小學(xué)數(shù)學(xué)“可能性”教材分析與實(shí)踐思考

劉圣良

“可能性”是人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第四單元教學(xué)內(nèi)容，屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的內(nèi)容。在小學(xué)階段，僅安排在第二學(xué)段學(xué)習(xí)。在原義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材中，此部分教學(xué)內(nèi)容分兩次集中編排。第一次安排在三年級(jí)上冊(cè)，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生初步體驗(yàn)確定事件和不確定事件，初步感受事件發(fā)生的可能性有大小。第二次安排在五年級(jí)上冊(cè)，教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生對(duì)“可能性”的認(rèn)識(shí)和理解逐漸從定性向定量過渡，學(xué)會(huì)用分?jǐn)?shù)描述事件發(fā)生的可能性大小。數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂后，在人教版教材第一學(xué)段中，刪掉了概率的學(xué)習(xí)，將原內(nèi)容后移到第二學(xué)段，稱為“可能性”。原五年級(jí)的內(nèi)容劃分到第三學(xué)段，稱為“概率初步”。人教版五年級(jí)義務(wù)教育教科書關(guān)于“可能性”的內(nèi)容雖然只有三道例題，卻承載著概率教學(xué)中非常重要的任務(wù)，每道例題具體教學(xué)目標(biāo)不同，甚至“做一做”和某些習(xí)題也承載著重要的任務(wù)，這一單元的教學(xué)是銜接中學(xué)概率教學(xué)的重要基石。由于概率的發(fā)展較其他領(lǐng)域的內(nèi)容晚，教師對(duì)此部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)模糊不清，加上新教材對(duì)該部分內(nèi)容又有較大調(diào)整，并且增添了新例題（如例3）。所以，教學(xué)這部分內(nèi)容，對(duì)于教師來講有一定的難度。這就要求教師要抓住知識(shí)的縱向聯(lián)系，站在知識(shí)的高位，自上而下分析教材、吃透教材，要從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來定位教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。

一、從中學(xué)的“概率”教學(xué)看小學(xué)的“可能性”教學(xué)

（一）中學(xué)教材中的概率內(nèi)容的數(shù)學(xué)概念解讀

中學(xué)教材對(duì)隨機(jī)事件、概率的兩個(gè)意義（概率的古典意義和概率的統(tǒng)計(jì)意義）進(jìn)行了具體描述。

1. 隨機(jī)事件。

在一定條件下，某些事件有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生，這樣的事件稱為隨機(jī)事件。

2. 概率的古典定義。

一般來說，如果一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且他們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=。比如，擲兩枚硬幣實(shí)驗(yàn)，分析出現(xiàn)一正一反的可能性大小。在一次實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)四種情況：第一種，1號(hào)幣正面、2號(hào)幣正面；第二種，1號(hào)幣正面、2號(hào)幣反面；第三種，1號(hào)幣反面、2號(hào)幣正面；第四種，1號(hào)幣反面、2號(hào)幣反面。一正一反有兩種情況，占了，概率則為。

3. 概率的統(tǒng)計(jì)意義。

一般來說，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率。比如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面或反面朝上的概率是多少？從統(tǒng)計(jì)意義出發(fā)，首先要反復(fù)做擲硬幣實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出正面或反面朝上的頻率（正面或反面出現(xiàn)次數(shù)占總次數(shù)的比率），隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，這個(gè)頻率會(huì)穩(wěn)定在0.5這個(gè)常數(shù)左右，這個(gè)常數(shù)0.5就是正面或反面朝上的概率。

實(shí)際上，概率的古典定義具有一定的局限性，有一些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)并不具備有限與等可能性質(zhì)，對(duì)于這類隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，概率的古典定義不能適用。比如，考查某種樹苗的移植成活率、某種子的發(fā)芽率、估計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員的命中率、某水果運(yùn)輸過程中的損壞率等。這些實(shí)際問題都不屬于各種結(jié)果可能性相等的類型，所以不能用古典定義來求，而要用統(tǒng)計(jì)意義來求。如某林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件的移植成活率，應(yīng)采取什么樣的具體做法呢？首先，在同樣的條件下，大量地對(duì)這種樹進(jìn)行移植（移植的棵樹用字母n來表示。），并統(tǒng)計(jì)成活情況（成活的棵樹用字母m來表示。），然后計(jì)算成活的頻率（m/n）。如果隨著移植棵樹n的增加，頻率越來越穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就可以被當(dāng)做作成活率的近似值。

（二）中小學(xué)概率教學(xué)的銜接

中學(xué)的概率教學(xué)是從概率的兩個(gè)意義（古典意義和統(tǒng)計(jì)意義）為出發(fā)點(diǎn)，然后過渡到求概率的內(nèi)容。即，用列舉法求概率和用頻率估計(jì)概率。人教版義務(wù)教育教科書單元知識(shí)框架圖如下：

1. 從教學(xué)的知識(shí)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容來看銜接。

小學(xué)階段以感性認(rèn)識(shí)可能性為主，通過實(shí)驗(yàn)去感受隨機(jī)性，定性描述可能性大小，初步根據(jù)結(jié)果推測(cè)狀態(tài)。雖然是感性的認(rèn)識(shí)，但是與中學(xué)的銜接很緊密。實(shí)際上三道例題是中學(xué)隨機(jī)事件和概率的意義的雛形。例2、例3是學(xué)生了解概率的統(tǒng)計(jì)意義的鋪墊。而“做一做”（拋硬幣活動(dòng)）也是學(xué)生理解概率統(tǒng)計(jì)意義的有效載體，這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)也是中學(xué)教材中的例題。

2. 從教學(xué)的過程目標(biāo)和核心素養(yǎng)來看銜接。

中小學(xué)都是通過摸球、拋硬幣等活動(dòng)感受和體會(huì)隨機(jī)性。體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一個(gè)是單次事件發(fā)生的不確定性（偶然性），一個(gè)是大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性。這種隨機(jī)性是學(xué)生通過調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷的過程中體驗(yàn)到的。小學(xué)強(qiáng)調(diào)推測(cè)球或棋子的分布情況，即誰(shuí)多誰(shuí)少。中學(xué)要計(jì)算出頻率，推測(cè)概率?？梢钥闯?，數(shù)據(jù)分析是中小學(xué)教學(xué)概率內(nèi)容的重要方法?！稊?shù)學(xué)課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把數(shù)據(jù)分析納入到十個(gè)核心概念之一，強(qiáng)調(diào)要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。關(guān)于數(shù)據(jù)分析觀念，具體闡釋為：“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，須要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！痹谶@段話中，點(diǎn)明了統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，東北師大馬云鵬教授提出：數(shù)據(jù)分析觀念是中小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。由此，筆者認(rèn)為數(shù)據(jù)分析觀念也是中小學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的重要銜接點(diǎn)。在前面教材分析的基礎(chǔ)上，筆者帶領(lǐng)著團(tuán)隊(duì)教師進(jìn)行了一些教學(xué)實(shí)踐，下面結(jié)合幾個(gè)案例來談一談小學(xué)教學(xué)“可能性”內(nèi)容落實(shí)數(shù)據(jù)分析觀念的粗淺認(rèn)識(shí)與思考。

二、 從借助“數(shù)據(jù)分析” 入手， 教學(xué)小學(xué)階段的“可能性”內(nèi)容

數(shù)據(jù)分析觀念很抽象，教師如果僅把它作為一種觀念或思想，教學(xué)中很難落實(shí)。筆者認(rèn)為，把數(shù)據(jù)分析看作是一種學(xué)生學(xué)習(xí)的手段、策略、方法，就很容易操作。在課堂上，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，通過數(shù)據(jù)分析感受隨機(jī)性，這樣才能有效落實(shí)“可能性”的教學(xué)目標(biāo)。

1.讓學(xué)生經(jīng)歷“猜測(cè)——實(shí)驗(yàn)——數(shù)據(jù)分析——推測(cè)結(jié)論”的過程，豐富學(xué)生的體驗(yàn)，感受事件發(fā)生的隨機(jī)性。

一線教師對(duì)這部分教學(xué)存在困惑：概率的教學(xué)需不需要實(shí)驗(yàn)？實(shí)驗(yàn)后頻率和概率之間差距大了怎么解釋？實(shí)驗(yàn)結(jié)果不能驗(yàn)證概率的大小，學(xué)生越學(xué)越糊涂，怎么辦？比如，“擲硬幣實(shí)驗(yàn)”是“驗(yàn)證”正面和反面朝上的可能性相等，還是“推測(cè)”正、反面朝上的可能性相等。如果站在驗(yàn)證的角度，教師就容易出現(xiàn)上面的困惑。如果是借助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，包括科學(xué)家的數(shù)據(jù)分析來推測(cè)可能性，這里即使出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)，我想也很容易解釋，實(shí)驗(yàn)次數(shù)少的情況下，就會(huì)出現(xiàn)所謂的“運(yùn)氣差”的偶然性，這就是隨機(jī)性。所以要引導(dǎo)學(xué)生看整體數(shù)據(jù)，增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，只有實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越來越多時(shí)，才會(huì)呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性。教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這種規(guī)律性去推測(cè)可能性的大小。教材編排的幾道例題都是基于這樣的目的，呈現(xiàn)“猜測(cè)——實(shí)驗(yàn)——數(shù)據(jù)分析——推測(cè)結(jié)論”的過程，豐富學(xué)生的體驗(yàn)，感受事件發(fā)生的隨機(jī)性。

一位教師執(zhí)教“可能性例1”時(shí)創(chuàng)設(shè)了班級(jí)抽獎(jiǎng)情境，每次學(xué)生抽簽之前，教師都是讓學(xué)生先猜測(cè)抽簽的結(jié)果，（可能抽到什么？不可能抽到什么？）然后再實(shí)驗(yàn)，通過猜測(cè)——實(shí)踐——驗(yàn)證的過程讓學(xué)生感受事件發(fā)生的確定性和不確定性。

一位教師執(zhí)教“可能性例2”時(shí)創(chuàng)設(shè)了摸棋子游戲情境。課伊始，教師拿來一個(gè)裝有兩種顏色棋子的盒子，呈現(xiàn)里面紅色棋子和白色棋子的數(shù)量，提問：“摸出一個(gè)棋子可能是什么顏色？”生：“紅色或白色?！睅煟骸安乱徊旅侥姆N顏色的棋子可能性大？”（學(xué)生憑直覺很容易說出紅色的可能性大，因?yàn)榧t色的棋子多。）這時(shí)，教師話鋒一轉(zhuǎn)，“這只是我們的猜測(cè)，需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一下我們的猜測(cè)”。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，推測(cè)前面的猜想，進(jìn)而得出哪種顏色棋子多，摸到它的可能性就大。在這個(gè)過程中，不僅豐富了學(xué)生對(duì)不確定現(xiàn)象的體驗(yàn)，而且加深了學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及事件發(fā)生可能性大小的直觀感受。

讓學(xué)生經(jīng)歷“猜測(cè)——實(shí)驗(yàn)——數(shù)據(jù)分析——推測(cè)結(jié)論”的過程是可能性教學(xué)的基本思路，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的重要流程。因?yàn)樵谶@個(gè)過程中學(xué)生能體會(huì)到收集數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的價(jià)值，感受到數(shù)據(jù)分析是預(yù)測(cè)和推測(cè)一件事情必須經(jīng)歷的過程。如果課堂上能夠形成“我要收集數(shù)據(jù)”“必須分析數(shù)據(jù)”“我用數(shù)據(jù)說話”這樣的思維過程，那么，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念已經(jīng)初步形成了。

2. 有效設(shè)計(jì)問題引領(lǐng)學(xué)生聚焦“數(shù)據(jù)”，實(shí)現(xiàn)從猜測(cè)到推測(cè)的過程，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

如何引領(lǐng)學(xué)生聚焦數(shù)據(jù)，自覺收集、分析數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)從猜測(cè)到推測(cè)的過程？教師有效設(shè)計(jì)問題，有利于學(xué)生聚焦數(shù)據(jù)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

一位教師執(zhí)教“可能性例3”時(shí)創(chuàng)設(shè)了摸球活動(dòng)情境。引導(dǎo)學(xué)生猜一猜：盒子里面哪種顏色的球多？然后統(tǒng)計(jì)選擇的人數(shù)：25人選擇黃色，14人選擇白色，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先，讓兩名學(xué)生到前面每人摸3次，讓學(xué)生再猜。學(xué)生感受到次數(shù)少，不能說明問題。然后，組織全班學(xué)生進(jìn)行小組摸球，分組記錄數(shù)據(jù)，再匯總?cè)鄶?shù)據(jù)。最后，教師讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，再猜測(cè)摸到哪種顏色球的可能性大，即哪種顏色的球數(shù)量多。統(tǒng)計(jì)選擇的人數(shù)：黃色的人數(shù)為3人，白色的人數(shù)為36人。此時(shí)，教師提出一連串問題，讓學(xué)生聚焦到數(shù)據(jù)分析，交流碰撞。

師：仍然選擇黃色的同學(xué)請(qǐng)起立，老師采訪一下，為什么你還堅(jiān)持選黃色球？

生：我們組摸到的黃色球的次數(shù)多。

師：改變選擇的同學(xué)請(qǐng)舉手，老師采訪一下你們，為什么你們改變了選擇？

生：因?yàn)槊桨咨虻目赡苄源蟆?/p>

師：那第6組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，確實(shí)是摸到黃球的次數(shù)多呀。

生：我們不能只看這兩組數(shù)據(jù)，大多數(shù)組都是摸到白球的次數(shù)多。

師：只看一組數(shù)據(jù)行不行？可以看多組數(shù)據(jù)，還可以怎么辦呢？

生：把它們加起來，看看整體數(shù)據(jù)。

師：匯總數(shù)據(jù)后，你有什么發(fā)現(xiàn)？

整個(gè)活動(dòng)過程，教師沒有指令學(xué)生該進(jìn)行哪一個(gè)環(huán)節(jié)？是在教師和學(xué)生共同探討數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動(dòng)下發(fā)展的，學(xué)生逐漸的感受到，實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，要多次實(shí)驗(yàn)，即我要做實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)。當(dāng)呈現(xiàn)全班數(shù)據(jù)時(shí)，教師設(shè)計(jì)了環(huán)環(huán)相扣的問題串，引導(dǎo)學(xué)生感受到收集數(shù)據(jù)是必要的，分析數(shù)據(jù)是必須的；體驗(yàn)到數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，只有通過大量數(shù)據(jù)信息的分析，才能做出合理的判斷。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅體驗(yàn)到事件的隨機(jī)性，而且數(shù)據(jù)分析觀念得到有效培養(yǎng)。

3.教師要有效指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，保證數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性，才能形成統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性。

為了保證數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，教師在實(shí)驗(yàn)前要提醒學(xué)生明確實(shí)驗(yàn)的要求和目的，深入學(xué)生活動(dòng)中有效指導(dǎo)，確保實(shí)驗(yàn)的有效性。千萬(wàn)不要出現(xiàn)學(xué)生偷看盒子、不搖盒子等現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可能都會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)的極端化，而使數(shù)據(jù)失去隨機(jī)價(jià)值。我們知道，統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性一定是建立在隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，也就是說，當(dāng)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù)越來越多時(shí)，統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)才能呈現(xiàn)一種規(guī)律性。在這個(gè)過程中，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)至關(guān)重要。為了保證統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性，可以運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段（計(jì)算器、電子表格求和），跟學(xué)生一起統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，保證數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性。只有保證了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性，才能使統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)逐步呈現(xiàn)出規(guī)律。但是，一旦出現(xiàn)了規(guī)律不明顯或者矛盾的規(guī)律（錯(cuò)誤的規(guī)律）， 怎么辦？我覺得教師要引導(dǎo)學(xué)生再多做一些重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，獲得更多的數(shù)據(jù)，還要跟學(xué)生一起分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析實(shí)驗(yàn)條件中是否存在問題（如是否搖勻，是否偷看了，是否統(tǒng)計(jì)出錯(cuò)等）。

總之，概率教學(xué)離不開統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)。教師要不斷研究教材，理清知識(shí)的橫縱向聯(lián)系，站在知識(shí)的上層建筑，圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)據(jù)分析觀念”設(shè)計(jì)教學(xué)、實(shí)施教學(xué)，才能使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)活力，才能彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力。

編輯∕宋 宇