開(kāi)放地問(wèn) 還需智慧地引

朱宇

從理論上講，開(kāi)放題因其內(nèi)容的新穎性，形式的生動(dòng)性，思維的發(fā)散性以及功能的創(chuàng)新性，給了學(xué)生以自己喜歡的方式嘗試的機(jī)會(huì)，有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的形成。然而，落實(shí)到實(shí)踐層面，我們卻很無(wú)奈地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生開(kāi)放的思考卻常常遭遇封閉的評(píng)判，原本思路多元、著眼提升發(fā)展的開(kāi)放探索異化成了“一錘定音”的終極裁決，或是淪為同一反復(fù)的喋喋不休。為此，教學(xué)中不僅要關(guān)注問(wèn)題的開(kāi)放性，還要關(guān)注解答的有效性。下面，以“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中的開(kāi)放題為例，談一談如何通過(guò)智慧的引領(lǐng)，讓開(kāi)放題取得更大效益。

一、在“根”上著力，讓本質(zhì)理解更深刻

乘法分配律的本質(zhì)是乘法意義的拓展和應(yīng)用，而在實(shí)際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生更多地關(guān)注能不能“湊整”使運(yùn)算簡(jiǎn)便，忽略了算式結(jié)構(gòu)變化與運(yùn)算意義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，開(kāi)放題的設(shè)計(jì)要從外形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)轉(zhuǎn)向其內(nèi)涵的探究，引導(dǎo)學(xué)生叩問(wèn)規(guī)律的內(nèi)涵本質(zhì)。

基于以上思考，“乘法分配律”課上，我將原先的一道開(kāi)放題“12.5×9+（ ）×（ ），如果能簡(jiǎn)算，可以怎么填？”做了如下改動(dòng)：請(qǐng)?jiān)凇饍?nèi)填上運(yùn)算符號(hào)，在（ ）內(nèi)填上合適的數(shù)，使“12.5×9○（ ）”這道算式能夠表示一種運(yùn)算律。

生1：我的算式是12.5×9+12.5，運(yùn)用的是乘法分配律。

師：誰(shuí)知道他說(shuō)的這個(gè)算式表示什么意思？

生2：9個(gè)12.5加上1個(gè)12.5，結(jié)果等于10個(gè)12.5。也就是12.5×9+12.5=12.5×（9+1）。

生3：我的算式是12.5×9×8

師：（示意暫停）想一想，這道算式也是運(yùn)用了乘法分配律嗎？

生3：不是。是乘法結(jié)合律。

生4：還運(yùn)用了乘法交換律。

師：這道算式中也是出現(xiàn)了3個(gè)數(shù)，為什么不是乘法分配律呢？

生5：因?yàn)?2.5×9×8表示的是9個(gè)12.5的積，再乘8，實(shí)際上就是72個(gè)12.5。

生6：乘法分配律中一定有乘法也有加法，而乘法結(jié)合律只有乘法。

師：如果是“12.5×9+1”，運(yùn)用的是哪一個(gè)運(yùn)算律？

生7：9個(gè)12.5的積，再加上1，雖然有乘，有加，但是沒(méi)有相同的數(shù)，所以不是乘法分配律。

生8：不是連乘，也不是乘法結(jié)合律。

學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解障礙主要表現(xiàn)在容易和乘法結(jié)合律混淆，原因在于在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，兩個(gè)運(yùn)算律始終處于分離狀態(tài)，并沒(méi)有揭示兩者間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，所以學(xué)生的認(rèn)知是片段、零散的。在上面的開(kāi)放提問(wèn)中，淡化了簡(jiǎn)便計(jì)算的要求，意在引導(dǎo)學(xué)生回到運(yùn)算意義的原點(diǎn)，在乘法結(jié)合律和分配律的比較聯(lián)系中把握運(yùn)算律的本質(zhì)特征。從反饋情況看，學(xué)生不再過(guò)多關(guān)注外在形式結(jié)構(gòu)變化，而是突出從模型建構(gòu)的角度理解運(yùn)算律的意義。填法是多樣的，但是學(xué)生的思維始終圍繞運(yùn)算意義的理解展開(kāi)。在交流互動(dòng)中，隨著兩個(gè)運(yùn)算律非本質(zhì)屬性被不斷剔除，其各自的本質(zhì)特征不斷被凸顯、展開(kāi)，自然而然納入到各自的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

二、在“序”上著手，讓關(guān)鍵內(nèi)容更通透

“有余數(shù)的除法”的學(xué)習(xí)，出現(xiàn)的最大問(wèn)題是：學(xué)生懂得“余數(shù)必須比除數(shù)小”的道理，卻不能運(yùn)用此理對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控，如，38÷5=6……8，這是一道錯(cuò)誤的算式，用“商×除數(shù)+余數(shù)”來(lái)驗(yàn)算卻不能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。

鑒于此，練習(xí)中我設(shè)計(jì)了這樣的開(kāi)放題：

（1）有13支鉛筆，每人分（ ）支，可以分給（ ）個(gè)人，還余下（ ）支。

（2）□□÷□=6……4，除數(shù)可能是（ ），這時(shí)，被除數(shù)等于（ ）。

（3）□□÷4=□……□，你能寫(xiě)出幾道不同的算式？

第一題屬于實(shí)踐型的練習(xí)，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解有余數(shù)除法的意義；后面的兩題旨在凸顯余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生形成“瞻前顧后”的意識(shí)。在第（3）題的反饋交流中，師生有這樣一段對(duì)話：

師：如果每個(gè)□里只填一個(gè)數(shù)字，你能寫(xiě)出幾道不同的算式？想一想，再寫(xiě)下來(lái)。

生1：13÷4=3……1。

生2：19÷4=4……3。

生3：37÷4=9……1。

……

師：（對(duì)生1）余數(shù)還可能是幾？你能按照一定的順序說(shuō)一說(shuō)嗎？

生1：13÷4=3……1，14÷4=3……2，15÷4=3……3。余數(shù)最大是3。

師：當(dāng)余數(shù)等于3的時(shí)候，這樣的算式還有哪些呢？

生2：11÷4=2……3，23÷4=5……3，……

師：觀察這些余數(shù)都是3的算式，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

經(jīng)過(guò)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有余數(shù)除法算式中，余數(shù)的大小與商無(wú)關(guān)，但是必須比除數(shù)小。

上例中，教師提供了有余數(shù)除法算式的模型，意在強(qiáng)化余數(shù)與除數(shù)的關(guān)聯(lián)。然而，由于開(kāi)放題的思維路徑是發(fā)散的，因而學(xué)生的回答體現(xiàn)出隨機(jī)和無(wú)序的特點(diǎn)，不能形成對(duì)關(guān)鍵內(nèi)容的聚焦，也缺少對(duì)錯(cuò)誤的深度反思，容易出現(xiàn)一“點(diǎn)”就通、一做就錯(cuò)的狀況。為此，對(duì)來(lái)自于學(xué)生個(gè)體的答案，教師采取了“先列舉，后排序”的策略，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，通過(guò)觀察、比較、分析、推想，聚焦余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，在大腦中形成有余數(shù)除法的完整結(jié)構(gòu)。

三、在“意”上著眼，讓數(shù)學(xué)視野更拓展

“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”算法的探索與理解歷來(lái)是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，即使是成績(jī)較好的學(xué)生，依賴自身的認(rèn)知水平，恐怕一時(shí)也難以理解。為了讓學(xué)生理解算理、總結(jié)方法，我在教學(xué)中把例題教學(xué)進(jìn)行開(kāi)放式處理，用猜想與驗(yàn)證激發(fā)學(xué)生的探究熱情，再借助線段圖作為輔助教學(xué)手段，變抽象為直觀，幫助學(xué)生理解算理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化與內(nèi)化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

出示：一輛摩托車小時(shí)行駛40千米，1小時(shí)行駛多少千米？

學(xué)生列出了40÷以后，我先讓學(xué)生估計(jì)一下商的大小，然后讓學(xué)生嘗試計(jì)算。大部分學(xué)生的計(jì)算過(guò)程與書(shū)中的差不多，即40÷=40×=60（千米）.

師：你能用自己的方法說(shuō)明40÷為什么等于40×嗎？

生1：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的倒數(shù)，所以我猜想40÷也行。

師：整數(shù)就是特殊的分?jǐn)?shù)。

生2：40÷=（40×）÷（×）=40×÷1。

師：你運(yùn)用了商不變的規(guī)律。

生3：可以從圖上看出來(lái)。如果用一條線段表示1小時(shí)走的路程，把它平均分成3份。2份是40千米，1小時(shí)有3份，3÷2=，所以1小時(shí)走多少千米就是求40的是多少。

師：你不但看到了、，還想到了、，想象力真豐富！

算法不是老師硬塞給學(xué)生的，多樣化的解釋豐富了學(xué)生對(duì)法則的理解，學(xué)生以他們自己的語(yǔ)言解釋著、建構(gòu)著，教師畫(huà)龍點(diǎn)睛的提煉之語(yǔ)讓全班學(xué)生的認(rèn)知逐漸清晰。

再如，“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”教學(xué)中，教師讓學(xué)生陳述“整數(shù)的運(yùn)算律適用于分?jǐn)?shù)”的理由，意在讓學(xué)生結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)推想運(yùn)算律的適用性。有學(xué)生用舉例驗(yàn)證的方法分別驗(yàn)證加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律，還有學(xué)生對(duì)照用字母表示的運(yùn)算律，根據(jù)字母能夠表示數(shù)的特點(diǎn)解釋“用字母表示，數(shù)變了，規(guī)律不變”。在教師引導(dǎo)下，全體學(xué)生主動(dòng)遷移，深刻感悟運(yùn)算律始終是不變的，只是它們所代表的數(shù)域發(fā)生了改變，系統(tǒng)的知識(shí)體系得以順利建立。

開(kāi)放地“問(wèn)”只是為學(xué)生思維發(fā)展和能力提升提供了一種可能，教師不但要重視開(kāi)放題的利用價(jià)值，創(chuàng)新使用，更要重視其使用效果的反饋評(píng)價(jià)，或點(diǎn)撥矯正，或補(bǔ)充明晰，或提煉發(fā)展，通過(guò)智慧地“引”促進(jìn)學(xué)生有序有效地思考，從知識(shí)本質(zhì)、解題策略和數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行提升。