一類典型余模代數(shù)的等變分解

俞曉嵐

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

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一類典型余模代數(shù)的等變分解

俞曉嵐

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

摘要：本文給出了非退化雙線性型量子自同構(gòu)群的一類典型余模代數(shù)的等變分解, 由此得知此類余模代數(shù)滿足Hochschild同調(diào)和上同調(diào)間的Poincaré對(duì)偶.

關(guān)鍵詞：典型余模代數(shù);等變分解;Poincaré對(duì)偶

0引言

上述結(jié)論啟發(fā)人們思考這樣一個(gè)問題:如果兩個(gè)Hopf代數(shù)H和L的余模范疇是等價(jià)的,那么它們的Hochschild上同調(diào)之間有什么關(guān)系?這個(gè)問題目前還沒有解決,與之相關(guān)的一個(gè)問題是:如果兩個(gè)Hopf代數(shù)H和L的余模范疇是等價(jià)的,那么如何從H的雙模投射分解得到L的雙模投射分解.Bichon在文獻(xiàn)[5]中提出了余模代數(shù)的等變(equivariant)自由分解的概念.如果兩個(gè)Hopf代數(shù)H和L的余模范疇是等價(jià),并已知H的一個(gè)等變自由分解,那么就可以利用H的這個(gè)分解得到L的自由分解.但如何利用H和L的這兩個(gè)分解來研究它們Hochschild同調(diào)間的關(guān)系,目前還沒有找到有效的方法.因此,我們需要豐富的等變自由分解的例子來解決這一問題.

1準(zhǔn)備知識(shí)

設(shè)M是A-雙模,μ,ν是A的自同構(gòu),雙模μMν作為向量空間和M是同構(gòu)的,但左,右模結(jié)構(gòu)分別定義為a·m·b=μ(a)mν(b),其中,a,b∈A,m∈M.下文中為簡(jiǎn)單起見,如果μ或者ν是恒等映射,就省略不寫.

接下去,我們簡(jiǎn)單回顧兩個(gè)基本概念.

定義1假設(shè)H是Hopf余半單代數(shù).如果一個(gè)右H-余模代數(shù)A滿足每個(gè)單H-余模是A的直和項(xiàng),且重?cái)?shù)恰好是1,就稱A是一個(gè)典型H-余模代數(shù)(modelH-comodule algebra).

定義2假設(shè)H是Hopf代數(shù),A是右H-余模代數(shù).A的一個(gè)H-等變自由分解(H-equivariant free resolution)指的是一個(gè)正合列

其中,對(duì)n≥1,Vn是右H-余模,dn既是A-雙模態(tài)射,又是右H-余模態(tài)射.顯然,A的一個(gè)H-等變自由分解首先是A的自由雙模分解.

2主要結(jié)果

這里□表示余張量函子.

假設(shè)F∈GLn(k)滿足tr(E-1Et)=tr(F-1Ft),m,n≥2,:→是由(E)-(F)-雙Galois對(duì)象(E,F)誘導(dǎo)的等價(jià)函子,那么存在(F)-余模代數(shù)同構(gòu)(E-1,t)≌F-1,t.

(1)

其中V=kx⊕ky,態(tài)射γ定義為γ(1?1)=-qx?y?1-q1?x?y+y?x?1+1?y?x.

引理4[5]命題7.6假設(shè)H,L是Hopf代數(shù),且存在余模范疇的等價(jià)函子:H→L.設(shè)A是右H-余模代數(shù),那么任意一個(gè)A的H-等變自由分解

…→(A)?(Vn)?(A)→(A)?(Vn-1)?(A)→…

→(A)?(V2)?(A)→(A)?(V1)?(A)→(A)?(A)→(A)→0.

(2)

證由于存在q∈k*,使得tr(E-1Et)=-q-q-1,那么由引理1知,=-□(Eq,E):→是等價(jià)函子.由引理4及其在文獻(xiàn)[5]中的證明知,對(duì)Aq,t的等變自由分解(1)作用函子,再利用同構(gòu)(Aq,t?Aq,t)≌(Aq,t)?(Aq,t),(Aq,t?V?Aq,t)≌(Aq,t)?(V)?(Aq,t),就可得到E-1,t的等變自由分解.由引理2知,(Aq,t)≌E-1,t.同時(shí),有余模同構(gòu)

□

(i)是2維扭Calabi-Yau代數(shù),Nakayama自同構(gòu)μ定義為μ(x1,…,xm)=-(x1,…,xm)(E-1)tE.

(ii)滿足Hochschild同調(diào)和上同調(diào)間的Poincaré對(duì)偶Hi(A,M)≌H2-i(A,μM),0≤i≤2,

其中M是A-雙模.

HomAe(A?A,Ae)→HomAe(A?W?A,Ae)→HomAe(A?A,Ae).

(3)

由分解式(2),可得正合列0→A?Aμ→A?W?Aμ→A?Aμ→Aμ→0,

其中μ即為定理中定義的A的自同構(gòu).又有復(fù)形同構(gòu):

(ii)是(i)和[9，定理1]的直接推論.

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第15卷第1期2016年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

Equivariant Resolutions for a Class of Model Comodule Algebras

YU Xiaolan

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:This paper gives equivariant resolutions for a class of model comodule algebras of quantum automorphism groups of non-degenerate bilinear forms. Consequently,such comodule algebras satisfies the Poincaré duality between Hochschild homology and cohomology.

Key words:model comodule algebra; equivariant resolution; Poincaré duality

文章編號(hào):1674-232X(2016)01-0067-04

中圖分類號(hào):O154MSC2010: 16E05;16W35;16E40

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.013

通信作者：俞曉嵐(1982—),女,副教授,博士,主要從事非交換代數(shù)的研究.E-mail:xlyu@hznu.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301126)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LQ12A01028).

收稿日期：2015-08-27