橢圓的參數(shù)方程教學案例

李鳳

摘要：圓錐曲線中，橢圓具有舉足輕重的地位，而橢圓的參數(shù)方程的引入和學習，有助于我們更好地理解橢圓的性質，體會各知識之間的聯(lián)系，方便的解決一些數(shù)學問題。教科書通過推廣前一節(jié)例4，得出橢圓的參數(shù)方程，這個參數(shù)方程實際上是通過純粹的代數(shù)和三角變換得到的，參數(shù)的幾何意義并不明確，為此我類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來探究橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，輔助計算機利用幾何畫板演示橢圓的軌跡，發(fā)現(xiàn)參數(shù)的幾何意義，直觀形象易于理解。

關鍵詞：橢圓 參數(shù)方程 幾何意義 案例 應用

中圖分類號：G63文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）01（B）-0000-00

一、 案例背景

依據(jù)美國學者埃德加·戴爾（Edgar Dale）1946年提出的“學習金字塔”（Learning Pyramid）理論，依照新課程標準中的要求打造以老師為主導、學生為主體的高效課堂。

1、教材分析

相對于曲線的一般方程，參數(shù)方程是曲線的另一種代數(shù)表現(xiàn)形式，在某些方面具有一定的優(yōu)越性，而橢圓的參數(shù)方程是其中一個重要的內容。從教材的編排看，橢圓的參數(shù)方程被安排在圓的參數(shù)方程與雙曲線的參數(shù)方程之間，它起著銜接，過渡，承前啟后的作用。

2、學情分析

學生已經(jīng)掌握了橢圓的標準方程、圖像和性質，能夠簡單的應用，但是對于一些求最值的問題感到計算比較困難。本節(jié)課橢圓的參數(shù)方程的教學應該幫助學生解決好：1.能從類比圓的參數(shù)方程的建立得出橢圓的參數(shù)方程；2.引導學生體會橢圓參數(shù)的幾何意義；3.能利用橢圓的參數(shù)方程解決有關的問題。

3、教學目標

知識與技能：通過探究活動，了解橢圓參數(shù)方程及橢圓規(guī)的設計原理；

過程與方法：有應用參數(shù)的意識，能用橢圓參數(shù)方程解決一些簡單問題；

情感態(tài)度價值觀：通過觀察，探索的學習過程，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新意識.

4、教學重點：橢圓的參數(shù)方程的建立.

教學難點：橢圓參數(shù)方程的應用.

5、教學用具：實物展臺，投影儀

6、教學流程：目標引入——自主探究——分組討論——自主實踐——反思總結

7、教學方法：自主探究式教學

8、教學課時：1課時

二、教學步驟

1、目標引入：復習回顧圓的參數(shù)方程并提出問題——能否根據(jù)課本上推導圓的參數(shù)方程的過程推導出橢圓的參數(shù)方程？引入課題并板書課題——橢圓的參數(shù)方程。

2、自主探究，發(fā)現(xiàn)新知

探究1： 以坐標原點O為圓心，分別以a、b為半徑作兩個圓。點A是大圓上任意一點，點B是大圓半徑與小圓的交點，過點A作AN⊥x軸于點N，再過點B作BM⊥AN于點M。求當半徑OA繞點O旋轉時，點M的軌跡的參數(shù)方程。

①提問學生選取什么作為參數(shù)？②再問學生選擇該參數(shù)的理由；③構建橢圓的參數(shù)方程：

如圖，設∠xOA=θ，點M的坐標為（x，y）。

則x=ON=|OA|cosθ=acosθ，

y=NM=|OB|sinθ=bsinθ。

即 （θ為參數(shù)），這就是點M軌跡的參數(shù)方程。

最后，提問學生點M的軌跡是一條什么曲線？為什么？并引出離心角的概念。

①直接消去參數(shù)θ，化參數(shù)方程為普通方程可知點M的軌跡是橢圓；

②利用《幾何畫板》對點M進行“跟蹤”，發(fā)現(xiàn)點M的軌跡確實是橢圓；

【正確理解橢圓離心角θ的幾何意義】

1.給出離心角與旋轉角的概念

如圖，我們稱∠xOA為橢圓的離心角，而把∠xOM叫做橢圓的旋轉角。

2.初步認識橢圓的離心角θ

①由圖可知∠xOA≠∠xOM；②提問：∠xOA與∠xOM有相等的可能嗎？一共有多少次？

3、分組討論，體驗應用

探究2：橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示. 在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊 ， ， 它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點 處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周就畫出一個橢圓.你能說明它的構造原理嗎？（提示：可以用直尺 和橫槽所成的角為參數(shù)，求出點 的軌跡的參數(shù)方程. ）

4、動手實踐，深化知識

探究3：已知橢圓 .若 是橢圓 上任一點，求 的最值

5、學生小結

知識方面：

思想方面：

6、布置作業(yè)：課本 思考題

三、結語

1.注重學以致用。課堂不應該是 “一言堂”，學生也不再是教師注入知識的“容器瓶”，課堂上，老師應為學生講清楚相關理論、原理及思維方法，做到授之以漁，而非僅是授之以魚。保證活躍的課堂氣氛，進一步激發(fā)了學生的學習潛能。

2.教學中借助信息技術可以彌補傳統(tǒng)教學在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率，本課使用幾何畫板可以動態(tài)地演示出橢圓參數(shù)方程的生成過程，讓學生直觀觀察參數(shù)的影響。

參考文獻：

1. 普通高中課程標準實驗教科書《坐標系與參數(shù)方程》人民教育出版社

2. 陳東生 《中學數(shù)學教學參考月刊》2010年 第10期

3. 黃春妮《新課程》2014年 第8期