集合的基本概念與表示方法

李斌

（重慶市酉陽第一中學(xué)校）

集合的基本概念與表示方法

李斌

（重慶市酉陽第一中學(xué)校）

“集合”這一節(jié)內(nèi)容是進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的敲門磚，而“集合”這兩個字是大家都不陌生的詞語。學(xué)校一般進(jìn)入高一前都會進(jìn)行軍訓(xùn)，而教官使用頻率較高的詞語就有“集合”，通常會說“一連集合”“一連女生集合”“一連男生集合”等等。這些都是關(guān)于“集合”在生活中的應(yīng)用。

一、集合的理解

教材上是這樣定義集合的：一般的，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）。比如在軍訓(xùn)中的“一連女生集合”中的一連每一個女生就是一個元素，而一連中所有的女生就構(gòu)成一個集合。這樣看感覺集合很簡單，但是要理解集合要從以下幾方面來理解：

1.集合中的元素具有確定性：比如說“漂亮的女生”就不是一個集合，因為每一個人評價漂亮的標(biāo)準(zhǔn)不同，就會出現(xiàn)張三覺得漂亮，王五覺得不漂亮這種情況，因此就無法判斷該女生是否在該集合內(nèi)，這就與集合元素的確定性相悖。簡單地說就是一個元素要么屬于集合，要么不屬于集合，二者必居其一，且只居其一。

2.集合中的元素具有互異性：比如：5∈ ｛1，m+2，m2+4｝，則m的取值集合為 ｛1，-1，3｝。這是錯誤的，因為如果m取的值是-1，那么原集合就變成了 ｛1，1，5｝，這里的兩個1相同，就與集合元素的互異性矛盾。也就是說若元素a屬于集合A，元素b屬于集合A，則元素a不等于元素b。

3.集合中的元素具有無序性：｛a，b｝與 ｛b，a｝表示同一個集合。也就是說集合中元素的位置沒有前后左右之分。

二、集合的表示方法

1.列舉法：常用于表示有限集，就是把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在花括號“｛ ｝”內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。比如要表示“中國的直轄市”可以用集合表示為｛北京市，天津市，上海市，重慶市｝；要表示小于11的所有自然數(shù)組成的集合可以表示為 ｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝；要表示由方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合可以表示為 ｛0，1｝；要表示1～19以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合可以表示為 ｛2，3，5，7，11，13，17｝等等，這些有限集都可以用列舉法來表示。用它來表示集合簡潔明了，一目了然，但只能表示有限集，且有限集里面的元素盡量少才能表示。

2.描述法：常用于表示無限集，把集合所含元素的共同特征在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。這種表示集合的方法叫做描述法。即：｛x|P｝（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）比如：｛x|y=x2｝表示函數(shù)y=x2的定義域即為R， ｛y|y=x2｝表示函數(shù)的值域即為非負(fù)數(shù)集，｛（x，y）|y=x2｝表示的是函數(shù)y=x2的圖像拋物線上所有點集合。這三個集合看起來相同，實際上大相徑庭，因此教學(xué)時一定要強調(diào)代表元素的重要性。又比如要表示不等式x-3＞2的解集可以表示為 ｛x|x-3＞2｝；要表示二次函數(shù)y=x2-15圖像上的所有點組成的集合可以表示為｛（x，y）|y=x2-15｝；要表示方程x2+ y2+4x-6y+13=0的解集可以表示為｛（x，y）|x2+y2+4x-6y+13=0｝等等，這些集合都可以用描述法來表示，而對于方程x2+y2+4x-6y+ 13=0的解集，它既可以用列舉法也可以用描述法來表示，如果用列舉法表示就是｛（-2，3）｝，這表示集合中有且只有一個元素，即（-2，3）。顯然，用列舉法表示集合時，豎線前的代表元素非常關(guān)鍵，還有就是后面的描述也非常關(guān)鍵，一旦描述得不同，結(jié)果就有可能完全不同了，因此一定要認(rèn)真讀題，仔細(xì)分析。用描述法來表示集合不僅表達(dá)比較簡潔，而且能把元素間的相互關(guān)系表達(dá)清楚，因此描述法是表示集合的一種重要方法。

3.自然語言法：顧名思義就是用自然語言來描述集合的一種方法。例如：我國從1992～2016年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；重慶市酉陽第一中學(xué)校在2016年9月1日入學(xué)的所有高一學(xué)生；方程x2+y2+4x-6y+13=0的所有實數(shù)根；到直線l的距離等于定長d的所有點的集合等等。這些都是用自然語言表示集合的例子。用自然語言可以表示所有的集合。

4.圖示法：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合。這樣可以形象直觀地表示集合，通常用于處理抽象集合間的相互關(guān)系。

5.常用數(shù)集及表示法：R：實數(shù)集；Q：有理數(shù)集；Z：整數(shù)集；N：自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）；N*正整數(shù)集；φ：空集；C：復(fù)數(shù)集。

一旦掌握了集合的定義和集合的表示方法后，關(guān)于集合概念的問題就會迎刃而解了，因此，我們在教學(xué)中應(yīng)該多舉形象生動的例子，讓學(xué)生切實體會其中的深意。

［1］周煥山.集合的基本概況及其教學(xué)［J］.江蘇教育，1982.

［2］陳宏偉.怎樣學(xué)好“集合”［J］.中學(xué)生數(shù)理化，2006.

·編輯張慧