù)教學滲透數(shù)學思想方法淺探［J］.廣西教育學院學報，2004（5）.

·編輯王團蘭