地面地震高斯射線束正演

成 林

(西安石油大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710065)

地面地震高斯射線束正演

成 林

(西安石油大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710065)

高斯射線束正演方法是將射線理論和波動(dòng)方程理論相結(jié)合的一種地震正演方法，充分利用了射線理論計(jì)算速度快、波動(dòng)方程理論計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn).通過(guò)高斯射線束表達(dá)式和編程實(shí)現(xiàn)地震記錄合成的基礎(chǔ)上，給出了水平地質(zhì)模型的計(jì)算實(shí)例，并對(duì)比分析了高斯射線束法、普通射線法、波動(dòng)方程法正演的特點(diǎn).通過(guò)理論分析和實(shí)際地質(zhì)模型可以得出：(1)高斯射線束正演方法效率高，計(jì)算速度快，在復(fù)雜模型中甚至超過(guò)普通射線法的計(jì)算速度；(2)高斯束法由于在斷點(diǎn)處存在繞射能量，計(jì)算中不存在奇異區(qū)(陰影區(qū)、焦散區(qū)等)；(3)高斯束法合成記錄不僅反映地震波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)，而且反映波的高頻動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果可與波動(dòng)方程法計(jì)算結(jié)果一致.

高斯射線束；射線追蹤；波動(dòng)方程；地震正演；合成地震記錄

在石油勘探中，地震勘探一直是很重要的方法之一.地震勘探有反演和正演兩種方法.地震反演是利用地震反射波、繞射波等波場(chǎng)信息來(lái)模擬地層的地質(zhì)構(gòu)造的方法.但是地震反演具有不穩(wěn)定性和結(jié)果多解性問(wèn)題.為了解決這些問(wèn)題，一般用已有的地質(zhì)信息和理論知識(shí)結(jié)合來(lái)建立正確的地質(zhì)模型，通過(guò)迭代法，逐漸逼近真實(shí)解.所以正演技術(shù)在地震勘探中越來(lái)越受到關(guān)注和重視[1-5].

正演方法在地震勘探中的發(fā)展和應(yīng)用，確定了波動(dòng)理論和射線理論兩種地震技術(shù).波動(dòng)理論和射線理論可以將橫向不均勻介質(zhì)中的高頻波記錄合成，但是對(duì)焦散區(qū)、臨界區(qū)等奇異區(qū)域計(jì)算出的振幅趨于無(wú)窮，因而失效.因此在1982年Cerveny等人又提出了高斯射線束正演方法，這種方法結(jié)合了波的動(dòng)力學(xué)特征和運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，不僅適用于均勻介質(zhì)，而且在復(fù)雜的非均質(zhì)介質(zhì)中同樣有著較好的效果.該方法具有速度快、精度高的特點(diǎn).

1 高斯射線束正演方法理論

1.1 二維高斯射線束表達(dá)式

根據(jù)Cerveny等人在二十世紀(jì)八十年代初期提出高斯射線束正演方法，可以得知二維高斯射線束表達(dá)式為公式(1)，集中于射線附近的高頻漸進(jìn)時(shí)間調(diào)和解，該解在頻率域具有如式(2)中的表達(dá)形式.[6]

(1)

在公式(1)中：μ1表示位移分量；τ11表示應(yīng)力分量(其中包含拉梅常數(shù)λ和μ)；h1，h2和h3分別為坐標(biāo)c1c2和c3對(duì)應(yīng)的標(biāo)量因子，且h1=1.這里只研究c2=0的平面.

(2)

圖1 二維高斯射線坐標(biāo)系

公式(2)中各項(xiàng)的意義：

U(s,n,ω,t)表示了縱波位移，(s,n)為沿某一中心射線的射線坐標(biāo)系坐標(biāo)，s為到射線原點(diǎn)的距離，n為到射線的距離，ω為圓頻率即ω=2·π·f，t為時(shí)間參量；

K(s)=v(s)Re[p(s)/q(s)]

表示高斯射線的相前曲率，主要反映波前面的幾何形狀；其中p(s)和q(s)為地震波沿中心射線變化的兩復(fù)函數(shù)，并且他們滿足如下微分方程：

(3)

L(s)表示高斯射線束有效寬度的一半；

A(s)是沿中心射線地震波的位移幅值.對(duì)于層狀介質(zhì)，假定射線從原點(diǎn)s0出發(fā)，經(jīng)N個(gè)任意界面反射回到地面接收點(diǎn)R，則R處接收到的中心射線振幅可以表示為：

(4)

圖2 波在界面上的反射與透射示意圖

圖3 垂直射線剖面中的振幅曲線

圖4 檢波點(diǎn)R附近的一條射線Ω

式(4)中s為射線路徑上的任意點(diǎn)，Ri為界面反射或透射系數(shù)，ρ為入射線一側(cè)的介質(zhì)密度，v為入射線一側(cè)的地震波速，而ρ′和v′則分別表示生成射線一側(cè)的密度與速度，αi和βi分別表示以地層界面切線方向?yàn)樗阶鴺?biāo)軸的局部坐標(biāo)系中，入射角和生成線與局部坐標(biāo)系X正向的夾角，如圖2.

式中，ε=ε1+iε2.通過(guò)改變?chǔ)?和ε2，可以將射線的半寬度進(jìn)行調(diào)節(jié)，確保有較高的計(jì)算精度.由方程(2)可見(jiàn)，從射線中心開(kāi)始波場(chǎng)是以指數(shù)規(guī)律逐漸向外衰減的.如圖3所示，在垂直射線的剖面內(nèi)振幅為鐘形曲線，這就是高斯射線束名稱的由來(lái).

1.2 高斯射線束合成地震記錄

根據(jù)高斯射線束理論計(jì)算地震波場(chǎng)時(shí)，可分為3步：(1)做射線追蹤；(2)作動(dòng)力學(xué)追蹤;(3)求得波場(chǎng)值.上述介紹如何在頻率域中計(jì)算一條中心射線的高斯射線束.高斯射線束合成地震記錄方法有：頻譜法、褶積法和波包法，其中波包法效率最高.[7-8]

例如未得到某介質(zhì)中R點(diǎn)的波場(chǎng)值，需利用高斯射線束正演將R點(diǎn)附近的波場(chǎng)貢獻(xiàn)疊加，然后轉(zhuǎn)換到時(shí)間域.設(shè)射線出射點(diǎn)為O，檢波點(diǎn)為R，并位于射線束的有效半寬度范圍內(nèi)，則R點(diǎn)的振幅A(R),旅行時(shí)τ(R)，可由O點(diǎn)的振幅A(O)及旅行時(shí)τ(O)近似求得.如圖4所示，Q點(diǎn)為R點(diǎn)的波前與射線Ω的交點(diǎn)，只要知道sQ_sO(即Q點(diǎn)到O點(diǎn)的射線弧長(zhǎng))便近似求得A(R)和τ(R)的值.

射線Ω對(duì)檢波點(diǎn)R處波場(chǎng)的貢獻(xiàn)為

(5)

而檢波點(diǎn)R處的總波場(chǎng)就是對(duì)所有射線求和的結(jié)果，即

(6)

為了求得合成記錄，我們引入震源函數(shù)：

f(t)=exp[(2πfmt/γ)]2cos(2πfm+ν)

(7)

現(xiàn)在用u(R,t)表示時(shí)間域的實(shí)際波場(chǎng)，可由方程(7)的傅里葉變換求得：

(8)

(9)

(10)

g為波包，由于f(t)是高頻函數(shù)，所以g為高頻的波包.

f(t)≈exp[(2πfmt/γ)]2cos(2πfm+ν)

(11)

式中fm為子波主頻，γ為控制子波包絡(luò)寬度的參數(shù)，ν為控制子波相位的參數(shù)，此子波也稱Puzyrev子波或高斯包絡(luò)子波.根據(jù)Cerveny 1983的文章，可知波包g的近似解析表達(dá)式：

(12)

1.3 二維均勻介質(zhì)線性界面高斯射線束合成記錄p、q值的求取

經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤，就有了中心射線，在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)行高斯射線束的動(dòng)力學(xué)射線追蹤，即求得p、q的函數(shù)值.函數(shù)p(s)、q(s)在高斯射線束中起著非常重要的作用，它們決定了高斯射線束能量的分布狀態(tài)，也表征沿射線傳播方向的高頻地震波場(chǎng)動(dòng)力學(xué)特征，也正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，才使得高斯射線束正演方法優(yōu)于一般的射線正演方法.主要還是求檢波點(diǎn)處p、q的值.下面進(jìn)行p、q值的求取在二維均勻介質(zhì)同一個(gè)層內(nèi)中，速度是不隨位置發(fā)生變化，則

(13)

故式(13)可以化為：

(14)

解此一階常微分方程得：

(15)

式中C1和C2為任意常數(shù)，選取兩組相互獨(dú)立的初始條件

可求得：

(16)

式中v(1)為炮點(diǎn)處速度值；另外，由于在線性邊界上，界面曲率為0，結(jié)合邊界條件式(16)可知檢波點(diǎn)處p、q值為：

(17)

式中v(i)為第i段射線傳播的速度，τ(i)為相應(yīng)的時(shí)間，M為射線上的總段數(shù).

由式(17)可知：

(18)

故有

(19)

2 高斯射線束算法的實(shí)現(xiàn)及實(shí)例分析

實(shí)際計(jì)算表明高斯射線束法數(shù)值模擬是有效的，根本不需要在兩點(diǎn)間作射線追蹤，從而使得運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤部分的計(jì)算速度比普通射線法要快.利用高斯射線束法合成地震記錄可以明顯看出地震波的動(dòng)力學(xué)特征，使得計(jì)算精度比普通射線法要高，而且與波動(dòng)方程效果相差不大，但計(jì)算速度比波動(dòng)方程法快得多.[9]下面我們通過(guò)水平地質(zhì)模型實(shí)例來(lái)具體分析高斯射線束正演方法的特點(diǎn).

該模型為一個(gè)兩層的水平層狀模型，表1為這兩層介質(zhì)速度、密度、厚度參數(shù)和觀測(cè)系統(tǒng)參數(shù)，圖5為此模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤圖，圖6為利用高斯射線束法合成的炮集記錄，圖7為利用試射法合成的炮集記錄，圖8為利用波動(dòng)方程法合成的炮集記錄.在地震勘探中，水平層狀模型是比較理想化且簡(jiǎn)單的一種模型，且在構(gòu)造簡(jiǎn)單的地區(qū)的地下地質(zhì)構(gòu)造與這個(gè)模型基本類似，因此用這個(gè)模型可簡(jiǎn)單地試出程序的有效性和在檢驗(yàn)高斯射線束的優(yōu)點(diǎn)時(shí)，可以明確表達(dá)出.

表1 水平層狀模型觀測(cè)參數(shù)及地層參數(shù)

從該模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤圖5可以看出：射線從-90°到90°打出，±90°打出的射線沿地面?zhèn)鞑ィ纬芍边_(dá)波(圖8地表附近的水平紅線)；其他角度的射線向下傳播，遇到第一個(gè)界面發(fā)生了反射和透射，反射波回到地表被檢波器接收到，形成第一層的反射波；透射波繼續(xù)向下傳播，遇到第二個(gè)界面再次發(fā)生反射和透射，反射波傳播到地表就形成了第二層的反射波，透射波繼續(xù)向下傳播，由于沒(méi)遇到反射界面，此部分能量就損失掉了.從地表接收情況來(lái)看，水平層狀地層射線追蹤不存在射線覆蓋不到的陰影區(qū)域，所以對(duì)于此種簡(jiǎn)單模型用普通的射線方法也可以獲得良好的正演效果，如圖7，可以進(jìn)行構(gòu)造方面的正演研究.

圖5 水平層狀模型運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤圖

圖6 水平層狀高斯射線束法炮集記錄

圖7 水平層狀試射法炮集記錄

圖8 波動(dòng)方程法炮集記錄

對(duì)比圖6、圖7和圖8，可以看出炮集記錄有以下特點(diǎn)：

(1)直達(dá)波的時(shí)距曲線(3個(gè)炮集記錄中同相軸①)為過(guò)炮點(diǎn)的直線，反射波的時(shí)距曲線為雙曲線，并且在同一地震道上直達(dá)波比反射波到達(dá)時(shí)間早；對(duì)于同一條反射波同相軸，零炮檢距處的地震道上旅行時(shí)最小，隨炮檢距的增大，旅行時(shí)逐漸增大；對(duì)比兩條反射波同相軸可知，反射界面越深，反射波時(shí)距曲線的曲率越小.這是由于深度越大，反射界面以上地層的均方根速度越大，相應(yīng)的正常時(shí)差就越小，因此同相軸就越平緩，曲率就越小.

(2)高斯射線束法合成的地震記錄體現(xiàn)了一定的地震波動(dòng)力學(xué)特征，和波動(dòng)方程法合成記錄相似，如圖6和7，各波能量有一定差異；對(duì)比兩個(gè)反射界面的振幅可知，反射同相軸的能量隨界面深度的增大而減小，這主要是因?yàn)榻缑嬖缴?，傳播的射線路徑越長(zhǎng)，衰減的能量越多，振幅就越小；對(duì)于同一同相軸，零炮檢距附近能量較強(qiáng)，隨炮檢距增大反射能量逐漸減弱，這也是由于炮檢距越大，反射路徑越長(zhǎng)，能量衰減越厲害造成的.由此可以看出高斯射線束正演方法不僅考慮了不同深度上能量的變化，還考慮了不同入射角射線能量的差異，所以此方法可以在一定程度上體現(xiàn)地震波的動(dòng)力學(xué)特征.而用試射法得到的合成記錄，如圖7，各波同相軸的振幅一樣，不能體現(xiàn)地震波傳播的動(dòng)力學(xué)特征，這是普通射線法的一大缺點(diǎn).

3 結(jié)論

通過(guò)計(jì)算機(jī)，利用C++語(yǔ)言編寫的高斯射線束程序，對(duì)水平層狀地質(zhì)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤和地震記錄的合成，并把其結(jié)果與試射法、波動(dòng)方程法計(jì)算合成記錄相對(duì)比得出下列兩個(gè)結(jié)論

(1)高斯束法結(jié)合了普通射線正演和波動(dòng)力學(xué)正演兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)考慮了波場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特征，適用于復(fù)雜的非均勻介質(zhì)模型，還能考慮介質(zhì)的吸收作用，并且不需要兩點(diǎn)射線追蹤的計(jì)算，具有速度快、精度較高的特點(diǎn)，對(duì)焦散區(qū)、臨界區(qū)及暗區(qū)等奇異區(qū)域都具有較好的計(jì)算效果.

(2)在應(yīng)用方面，可利用高斯射線束地震記錄合成技術(shù)，可對(duì)波場(chǎng)進(jìn)行快速的理論研究，進(jìn)行野外數(shù)據(jù)采集工作的設(shè)計(jì)，而且還可作為野外數(shù)據(jù)采集現(xiàn)場(chǎng)質(zhì)量控制的依據(jù)，也有助于地震資料的處理和解釋.

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[責(zé)任編輯 仲 圓]

Gaussian Beam Forward Modeling on the Surface Seismic

CHENG Lin

(School of Earth Sciences and Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, China)

The forward modeling by Gaussian beam method is essentially a seismic forward modeling method that combines wave equation and ray theory, which makes full use of the advantages of the fast calculation of ray theory and the high accuracy of wave equation theory. In this paper, based on Gaussian beam function and programming to achieve the synthesis of seismic records, the calculation example of horizontal geological model is given, and the characteristics of Gaussian beam method, ordinary ray method and wave equation method are compared and analyzed. Through the theoretical analysis and the practical geological model test, it can be concluded that as follows. Firstly, forward modeling by Gaussian beam method is of high efficiency, fast calculation speed, and its calculation speed is even faster than that of the ordinary ray method in the complex model. Secondly, due to the presence of diffraction energy at the break-point, the singular region (region of a shadow area, etc.) does not exist in the calculation of Gaussian beam method. Thirdly and lastly, the synthetic record of Gauss beam method not only reflects the kinematic characteristics of seismic waves, but also reflects the high frequency dynamic characteristics of the wave. The calculation results are consistent with the calculation results of the wave equation method.

Gaussian beam; ray tracing; wave equation; seismic forward modeling; synthetic seismic record

1008-5564(2016)06-0086-06

2016-04-25

中國(guó)地質(zhì)調(diào)查局地質(zhì)項(xiàng)目(1212011085499)

成 林(1991—)，男，陜西武功人，西安石油大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生，主要從事應(yīng)用地球物理研究

P315.2

A