晶體相場(chǎng)法模擬微裂紋的擴(kuò)展行為*

葉 里，黃禮琳，寧歲婷，滿 海，高英?。◤V西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣西南寧 530004）

晶體相場(chǎng)法模擬微裂紋的擴(kuò)展行為*

葉 里，黃禮琳，寧歲婷，滿 海，高英俊?
（廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣西南寧 530004）

用晶體相場(chǎng)模型模擬預(yù)變形條件下的單軸拉伸的裂紋擴(kuò)展行為. 展示出裂紋擴(kuò)展過(guò)程的演化圖。從裂紋演化圖可以清楚的觀察到，隨著應(yīng)變量的增加，裂紋長(zhǎng)度增加，裂紋呈鈍化-擴(kuò)展-鈍化的擴(kuò)展模式，裂紋形狀為鋸齒形；隨著預(yù)變形量的增加，解理方式的裂紋擴(kuò)展減弱, 轉(zhuǎn)變成鋸齒形狀的裂紋擴(kuò)展方式。

微裂紋；晶體相場(chǎng)；模擬實(shí)驗(yàn)

1 引言

材料的變形與破壞大都源自材料的微結(jié)構(gòu)，如空位、位錯(cuò)、晶界與微裂紋等。要想深入研究材料的變形與破壞的特性與機(jī)理，還需要開(kāi)展多尺度分析，把宏觀分析與微納觀分析結(jié)合起來(lái)，在更深的層次上找到問(wèn)題的根源和變形破壞機(jī)制[1]。現(xiàn)在，對(duì)金屬材料裂紋擴(kuò)展的研究，早已不再局限于宏觀和介觀層次，而是已經(jīng)逐漸地深入到微納觀層次。由于納米級(jí)微裂紋形核與擴(kuò)展，在金屬材料微觀缺陷中普遍存在，它嚴(yán)重地降低了構(gòu)件的使用壽命[2]，因此，研究納米級(jí)裂紋的萌生和擴(kuò)展對(duì)預(yù)防材料的斷裂，提高構(gòu)件的使用壽命具有重要意義[3]。在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)測(cè)量條件下，對(duì)材料的納米級(jí)裂紋擴(kuò)展很難實(shí)時(shí)觀測(cè)[4]，因此，發(fā)揮計(jì)算模擬實(shí)驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用其研究微納米尺度的微裂紋就顯得極為迫切和重要[5-8]。近幾年，基于密度泛函理論建立的晶體相場(chǎng)方法(PFC)[9]，通過(guò)引入周期性原子密度函數(shù)，用以描述晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，能夠自洽地耦合了彈性效應(yīng)等周期性結(jié)構(gòu)的物理特性…PFC方法能很好地用于描述晶界和位錯(cuò)在擴(kuò)散時(shí)間尺度下的運(yùn)動(dòng)特征[10]，并用于模擬納米級(jí)的裂紋擴(kuò)展行為和演化過(guò)程[11-13]。本文應(yīng)用PFC方法研究預(yù)變形條件下，單軸拉伸應(yīng)變的裂紋生長(zhǎng)特征和擴(kuò)展規(guī)律，揭示納米級(jí)裂紋擴(kuò)展對(duì)材料斷裂的作用。

2 PFC模型與方法

2.1 PFC模型

PFC模型能夠揭示晶體學(xué)結(jié)構(gòu)特性以及空間尺度為原子尺度，時(shí)間尺度為擴(kuò)散時(shí)間尺度下的行為。對(duì)于固態(tài)金屬材料，其原子的位置呈規(guī)則周期性排列，通過(guò)引入周期性相場(chǎng)變量，其局域位置的最大值對(duì)應(yīng)于原子的位置；對(duì)于均勻相（液相等）中的原子分布為均值分布，其值為常量。用周期原子密度函數(shù)作為相場(chǎng)變量，符合上述兩方面的要求。其表達(dá)式可以寫成[10-12]

式中，等號(hào)右邊第1項(xiàng)反映的是晶格原子的周期排列結(jié)構(gòu)特征，第2項(xiàng)反映的是均勻相（如液相）等的原子分布，其均值為常量。此時(shí)，系統(tǒng)無(wú)量綱的自由能函數(shù)可以寫成[12]

式中，為局域原子密度；為與溫度有關(guān)的唯象參數(shù)；為拉普拉斯算子。在單模近似下，可以求得式子(2)的一個(gè)穩(wěn)定特解為

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

本文采用保守場(chǎng)Cahn-Hilliard動(dòng)力學(xué)方程[10-12]描述原子密度隨時(shí)間的演化。該方程具體如下方程表示：

式中，ρ為原子密度，r表征體系的過(guò)冷度，?為拉普拉斯算子，t為時(shí)間變量。

圖1 單模近似得出的二維相圖(陰影部分代表兩相共存區(qū))[9]

2.3 數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)演化方程(4)采用半隱式傅里葉偽譜方法[10-12]求解，其離散形式為

2.4 樣品制備與應(yīng)變施加

為方便起見(jiàn)，本文選取二維薄膜體系來(lái)模擬裂紋擴(kuò)展。固相基體用三角相點(diǎn)陣表示，選取晶體原子密度參數(shù)為 ρ0=0.49，溫度參數(shù) r =-1.0（圖1中B點(diǎn)）。對(duì)單晶樣品的微裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬時(shí)，計(jì)算模擬區(qū)域?yàn)?024 x 512y，單位格子長(zhǎng)度x= y=…原子點(diǎn)陣排列方向與y軸夾角為3.5°。在樣品的中心位置，設(shè)置半徑 r =8格子的圓形缺口作為初始裂口，缺口處的熱力學(xué)參數(shù)設(shè)置為 ρ0=0.79，溫度參數(shù) r=-1.0，如圖1中A點(diǎn)所示。由于不涉及材料的物性參數(shù)，對(duì)模擬所用的參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，并將連續(xù)空間離散為正方格子分布…計(jì)算時(shí)四周邊界采用周期性邊界條件。

采用式(3)設(shè)置一個(gè)含有圓形裂口的區(qū)域，經(jīng)過(guò)弛豫5步，得到具有穩(wěn)定缺口樣品，如圖2(a)。對(duì)樣品分別沿x軸和y軸施加拉伸預(yù)變形，變形量分別為ηx和ηy。經(jīng)弛豫后，再在y軸方向施加拉應(yīng)變，如圖2(b)所示。在變形過(guò)程中，x方向空間步長(zhǎng)保持不變，y方向空間步長(zhǎng)隨著應(yīng)變速率在每一時(shí)間步長(zhǎng)下都有一增量d =，其中，為無(wú)量綱的應(yīng)變速率，n為施加拉應(yīng)變的時(shí)間步長(zhǎng)數(shù)，t為時(shí)間步長(zhǎng)。

圖2 (a) 具有初始裂口樣品，圖2(b) 沿y軸方向施加拉應(yīng)變的示意圖

表1 樣品的熱力學(xué)參數(shù)和預(yù)變形量

3 結(jié)果與分析

3.1 沿x方向拉伸預(yù)變形樣品的裂紋擴(kuò)展

由圖 3(a1)可以看到，對(duì)于沒(méi)有預(yù)拉伸作用的裂口樣品a，在拉伸的初始階段，當(dāng)應(yīng)變量未達(dá)到裂紋擴(kuò)展的臨界應(yīng)變之時(shí)，預(yù)制裂口沒(méi)有出現(xiàn)明顯的變化。當(dāng)應(yīng)變量達(dá)到0.138時(shí)，樣品中部圓形裂口開(kāi)始起裂，在裂口左右兩邊邊緣處，出現(xiàn)約2個(gè)原子尺度的微裂紋。隨著應(yīng)變量的不斷增大，裂紋尖端出現(xiàn)鈍化過(guò)程，直至裂紋尖端集中的應(yīng)力，超過(guò)某個(gè)方向上的原子結(jié)合力，導(dǎo)致該原子鍵斷裂，從而驅(qū)動(dòng)裂紋開(kāi)始擴(kuò)展，如圖3(a2)。此時(shí)，裂紋的開(kāi)裂方向與拉應(yīng)變方向垂直，拉應(yīng)變是y軸方向，裂紋的開(kāi)裂方向?yàn)閤軸方向。當(dāng)外加應(yīng)變量達(dá)到0.186時(shí)，裂紋開(kāi)裂長(zhǎng)度約為樣品x方向長(zhǎng)度的1/3，如圖3(a3)所示。在開(kāi)裂過(guò)程中，裂紋生長(zhǎng)呈現(xiàn)擴(kuò)展-鈍化-擴(kuò)展的長(zhǎng)大特征[14]。這一長(zhǎng)大特征，可以看成是裂紋擴(kuò)展通過(guò)主次原子排列方向的原子鍵交替斷裂而進(jìn)行裂尖擴(kuò)展，裂紋邊緣呈鋸齒形，如圖3(a4)放大圖所示。這與文獻(xiàn)[20]相互印證。隨著應(yīng)變量的不斷增加，裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，當(dāng)應(yīng)變量達(dá)到0.210時(shí)，觀察圖3(a4)，可以看到此時(shí)裂紋長(zhǎng)度約占模擬試樣x軸總長(zhǎng)度的 4/5，此時(shí)，試樣即將被拉斷。在裂紋擴(kuò)展模擬的后期，應(yīng)力的作用直接導(dǎo)致某固定原子排列方向的原子鍵斷裂，出現(xiàn)微裂紋尖端的解理斷裂擴(kuò)展。解理裂開(kāi)方向與拉伸應(yīng)變方向夾角約為 60°，并以裂紋尖端中心線為軸線形成了類似孿晶的對(duì)稱原子晶格排列，這與文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果一致。

由圖3(b1)可以看到，在x軸預(yù)拉伸量為1%，應(yīng)變量達(dá)到0.138時(shí)，樣品中部圓形裂口左右兩邊已經(jīng)各有一條4至5個(gè)原子尺度的微小裂紋。觀察圖3(b2)，當(dāng)外加應(yīng)變量達(dá)到0.162的時(shí)候，從微裂紋擴(kuò)展圖可以看出，這時(shí)的微裂紋依舊比圖3(a2)的裂紋要稍長(zhǎng)，且此時(shí)的裂紋走向比圖3(a2)要趨于水平。對(duì)于圖3(b3)可以看到，當(dāng)外加應(yīng)變量為0.186時(shí)，裂紋呈鋸齒狀，且此裂紋的鈍化程度要比圖3(a3)的裂紋的鈍化程度要高，即此裂紋比較粗。此裂紋的長(zhǎng)度幾乎與圖3(a3)的相同，但圖3(b3)的裂紋走向要比圖3(a3)更趨向于水平，這是由于裂紋裂尖處的不同方向的原子層原子鍵交替斷開(kāi)，使得裂尖擴(kuò)展方向發(fā)生轉(zhuǎn)向，每次轉(zhuǎn)向時(shí)擴(kuò)展的裂紋長(zhǎng)度大致相同。觀察圖3(b4)，此圖的裂紋明顯比圖3(a4)的裂紋長(zhǎng)度要短，擴(kuò)展方向也更趨于水平。

圖3 對(duì)應(yīng)表1各組樣品的裂紋模擬演化圖：圖a1，b1，c1的應(yīng)變量為0.138；圖a2，b2，c2的應(yīng)變量為0.162；圖a3，b3，c3的應(yīng)變量為0.186；圖a4，b4，c4的應(yīng)變量為0.210；圖a4中的放大圖表示：1為主滑移系，2為次滑移系

圖3(c)給出了沿x軸方向預(yù)拉伸變形量為2%的樣品的裂紋擴(kuò)展演化。圖3(c1)給出，當(dāng)拉應(yīng)變量為0.138時(shí)，在中部圓形裂口左右兩側(cè)各萌生了一條微裂紋，這兩條微裂紋8個(gè)原子尺度之長(zhǎng)。圖3(c2)給出，裂紋擴(kuò)展方式為沿主次原子排列方向交替改變裂尖前進(jìn)方向。在這裂紋擴(kuò)展階段，裂尖改變方向前進(jìn)的距離幾乎相等，所以此裂紋呈水平狀分布。隨著應(yīng)變量的繼續(xù)增加，當(dāng)應(yīng)變量增加到0.186時(shí)，觀察圖3(c3)，可見(jiàn)此裂紋明顯比圖3(b3)的裂紋趨于水平，且比它要粗。當(dāng)應(yīng)變量增加至0.210時(shí)，此時(shí)裂紋為水平狀，長(zhǎng)度約為整個(gè)模擬試樣水平長(zhǎng)度的三分之二，明顯比圖3(a4)和圖3(b4)要短。

4 結(jié)論

本文采用晶體相場(chǎng)法研究施加預(yù)拉伸變形下的裂紋尖端擴(kuò)展行為，結(jié)果表明：預(yù)拉伸量為0的圓形裂口在拉伸應(yīng)變作用下，在拉伸應(yīng)變量達(dá)到0.13左右時(shí)候開(kāi)始擴(kuò)展，在此時(shí)，沿x軸預(yù)拉伸變形量為1%、2%的樣品，在相同的應(yīng)變量下都已發(fā)生擴(kuò)展，且預(yù)拉伸變形量越大，同一變形量下裂紋越長(zhǎng)。不同預(yù)拉伸變形下的樣品，在受到拉應(yīng)變時(shí)，預(yù)變形量越大，起裂的臨界應(yīng)變?cè)叫?。在裂紋擴(kuò)展模擬的后期，應(yīng)力的作用直接導(dǎo)致某固定原子排列方向的原子鍵斷裂，出現(xiàn)微裂紋尖端的解理擴(kuò)展。對(duì)于沒(méi)有預(yù)拉伸作用的裂口樣品, 解理裂開(kāi)方向與拉伸應(yīng)變方向夾角約為60°，并以裂紋尖端中心線為軸線形成了類似孿晶的對(duì)稱原子晶格排列，這與實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果一致。

[1] 邵宇飛, 王紹青. 基于準(zhǔn)連續(xù)介質(zhì)方法模擬納米多晶體Ni中裂紋的擴(kuò)展[J]. 物理學(xué)報(bào), 2010, 10: 7258-7265.

[2] S Loehnert, C Prange, P Wriggers. Error controlled adaptive multiscale XFEM simulation of cracks[J]. Int. J. Fracture, 2012, 178:147-156.

[3] Daniele Colombo, PatrickMassinb. Fast and robust level set update for 3D non-planar X-FEM crack propagation modelling[J]. Comput. Method. Appl. M. 2011, 200: 2160-2180.

[4] M A Arafin , J A Szpunar1. A new understanding of intergranular stress corrosion cracking resistance of pipeline steel through grain boundary character and crystallographic texture studies[J]. Corros. Sci, 2009, 51:119-126.

[5] F Cadini, E Zio, D Avram. Monte Carlo-based filtering for fatigue crack growth estimation[J]. Eng. Mech, 2009, 24: 367-373.

[6] 劉曉波, 徐慶軍, 劉劍. 鋁裂紋擴(kuò)展行為的分子動(dòng)力學(xué)模擬[J]. 中國(guó)有色金屬學(xué)報(bào), 2014, 24: 1408-1413.

[7] Lei Ma, ShifangXiao, Huiqiu Deng, et al. Molecular dynamics simulation of fatigue crack propagation in bcc iron under cyclic loading[J]. International Journal of Fatigue, 2014, 68: 253-257.

[8] 劉曉驊, 鄧國(guó)忠, 黃照峰, 等. 納米晶體材料小角度晶界湮沒(méi)過(guò)程研究[J]. 廣西物理, 2015, 36: 1-4.

[9] K R Elder, Martin Grant. Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals[J]. Phys. Rev. E, 2004, 70: 51605-51609.

[10] J Berry, M Grant, K R Elder. Diffusive atomistic dynamics of edge dislocations in two dimensions[J]. Phys. Rev. E, 2006, 73: 609-615.

[11] 毛鴻, 羅志榮, 黃世葉, 等. 材料裂紋擴(kuò)展分叉機(jī)理的晶體相場(chǎng)法研究[J]. 廣西科學(xué), 2015, (05): 499-505.

[12] 高英俊, 羅志榮, 鄧芊芊, 等. 韌性材料的微裂紋擴(kuò)展與分叉的晶體相場(chǎng)模擬[J]. 計(jì)算物理，2014，31: 471-484.

[13] 盧成健, 蔣麗婷, 王玉玲, 等. 晶體相場(chǎng)法模擬小角度晶界的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)及其演化[J]. 廣西科學(xué), 2013, 20(4): 316-320.

[14] 田素貴, 薛永超, 曾征, 等. 一種鎳基單晶合金的中溫蠕變斷裂機(jī)制[J]. 稀有金屬材料與工程, 2014, 43: 1092-1098.

O346.1

A

1003-7551(2016)01-0011-05

2016-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51161003)；廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(YCSZ5015029)；廣西大學(xué)生科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目(201610593218, 201610593220)

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