小學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值與教學(xué)例析

江蘇南通師范高等?？茖W(xué)校（226000） 丁海峰

小學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值與教學(xué)例析

江蘇南通師范高等?？茖W(xué)校（226000） 丁海峰

概率統(tǒng)計(jì)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有其不可或缺的教育地位和獨(dú)有的教育價(jià)值。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可通過典型的教學(xué)案例和有針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和綜合實(shí)踐，幫助學(xué)生掌握概率統(tǒng)計(jì)這一認(rèn)識世界的工具，提高處理信息的能力；加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握；提高學(xué)生的思維品質(zhì)和思維水平，幫助學(xué)生建立良好的科學(xué)品質(zhì)和辯證唯物主義觀念。

概率統(tǒng)計(jì) 教育價(jià)值 教學(xué)案例

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》首次將“統(tǒng)計(jì)觀念”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一，并將統(tǒng)計(jì)與概率作為數(shù)學(xué)教學(xué)的四個領(lǐng)域之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》還將原來的“統(tǒng)計(jì)觀念”提高為“數(shù)據(jù)分析觀念”，在過程性和應(yīng)用性等方面對小學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)提出了更高的要求。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容相對偏少，難度相對較低，但作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的四個領(lǐng)域之一，概率統(tǒng)計(jì)有其不可忽視的教育價(jià)值和教育地位。

一、掌握認(rèn)識世界的工具，提高處理信息的能力

在報(bào)紙、電視等媒體中，經(jīng)常會出現(xiàn)“某臺風(fēng)使沿海地區(qū)受災(zāi)面積達(dá)60%”，“本月房產(chǎn)價(jià)格環(huán)比上漲4%”，“這場足球賽，巴西隊(duì)贏的可能性比較大”，“到這家商場買家電更劃算”等語言，這些都運(yùn)用了大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和概率統(tǒng)計(jì)術(shù)語。生活已經(jīng)先于數(shù)學(xué)課程將概率統(tǒng)計(jì)知識推到了學(xué)生面前，學(xué)生也了解基本的、簡單的概率統(tǒng)計(jì)知識，但學(xué)生真正理解了這些數(shù)學(xué)知識嗎？比如例子中的三個百分?jǐn)?shù)60%、4%、80%，它們各自有什么意義，有區(qū)別和聯(lián)系嗎？解答這些問題就需要進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這也是概率統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值和目的所在。

現(xiàn)實(shí)生活中還存在大量的數(shù)據(jù)或者需要通過數(shù)據(jù)處理才能解決的問題。面對這些數(shù)據(jù)，為了更好地認(rèn)識世界，人們就要學(xué)會處理各種信息并分析和判斷?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出了“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法?！?/p>

【例1】 學(xué)校要發(fā)校服，那我們班需要大號、中號、小號的校服各多少套？

首先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣一個思維過程：

（1）大號、中號、小號的校服各自對應(yīng)的身高是多少？

（2）我們班每個同學(xué)的身高是多少？

（3）身高在各對應(yīng)范圍內(nèi)的同學(xué)人數(shù)是多少？

（4）如何統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)的身高？

（5）如何又快又準(zhǔn)地處理統(tǒng)計(jì)結(jié)果？

（1）（2）（3）是讓學(xué)生意識到需要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，（4）（5）則是需要學(xué)生收集、分析和處理數(shù)據(jù)，讓學(xué)生在討論過程中選擇合適的方法，如統(tǒng)計(jì)表、條形圖或餅圖等。

概率統(tǒng)計(jì)是認(rèn)識和理解隨機(jī)現(xiàn)象的鑰匙，掌握概率統(tǒng)計(jì)方法，通過數(shù)據(jù)的收集、整理和分析，可以使我們對事物的判斷與選擇盡可能正確，可以使我們在生活和工作中少犯錯誤，贏得主動。因此，“概率統(tǒng)計(jì)是一門可以使人變聰明的技術(shù)”，是使人能夠更好地了解和把握社會現(xiàn)象的一門學(xué)科。

二、體會概率思想方法，加深對數(shù)學(xué)的整體理解

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。除概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)外，數(shù)學(xué)的其余分支研究的都是確定性現(xiàn)象。正因?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)不同于研究必然現(xiàn)象的其他數(shù)學(xué)分支，并且在理論和思想方法上具有獨(dú)特性，它的教育價(jià)值也越來越被人們認(rèn)可。

【例2】 一個布袋里有3個紅球和1個黃球。我們一共摸20次球，每次摸后都放回，游戲規(guī)則：如果摸到紅球的次數(shù)多，就算女生贏，如果摸到黃球的次數(shù)多，就算男生贏。

（1）這個游戲公平嗎？為什么？

（2）女生一定會贏嗎？

（3）怎樣才能讓男生贏的可能性相對更大？又怎樣才能讓女生贏的可能性相對更大？

問題（1）基于生活常識，學(xué)生基本都認(rèn)為游戲不公平，因?yàn)榧t球個數(shù)較多，所以女生贏的可能性更大，這也正是概率思想的核心，即單一試驗(yàn)的偶然性與大量重復(fù)試驗(yàn)所體現(xiàn)的必然性。問題（2）的提出能促使一部分學(xué)生思考：女生一定會贏嗎？事實(shí)上，在不少課堂試驗(yàn)中均出現(xiàn)這種“意外”情況：男生贏了。這是因?yàn)槟骋皇录l(fā)生的可能性雖然大，但并不能遮蓋或替代另一小概率事件發(fā)生的可能性。問題（3）需要更深層次的知識，可以讓學(xué)生課后進(jìn)行多次試驗(yàn)，摸球次數(shù)分別為1、10、20、50、100……可以發(fā)現(xiàn)，摸球次數(shù)越少，男生贏的可能性相對更大，反之女生贏的可能性相對更大。

三、拓展思維方式、提升思維水平

概率統(tǒng)計(jì)的思維方式能夠拓展學(xué)生的思維廣度，打破原有思維方式對學(xué)生的束縛，進(jìn)而全面提升學(xué)生的思維水平，因此它是人們不可缺少的思維模式。

統(tǒng)計(jì)方法是一種實(shí)證主義方法，是歸納與演繹的有機(jī)結(jié)合，它通過大量的隨機(jī)試驗(yàn)從偶然性中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性、必然性。探究過程中采用的統(tǒng)計(jì)歸納、邏輯演繹等具有或然性特征，但這種或然性又具有一定的概率保證，也就是在一定概率程度上對命題進(jìn)行“證明”。

例如概率統(tǒng)計(jì)中著名的“蒲豐投針問題”，即通過對隨機(jī)試驗(yàn)及其數(shù)據(jù)的觀察、分析、處理，求出圓周率π的近似值。這一實(shí)驗(yàn)法開創(chuàng)了用偶然性方法去攻克確定性問題的先河，將必然數(shù)學(xué)與或然數(shù)學(xué)聯(lián)系在了一起。

雖然在小學(xué)階段無法學(xué)習(xí)復(fù)雜的“蒲豐投針問題”，但依然可以運(yùn)用這種思想方法設(shè)計(jì)一些概率統(tǒng)計(jì)問題，從而達(dá)到提升學(xué)生思維水平的目的。

【例3】 一個不透明的袋中裝有4個紅球和1個白球共5個球（事先不告訴學(xué)生具體的白球與紅球數(shù)目，只告訴他們袋中球的顏色為白色和紅色），讓學(xué)生通過足夠多次有放回的摸球，統(tǒng)計(jì)摸出白球與紅球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計(jì)袋中白球與紅球數(shù)目的情況。

該問題的解決可以分為以下幾個層次。

（1）學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是“知道袋中球的顏色和數(shù)目的情況下，摸到哪種顏色球的概率較大，具體是多少”。本題可由已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論“在不看和不數(shù)袋子里球的顏色的前提下，如何估計(jì)袋中白球與紅球數(shù)量的情況”，啟發(fā)學(xué)生想到可以通過摸球得到數(shù)據(jù)，進(jìn)一步由數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。

（2）通過大量有放回的摸球試驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。如果進(jìn)行足夠多的試驗(yàn)，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)摸出的白球與紅球的數(shù)量，就可以估計(jì)袋中是白球多還是紅球多，在隨機(jī)性的基礎(chǔ)上體會規(guī)律性。

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)與摸出紅球的次數(shù)的比趨于穩(wěn)定，學(xué)生可以估計(jì)出袋中白球數(shù)量和紅球數(shù)量的比，進(jìn)一步體會規(guī)律性。估計(jì)出了袋中白球數(shù)量和紅球數(shù)量的比，并知道了袋中兩種顏色球的總數(shù)，就可以估計(jì)白球和紅球各自的數(shù)量。

當(dāng)然，小學(xué)生無法用概率的方法進(jìn)行準(zhǔn)確、科學(xué)的推斷和預(yù)測，只能是一些猜想，屬于沒有證明的合情推理。概率推理作為一種合情推理，是與代數(shù)推理、幾何推理同樣重要的一種推理形式。波利亞說過，合情推理是與邏輯推理一樣重要的推理，是更具創(chuàng)造性的推理。因此，經(jīng)過長期的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，學(xué)生的合情推理能力自然可以得到相應(yīng)的提高。

四、培養(yǎng)良好的科學(xué)品質(zhì)和辯證唯物主義觀念

概率統(tǒng)計(jì)是在解決各種實(shí)際問題中發(fā)展起來的，其解決問題的方法和結(jié)果的呈現(xiàn)方式也較為特別，對于學(xué)生科學(xué)品質(zhì)的培養(yǎng)和辯證唯物主義思想的形成有巨大的幫助。

從概率統(tǒng)計(jì)的角度去觀察、探索和解釋現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)領(lǐng)域中的隨機(jī)事件，能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)世界中的很多事情形成自己的看法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。因此概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)不能沿用傳統(tǒng)的記憶和機(jī)械的解題訓(xùn)練方法，同時，概率統(tǒng)計(jì)的隨機(jī)性使得解決問題的模式具有多樣性和不重復(fù)性，需要不斷創(chuàng)建新模式來解決新問題，有益于學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和創(chuàng)造能力的提高。科學(xué)應(yīng)用信息作出正確決策是概率統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)，概率統(tǒng)計(jì)能教會學(xué)生合理運(yùn)用規(guī)律作出正確的決策，培養(yǎng)自身的決策能力和決策意識。解決概率統(tǒng)計(jì)問題時，常常需要多人共同參與，解決問題的過程就是分工協(xié)作、相互配合的過程，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們，事物的偶然中蘊(yùn)含必然，必然中又帶有偶然，這一辯證關(guān)系是事物的固有屬性，也是我們思考和研究問題所必須持有的思想觀念。

【例4】 在可能性的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)如下問題：

（1）在一個布袋中有1個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，摸到紅球與白球的可能性相等嗎？

（2）如果袋中有2個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，摸到紅球與白球的可能性相等嗎？

（3）如果袋中有9個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（4）如果袋中有99個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（5）如果袋中有999個紅球和1個白球，從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

（6）如果袋中有無數(shù)個紅球和1個白球（假設(shè)袋子無限大），從中任意摸一個球，能摸到白球嗎？

從簡單的問題出發(fā)，通過數(shù)據(jù)的變化，不斷激發(fā)學(xué)生的思維。學(xué)生在思考、討論甚至激烈的辯論中得出正確答案。當(dāng)袋中有99個紅球和1個白球時，學(xué)生還能肯定地說“能摸到白球”，當(dāng)袋中有999個紅球和1個白球時，學(xué)生已經(jīng)對自己的答案（能摸到白球）產(chǎn)生懷疑，這時教師的引導(dǎo)和對概念的辨析就能加深學(xué)生對可能性這一概念的理解。

對于小學(xué)生來說，統(tǒng)計(jì)與概率這一領(lǐng)域的內(nèi)容是充滿趣味和吸引力的。概率實(shí)驗(yàn)的過程就是對思維挑戰(zhàn)的過程，也是一個非常有趣的過程：親自動手收集、處理及呈現(xiàn)數(shù)據(jù)是一個活動性很強(qiáng)并且充滿挑戰(zhàn)和樂趣的過程。統(tǒng)計(jì)與概率涉及整數(shù)、分?jǐn)?shù)、比值等基礎(chǔ)知識，需要運(yùn)用計(jì)算、推理等基本能力，蘊(yùn)含了分類、歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)習(xí)新知的同時還要能運(yùn)用舊知，自然就能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。學(xué)好概率統(tǒng)計(jì)，還有助于培養(yǎng)學(xué)生以隨機(jī)觀念來認(rèn)識和理解世界，形成正確的世界觀和方法論。概率統(tǒng)計(jì)在生活和數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色，充分認(rèn)識概率統(tǒng)計(jì)課程的教育價(jià)值，發(fā)揮它的育人功能，必能促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

［1］ 孫國春.小學(xué)數(shù)學(xué)理論透視［M］.蘇州∶蘇州大學(xué)出版社，2012，12.

［2］ 王勝青.概率統(tǒng)計(jì)在信息社會中的教育價(jià)值［J］.甘肅高師學(xué)報(bào)，2008（2）.

（責(zé)編 童 夏）

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