從平衡的角度認(rèn)識(shí)分式

張丹（湖北省十堰市竹山縣寶豐鎮(zhèn)寶豐中學(xué)）

從平衡的角度認(rèn)識(shí)分式

張丹
（湖北省十堰市竹山縣寶豐鎮(zhèn)寶豐中學(xué)）

分式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算在初中數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，以平衡這一概念為邏輯起點(diǎn)，可以更為方便有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的改善與提升。從分式的約分、公分、加減乘除四則運(yùn)算等角度進(jìn)行分析，探究以平衡為基本概念的學(xué)習(xí)方法和技巧。希望通過(guò)這一嘗試和探究，為相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)提供一定的參考和借鑒。

分式；平衡；學(xué)習(xí)方法；數(shù)學(xué)運(yùn)算

從某種角度分析，分式是高等數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。如何有效地將分式的概念和運(yùn)算規(guī)則等介紹給學(xué)生，是教學(xué)過(guò)程中最為本質(zhì)的問(wèn)題。面對(duì)繁復(fù)多樣的分式，許多學(xué)生感到眼花繚亂，不知從何入手進(jìn)行分解和計(jì)算。實(shí)際上，從平衡的角度出發(fā)，許多看似復(fù)雜紛亂的分式，都可以迎刃而解。

一、借助平衡概念去分析約分過(guò)程

在了解分式的基本概念之后，對(duì)分式進(jìn)行約分成為一項(xiàng)基本的鍛煉。實(shí)際上約分的本質(zhì)過(guò)程就是將分子與分母之間的相同因數(shù)相除，精簡(jiǎn)分式的表現(xiàn)形式。而其中最為根本的原則就是保持分式的值沒(méi)有發(fā)生改變，也就是始終保持了平衡，分子與分母之間的比例關(guān)系恒定。所謂“萬(wàn)變不離其宗”，不管如何復(fù)雜的分式，在進(jìn)行約分的過(guò)程中，只要盡可能地去尋找分子與分母之間的相同因數(shù)，并同時(shí)除去，則約分一定會(huì)徹底完成。針對(duì)約分過(guò)程中出現(xiàn)的幾種基本類型，教師可以與學(xué)生共同歸納，將“單項(xiàng)式/單項(xiàng)式、單項(xiàng)式/多項(xiàng)式、多項(xiàng)式/單項(xiàng)式、多項(xiàng)式/多項(xiàng)式”幾種類型進(jìn)行逐一分析，可以保證分式的“值”不變，也就是保證了“分?jǐn)?shù)線的平衡”。比如，針對(duì)分式，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行約分時(shí)，需要從“字母”“常數(shù)”“因式”“指數(shù)”“正負(fù)數(shù)”等幾個(gè)維度進(jìn)行綜合考慮，每一項(xiàng)都要兼顧到，每一項(xiàng)都完成對(duì)應(yīng)的分析與運(yùn)算，則仍然保證分式的平衡。對(duì)于多項(xiàng)式而言，也同樣適用，通過(guò)化繁為簡(jiǎn)的方式，利用“括號(hào)”的方式，將每個(gè)具有相同因數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行分解，然后通過(guò)平衡的概念進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，結(jié)果自然會(huì)得出。

二、通過(guò)平衡概念去處理加減運(yùn)算

相對(duì)應(yīng)約分而言，通過(guò)平衡概念實(shí)現(xiàn)通分活動(dòng)，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行加減運(yùn)算，則顯得更為復(fù)雜，當(dāng)然也相對(duì)更為有趣。在處理通分的過(guò)程中，實(shí)際上對(duì)于學(xué)生而言最困難的仍然時(shí)“平衡”概念的掌握。分母不同的兩個(gè)分式之間，如果需要進(jìn)行加減運(yùn)算，則必須經(jīng)過(guò)通分，保證分母相同。通過(guò)計(jì)算最小公分母，完成分式中相應(yīng)分子的變化過(guò)程。在這里需要突出強(qiáng)調(diào)的就是“每一個(gè)分子的變化與其分母都是同步，同值的”，也就是說(shuō)仍然要保證通分之后，每個(gè)分式的值始終不變。這也就是強(qiáng)調(diào)“平衡”這一根本概念。比如在計(jì)算的過(guò)程中，需要完成通分的首要步驟就是尋找最小公分母，由于兩個(gè)分式的分母沒(méi)有任何相同因式，則只能進(jìn)行分母相乘，完成通分。而這個(gè)過(guò)程中最重要的就是保證分子也同時(shí)乘與分母相同的因數(shù)，仍然保證分式的值沒(méi)有發(fā)生任何變化。換個(gè)角度分析，兩個(gè)獨(dú)立的分式無(wú)論如何變化，始終不變的是分子與分母的比值。掌握這一平衡概念，則只需要按照四則運(yùn)算的法則，逐步計(jì)算就可以了。平衡概念非常容易理解，但是在實(shí)際應(yīng)用中，卻經(jīng)常為學(xué)生所忽略，因此，教師在日常教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地進(jìn)行滲透和強(qiáng)化，使其在每個(gè)環(huán)節(jié)和步驟都牢記平衡的概念。

三、依托平衡概念去解決指數(shù)問(wèn)題

分式的乘除運(yùn)算相對(duì)來(lái)講更為復(fù)雜，但是從平衡的概念出發(fā)，仍然不過(guò)是改變了運(yùn)算的方法罷了，每個(gè)分式在參與運(yùn)算之前，無(wú)論經(jīng)過(guò)何種形式變換，其值始終不變。比如對(duì)進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程中，教師同樣需要引導(dǎo)學(xué)生從平衡的角度去考慮解決問(wèn)題的方法與路徑。類似這樣的運(yùn)算實(shí)際上最主要的運(yùn)算過(guò)程在于指數(shù)的變化。每一次指數(shù)的變化一定要保持平衡，分子與分母同時(shí)增加或消減相應(yīng)的指數(shù)。該題中，分子與分母本身就是x、y，那么運(yùn)算時(shí)，將x、y看作常數(shù)，無(wú)需考慮，而指數(shù)則進(jìn)行加減乘除活動(dòng)。最終的計(jì)算變?yōu)榉肿优c分母指數(shù)的加減活動(dòng)，可以順利得出結(jié)果。平衡概念在分式的乘除運(yùn)算中除了簡(jiǎn)單的單項(xiàng)式中字母指數(shù)的加減乘除外，對(duì)于更為復(fù)雜的多項(xiàng)式也同樣適用，不過(guò)是將作為除數(shù)的多項(xiàng)式分子與分母位置對(duì)調(diào)，最后與作為被除數(shù)的分式進(jìn)行分子與分子相乘，分母與分母相乘的結(jié)果，最終再通過(guò)約分，獲得最簡(jiǎn)值的結(jié)果。

在初中的分式學(xué)習(xí)過(guò)程中，平衡是一個(gè)最為基本也最為重要的概念，教師需要在教學(xué)過(guò)程中堅(jiān)持這一原則，并反復(fù)向?qū)W生強(qiáng)化這種概念，在堅(jiān)持這一概念的基礎(chǔ)上，剩余的運(yùn)算活動(dòng)就會(huì)變得非常初級(jí)和簡(jiǎn)單。在進(jìn)行平衡概念的宣傳與介紹過(guò)程中，教師應(yīng)盡量避免簡(jiǎn)單枯燥的連續(xù)重復(fù)，而應(yīng)根據(jù)不同的情況靈活介紹給學(xué)生，力求使學(xué)生在輕松愉快的氛圍內(nèi)掌握這一概念。

曹瑩瑩.參與意識(shí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)［J］.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013（15）.

·編輯 姚曉媛