緊一致空間中函數(shù)的逼近定理

馬 婷, 張 彥， 韓 嬋

(西安建筑科技大學(xué) 華清學(xué)院,西安 710043)

緊一致空間中函數(shù)的逼近定理

馬 婷, 張 彥， 韓 嬋

(西安建筑科技大學(xué) 華清學(xué)院,西安 710043)

一致空間作為一種特殊的拓?fù)淇臻g，它與拓?fù)淇臻g和度量空間存在著密切的聯(lián)系.通過利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法對(duì)緊一致空間進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)刻畫，得到了緊一致空間中函數(shù)收斂與連續(xù)之間的關(guān)系；同時(shí)，利用U-微連續(xù)的定義證明了一致空間上函數(shù)的逼近定理.

一致空間;轉(zhuǎn)換原理；逼近定理

拓?fù)鋵W(xué)作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一門學(xué)科，其作用是非常重要的.而一致空間作為其中的重要部分，自引進(jìn)以來，定義了很多一致性質(zhì)的結(jié)論.非標(biāo)準(zhǔn)分析[1-2]作為分析學(xué)的一個(gè)重要分支，其在分析學(xué)[3]、概率論、代數(shù)數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)[4]、流體力學(xué)、量子力學(xué)、理論物理和數(shù)理經(jīng)濟(jì)等方面得到了廣泛的應(yīng)用，本文通過對(duì)緊一致空間的非標(biāo)準(zhǔn)刻畫，證明了緊一致空間中函數(shù)收斂與連續(xù)之間的關(guān)系，并給出了一致空間中函數(shù)的逼近定理.

文中(X,u)、(Y,v)、(*X,*u)、(*Y,*v)均為一致空間，P是一致結(jié)構(gòu)u的格集，Q是一致結(jié)構(gòu)v的格集.其中p∈P，q∈Q.

定義1[5]設(shè)u是X×X的非空子集族，如果u滿足以下條件：

(1)對(duì)一切的U∈u，Δ?U；

(2)如果U∈u，有U-∈u；

(3)如果U∈u，有V∈u，使得V°V?U；

(4)如果對(duì)一切的U,V∈u，有U∩V∈u；

(5)如果U∈u且U?V?X×X，則V∈u，

則稱u為集X上的一致結(jié)構(gòu)，(X,u)為一致空間.

定義2[5]設(shè)P為X的偽度量族，如果存在一致結(jié)構(gòu)u，恰好使得P是一切在X×X上由u得出的乘積一致結(jié)構(gòu)為一致連續(xù)的偽度量族，稱P是u的格集，即u是P的一致結(jié)構(gòu).

定理1[5]若f是(X,u)到(Y,v)的映射，如果映射f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v為一致連續(xù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于一切的q∈Q、s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得當(dāng)p(x,y)

定義3[6]設(shè)對(duì)于任一s∈R+，存在m∈N+，使得對(duì)任一x∈X，當(dāng)n>m時(shí)有q(fn(x),f(x))

定理2 若f是(X,u)到(Y,v)的映射，則稱f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v是一致連續(xù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μ(u)，有(f(x),f(y))∈μ(v).

定義4 若f是(*X,*u)到(*Y,*v)的映射，對(duì)任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μu，有(f(x),f(y))∈μv，則稱f關(guān)于一致結(jié)構(gòu)*u和*v是U-微連續(xù)函數(shù).

定義5 設(shè)對(duì)任一fn是(X,u)到(Y,v)中的映射，如果對(duì)任一q∈Q，s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得對(duì)任一(x,y)∈X×X與一切的n∈N+，

當(dāng)p(x,y)

q(fn(x),fn(y))

則稱{fn|n∈N+}為U-等度連續(xù)序列.

定理3 一致空間(X,u)是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一x∈*X，存在y∈X，使得對(duì)任一p∈P，p(x,y)≈0.

證明 “?”.由于一致空間(X,u)是緊的，因此對(duì)任一x∈*X，存在y∈X，使得x∈μu(y)，又

μu(y)= {z∈*X|(z,y)∈μu}=

{z∈*X|?p∈P,p(z,y)≈0}.

故對(duì)任一p∈P，p(x,y)≈0.

“?”.顯然成立.

定理4 如果映射f在緊一致空間X上關(guān)于一致結(jié)構(gòu)u和v是連續(xù)函數(shù)，則映射f是一致連續(xù)函數(shù).

證明 設(shè)x,y∈*X，且p(x,y)≈0.

由于X為緊一致空間，因此存在z∈X，有p(z,x)≈0，即

p(z,y)≤p(z,x)+p(x,y)≈0.

又由于映射f在緊一致空間X上是連續(xù)函數(shù)，因此q(f(z),f(x))≈0且q(f(z),f(y))≈0.故

q(f(x),f(y))≤q(f(x),f(z))+q(f(z),f(y))≈0.

即結(jié)論得證.

定理5 對(duì)緊一致空間X，如果對(duì)任一x∈X，設(shè)fn(x)收斂于f(x).對(duì)任一n∈N+，如果映射fn在X上是連續(xù)函數(shù).稱fn?f當(dāng)且僅當(dāng)序列{fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù).

證明 “?”對(duì)一致空間X，因?yàn)閒n?f，所以f在X上為連續(xù)函數(shù).

又由于一致空間X是緊的，因此f與一切的fn，n∈N+，在一致空間X為一致連續(xù)函數(shù).故f與一切的fn，n∈*N+在*X上是U-微連續(xù)函數(shù).

設(shè)ν∈*N-N，若x,y∈*X且p(x,y)≈0.則

q(fν(x),fν(y))≤q(fν(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),fν(y))≈0.

因此對(duì)于n∈*N-N，fn是U-微連續(xù)函數(shù).

又因?yàn)閚∈N+，fn是U-微連續(xù)函數(shù)，因此{(lán)fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù).

“?”由于{fn|n∈N+}是U-等度連續(xù)函數(shù)，因此對(duì)一致空間*X，如果對(duì)任一n∈*N+，fn是U-微連續(xù)函數(shù).

任取x∈*X，ν∈*N-N.由于一致空間X是緊的，因此有y∈X，使得

p(x,y)≈0且q(fν(x),fν(y))≈0.

又因?yàn)閒n(y)收斂到f(y)，即q(fn(y),f(y))≈0，所以q(fν(y),f(y))≈0.故

q(fν(x),f(y))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))≈0.

又由于f在一致空間X上是連續(xù)函數(shù)，p(x,y)≈0，故q(f(x),f(y))≈0.進(jìn)而

q(fν(x),f(x))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

故fn?f.

定義6 對(duì)一致空間(X,u)，x∈*X.如果有y∈X，使得p(x,y)≈0，則稱點(diǎn)x為U-近似標(biāo)準(zhǔn)；反之，稱x為U-遙遠(yuǎn)的.

定義7 若y∈X且p(x,y)有限，稱點(diǎn)x∈*X有限.

推論1 對(duì)(X,u)中的任一點(diǎn)x若為U-近似標(biāo)準(zhǔn)，則其也有限.

定義8 如果對(duì)任一U-近似標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)x，x∈*X，°x是唯一的y∈X，使得p(x,y)≈0，°x稱作x的標(biāo)準(zhǔn)部分.

定理6(逼近定理) 一致空間(X,u)是緊的，如果映射f在(*X,*u)上是U-微連續(xù)函數(shù)，且映射f是內(nèi)映射，則對(duì)任一x∈X，f(x)為U-近似標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)x∈X，令F(x)=οf(x)，則稱F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任一x∈*X，(F(x),f(x))∈μv.

證明 任意給定x∈X，由于映射f在(*X,*u)上是U-微連續(xù)函數(shù)，并且其是內(nèi)映射，因此f也是rs-連續(xù)的.即對(duì)任一s∈R+，存在r∈R+，使得對(duì)任一y∈*X，當(dāng)p(x,y)

q(f(x),f(y))

取y∈X且p(x,y)

又F(x)=οf(x)，所以q(F(x),f(x))≈0，q(F(y),f(y))≈0.故

q(F(x),f(y))≤q(F(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),f(y))

即F在點(diǎn)x處為一致連續(xù)函數(shù)，因?yàn)閤是任取的，所以F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù).

令x∈*X，由于一致空間(X,u)是緊的，因此對(duì)任一p∈P，p(x,y)≈0，y∈X.

又f是U-微連續(xù)函數(shù)，因此q(f(x),f(y))≈0且F在(X,u)上為一致連續(xù)函數(shù)，即q(F(x),f(y))≈0，由于q(F(y),f(y))≈0，故

q(F(x),f(x))≤q(F(x),F(y))+q(F(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

因此結(jié)論得證.

[1] ROBINSON A.Nonstandard analysis,Studies in logic and the foundations of mathematics[M].North-Holland,1966:5-12.

[2] DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:96-97.

[3] LI B H,LI YQ.Defining new generalized functions by nonstandard discrete functions and difference quotients[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2004,6(4):322-346.

[4] WANG R D.The equivalence of two convergent sequence of bounde sequences in normed space[J].Journal of Mathematical Research & Exposition,2009,29(3):568-570.

[5] KELLY J L.General topology[M].New York:Springer-verlag,1975:175-200.

[6] KELLY J L.一般拓?fù)鋵W(xué)[M].吳從忻,吳讓泉譯.北京:科學(xué)出版社，1982:161-176.

[責(zé)任編輯 王新奇]

The Approximation Theorem in Compact Uniform Space

MA Ting, ZHANG Yan, HAN Chan

(Huaqing College, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710043, China)

As a special topological space, uniform space has close contact with topological space and metric space. In this paper, the compact uniform space is nonstandard characterized by the methods of nonstandard analysis. The relationship between convergent and continuity of function are obtained; And the approximation theorem of function in uniform space are proved by the concept ofU-microcontinuity.

uniform space; transfer principle; approximation theorem

1008-5564(2016)06-0001-03

2016-05-28

陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金(15JK2052)；西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院科研項(xiàng)目(201503)

馬 婷(1986—), 女, 陜西西安人, 西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院助教，碩士，主要從事非標(biāo)準(zhǔn)分析研究.

O141.41

A