有質(zhì)量彈簧振子的彈簧內(nèi)力

陳奎孚 黃 峰 蔣 曉 趙建柱

(1中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100083; 2北京農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京 102208; 3中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院,北京 100083)

有質(zhì)量彈簧振子的彈簧內(nèi)力

陳奎孚1黃 峰1蔣 曉2趙建柱3

(1中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100083;2北京農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京 102208;3中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院,北京 100083)

文章分析了有質(zhì)量彈簧振子的彈簧內(nèi)力，并用Matlab工具進(jìn)行圖形化展示.分析表明：彈簧質(zhì)量不可忽略時(shí)，彈簧各斷面上內(nèi)力是斷面位置的函數(shù)；對(duì)振子均勻拉伸-釋放所建立的振動(dòng)，彈簧內(nèi)力隨時(shí)間的變化規(guī)律不再是簡(jiǎn)諧波；隨著彈簧質(zhì)量的增加，內(nèi)力偏離簡(jiǎn)諧波越來(lái)越明顯；質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為零時(shí), 內(nèi)力隨時(shí)間的變化規(guī)律為周期性方波.

彈簧振子；波動(dòng)；偏微分方程；內(nèi)力

彈簧振子是大學(xué)物理教學(xué)的經(jīng)典例子.在這個(gè)經(jīng)典例子中，一般都忽略不計(jì)彈簧的質(zhì)量.若與質(zhì)點(diǎn)相比，彈簧不是很輕，就需要考慮彈簧的質(zhì)量.彈簧質(zhì)量必須考慮的彈簧振子本質(zhì)上是波動(dòng)問(wèn)題，研究它的工具變得復(fù)雜，相應(yīng)的物理現(xiàn)象也復(fù)雜得多.就該問(wèn)題，國(guó)內(nèi)已經(jīng)發(fā)表了很多文章[1-8]，朱洪玉對(duì)這一問(wèn)題做了很系統(tǒng)的總結(jié)，對(duì)相關(guān)爭(zhēng)議進(jìn)行了澄清[9].

需要特別指出的是：有些特性，它們?cè)趶椈少|(zhì)量可忽略的情形下是顯而易見的，但在波動(dòng)問(wèn)題下就不那么直觀了.比如，若彈簧質(zhì)量不計(jì),則其內(nèi)力并不隨彈簧的斷面位置而變化(為了表述清晰，我們把彈簧當(dāng)成圓柱體，垂直于彈簧軸線的橫截面稱為彈簧的斷面)；然而，若彈簧質(zhì)量必須考慮，其斷面上內(nèi)力變化規(guī)律可能會(huì)很復(fù)雜.柯紅衛(wèi)等研究了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧內(nèi)力[10]，但在考慮彈簧質(zhì)量情形下，純簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)很困難，比如通常所討論的例子均勻拉伸后釋放所建立的振動(dòng)，并非簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是多個(gè)本征振動(dòng)疊加在一起的復(fù)合振動(dòng).可以推測(cè)此情形下，彈簧內(nèi)力隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)不會(huì)很簡(jiǎn)單.但由于以前技術(shù)限制，大多教科書或?qū)W習(xí)輔導(dǎo)書往往止步于冗長(zhǎng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式.這樣做，一則不直觀，另則也不容易激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣.

本文將對(duì)彈簧質(zhì)量必須考慮的振子的彈簧內(nèi)力進(jìn)行探究，并利用數(shù)學(xué)工具軟件MATLAB的計(jì)算和圖形功能把其復(fù)雜性展示出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)其復(fù)雜性有直觀的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)習(xí)興趣.

1 模型

在圖1所示的模型中，設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l, 勁度系數(shù)k，彈簧的質(zhì)量m′均勻分布(線密度ρl=m′/l)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m(為了方便討論，后文經(jīng)常使用質(zhì)量比βm=m′/m這個(gè)參數(shù)).記位于彈簧原長(zhǎng)x斷面的位移為u(x,t).彈簧的波動(dòng)方程為[1-4](也可參照彈性桿的縱向振動(dòng)[11])

ut t=v2uxx

(1)

圖1 模型

由邊界條件(2)和(3)可導(dǎo)出第i階無(wú)量綱本征頻率μi方程[11]

βmcosμi-μisinμi=0

(4)

無(wú)量綱本征頻率μi與有量綱的本征圓頻率ωi之間的關(guān)系為

(5)

對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)如下

(6)

2 本征振動(dòng)

2.1 內(nèi)力

為了與文獻(xiàn)[10]盡量一致，暫且假定振子發(fā)生了一階本征振動(dòng)(如果要發(fā)生這樣的自由振動(dòng)，必須精心控制彈簧各斷面的初位移和初速度，使得二者與第一階本征函數(shù)僅相差一個(gè)比例系數(shù)).

對(duì)這種特殊振動(dòng)，彈簧各斷面的位移為

(7)

其中,A和α分別為質(zhì)點(diǎn)的振幅和振動(dòng)初相位.注意質(zhì)點(diǎn)m最大位移是Asinμ1，而不是A.

對(duì)質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧(m′=0)，彈簧內(nèi)力沿軸線不變，且等于作用在彈簧兩端的所謂“彈力”.但當(dāng)質(zhì)量不能忽略時(shí)，彈簧內(nèi)力沿軸線變化規(guī)律正是本文要探究的問(wèn)題.下面通過(guò)彈簧的局部變形來(lái)確定彈簧內(nèi)力.

考慮未變形時(shí)位于x的斷面.記該斷面的局部伸縮率(在單位長(zhǎng)度上的伸縮)為ux(ux=?u/?x)，相應(yīng)的內(nèi)力則能寫成κux，其中κ是與彈簧勁度系數(shù)k有關(guān)的比例系數(shù).為了確定κ與k的關(guān)系，假定彈簧退化成無(wú)質(zhì)量情形，則彈簧總伸長(zhǎng)量(此時(shí)發(fā)生均勻變形)為lux，由彈簧胡克定律得到的彈力為k×(lux)，它也等于從局部伸縮率角度的κux.這樣得到κ=kl.利用這個(gè)關(guān)系，有質(zhì)量彈簧各斷面的內(nèi)力可表示為(適合于任何形式的振動(dòng))

F(x,t)=klux

(8)

將式(7)代入式(8)有

(9)

2.2 表觀勁度

通常說(shuō)法“彈力與位移成正比”中：“位移”指的是質(zhì)點(diǎn)m的位移，也就是圖1中P點(diǎn)位移u(l,t)；力則是彈簧作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，它也等于式(9)取x=l(P點(diǎn))的函數(shù)值.由式(7)和式(9)可知P端的彈力與該端點(diǎn)位移仍成正比，但是比例系數(shù)

(10)

不再恒等于彈簧的勁度系數(shù)k.文獻(xiàn)[10]已指出這一點(diǎn)，但是文獻(xiàn)[10]是基于動(dòng)態(tài)時(shí)彈簧仍均勻變形的假定，所得到kB與式(10)有一定差異.

kB和k的關(guān)系與μ1有關(guān)，進(jìn)而與質(zhì)量比βm有關(guān).

Q端的彈力和P端質(zhì)點(diǎn)m位移比值為

(11)

它與文獻(xiàn)[10]結(jié)果也有不同.

可化為

2.3 化解“佯謬”

因?yàn)閯?dòng)態(tài)下彈簧變形不均勻，其質(zhì)心加速度üC(t)既非ü(l,t)/2，也非ü(l/2,t).正確的做法是對(duì)ü(x,t)進(jìn)行積分平均得到質(zhì)心加速度，即

也就是

(12)

彈簧所受合外力為

(13)

式(12)和式(13)表明彈簧運(yùn)動(dòng)沒有違背質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.如果都能從第一原理出發(fā)并經(jīng)嚴(yán)密數(shù)學(xué)演繹，就不會(huì)出現(xiàn)文獻(xiàn)[12]的“佯謬”現(xiàn)象.

3 均勻拉伸模式

3.1 級(jí)數(shù)解

把彈簧準(zhǔn)靜態(tài)地均勻拉伸到一定長(zhǎng)度之后釋放，所形成的初條件為

對(duì)應(yīng)這個(gè)初條件的振動(dòng)并非簡(jiǎn)諧振動(dòng)[2,13]，從文獻(xiàn)[14]和[15]可以找到其級(jí)數(shù)解.這一問(wèn)題在數(shù)學(xué)上完全等同于彈性桿一端帶質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)問(wèn)題[16,17].上述文獻(xiàn)止步于位移的級(jí)數(shù)解，本文進(jìn)一步探究彈簧內(nèi)力特性.

采用本文的符號(hào)，各斷面的位移函數(shù)表示如下：

(16)

其中系數(shù)

(17)

將式(16)代入式(8)有

(18)

式中系數(shù)

(19)

從式(18)和式(19)可以看出彈簧的內(nèi)力與x關(guān)系復(fù)雜，遠(yuǎn)非“彈簧上各點(diǎn)張力變化呈線性變化”[18].

3.2 圖形展示

先看兩端Q和P處(見圖1)的力，即

圖2 釋放初始階段的力與位移

為了直觀感受力的復(fù)雜性，使用MATLAB工具對(duì)式(20)和(21)進(jìn)行了計(jì)算.兩式均為級(jí)數(shù)和，我們只能取有限項(xiàng)來(lái)近似.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，取10項(xiàng)即可.但為保險(xiǎn)起見，圖2中數(shù)據(jù)是取了前5000項(xiàng)之和.圖2(a)和2(b)分別給出了剛釋放不久左端FQ(t)和右端FP(t).質(zhì)量比選擇了βm=10(重彈簧),1和0.1(輕彈簧)3種情形.

振子的基頻(第一階頻率)與βm有關(guān).為了方便比較，圖2中橫坐標(biāo)用振子基頻所對(duì)應(yīng)的周期T1作了無(wú)量綱化處理，這樣使3條曲線按照基頻的周期對(duì)齊.

圖2(a)和2(b)直觀地揭示了:βm越大，彈簧兩端受力偏離簡(jiǎn)諧波越嚴(yán)重；隨時(shí)間增長(zhǎng)，不規(guī)則性也越明顯.βm=10的曲線看不出有什么周期，而且有明顯的過(guò)沖尖峰(彈簧左端面在過(guò)沖尖峰的瞬間受力可超過(guò)kA).在左端面,βm=10的曲線有明顯的緩變段，這是因?yàn)樘幱谟叶说馁|(zhì)點(diǎn)m釋放之后，波動(dòng)的作用需要一段時(shí)間后才能傳到左端，在波動(dòng)達(dá)到之前彈簧左端彈力保持不變.波動(dòng)達(dá)到左端墻面后反射，再向右傳.在沒有傳出之前，也同樣存在緩變段.但是緩變段的時(shí)長(zhǎng)因各階本征振動(dòng)不同步而變短.

總之,波傳播總是需要時(shí)間的，因此只要彈簧有質(zhì)量，彈簧左端力在一開始就有緩變期，只是βm越小，緩變期越短.

可以想象，隨時(shí)間增長(zhǎng)，力的不規(guī)則性肯定會(huì)增加.圖3是1000T1～1003T1時(shí)段的變化曲線.除了時(shí)段外，圖3條件與圖2完全相同.圖3的不規(guī)則性更加明顯.如果βm比較小，變化曲線還是接近正弦波的，就如同文獻(xiàn)[19]所報(bào)告的“位移、速度、加速度和力隨時(shí)間的變化曲線,……,它們與理想的正弦曲線是接近的”，因?yàn)樵撐淖畲蟮摩耺為105.10/(11.98+80)=1.1426(當(dāng)然實(shí)驗(yàn)測(cè)量電路一般都有低通濾波環(huán)節(jié)，它也會(huì)抑制高頻波動(dòng)).

為了體會(huì)介于Q和P之間內(nèi)力的復(fù)雜性，圖4用瀑布圖的方式顯示了沿軸線均勻分布的21個(gè)斷面上內(nèi)力隨時(shí)間變化曲線(βm=10).圖中x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)斷面的位置.圖4(a)中最前面(x=0)一條粗線就是圖2(a)中實(shí)線，而最后面(x=l)的粗線就是圖2(b)中的實(shí)線.從該圖可以體會(huì)內(nèi)力的復(fù)雜性.在波動(dòng)從P端向Q端傳遞過(guò)程中，圖2(a)所標(biāo)注的緩變段在Q點(diǎn)最長(zhǎng)，而越靠近P點(diǎn)越短，這是因?yàn)椴▌?dòng)來(lái)的越早.圖4(b)與圖3對(duì)應(yīng)，可看出隨時(shí)間增長(zhǎng)，內(nèi)力的不規(guī)則性非常明顯.

3.3 定性解釋

再回到圖2.與力相比，圖2(c)的質(zhì)點(diǎn)位移曲線較為規(guī)則，盡管它也是無(wú)窮多個(gè)本征振動(dòng)累加.數(shù)學(xué)上，圖2和圖3(c)通過(guò)數(shù)學(xué)式(8)與各自(a)和(b)聯(lián)系起來(lái).圖3(c)圖對(duì)整個(gè)彈簧變形的空間積分，而積分有平滑作用，即把頻率高(對(duì)應(yīng)高階本征振動(dòng))的波動(dòng)平滑掉，所以右端點(diǎn)的位移曲線較光滑.(a)和(b)兩圖反映內(nèi)力，與局部伸縮率成正比.而局部伸縮率是位移對(duì)空間的微分，會(huì)突出頻率高的成分.

圖3 釋放長(zhǎng)時(shí)間后的力與位移

圖4 內(nèi)力復(fù)雜性

圖5 非基頻本征函數(shù)的貢獻(xiàn)

為了對(duì)收斂速度有個(gè)直觀體會(huì)，圖5顯示了位移和力的前2～5階系數(shù)與基頻系數(shù)比值.當(dāng)質(zhì)量比βm相對(duì)較小時(shí)(βm=0.1)，無(wú)論是力，還是位移，非基頻的系數(shù)都比較小(圖5(a)和圖5(c)).圖5(b)和圖5(d)的βm比較大(βm=10，即質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量只有彈簧質(zhì)量的1/10)，此時(shí)位移第二階系數(shù)可達(dá)基頻的31%,力的第二階系數(shù)可達(dá)基頻的94%.顯然，若βm比較大，就必須考慮高階本征函數(shù)的貢獻(xiàn).

4 純彈簧情形

4.1 位移

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m=0，振子只剩下彈簧了.此時(shí)βm=m′/m→∞.從式(4)可解出

μi=iπ/2

(22)

代入式(18)有

(23)

利用三角函數(shù)的積化和差公式，也可以將式(23)表示成方向相反的行波疊加

u(x,t)=R(x+vt)+R(x-vt)

(24)

其中

(25)

可以驗(yàn)證R(x)是周期為4l的三角波，如圖6所示.

4.2 內(nèi)力

彈簧內(nèi)力為

F(x,t)=kl[R′(x+vt)+R′(x-vt)]

(26)

因?yàn)镽(x)是分段函數(shù)，我們也必須對(duì)F(x,t)作分段處理.F(x,t)是以4l/v為周期的周期函數(shù)，故只需研究一個(gè)基本周期內(nèi)的特性，因此時(shí)間限制為0≤t≤4l/v，而x的限制為0≤x≤l.在這兩個(gè)限制下，x-vt應(yīng)小于-4l而大于l.這個(gè)范圍有兩個(gè)分段點(diǎn)，即x-vt=-l,-3l，也就是t=(x+l)/v,(x+3l)/v.而對(duì)x+vt也有兩個(gè)分段點(diǎn)，t=(l-x)/v和t=(3l-x)/v.再把周期邊界的t=0和t=4l/v兩個(gè)點(diǎn)加上，于是在基本周期內(nèi)有6個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們把一個(gè)基本周期分成5段.相關(guān)信息匯總于表1.

表1 彈簧內(nèi)力

圖6 行波波形

圖7畫出了x=0,l/4,l/2和3l/4共4個(gè)斷面內(nèi)力在一個(gè)基本周期內(nèi)變化.x=0對(duì)應(yīng)彈簧的左端，該處的內(nèi)力不是拉，就是壓，而在其他斷面處彈簧存在不受力的狀態(tài)，這是因?yàn)樵谠摃r(shí)段此斷面無(wú)彈性波.此外各斷面內(nèi)力隨時(shí)間變化呈不連續(xù)的方波.

圖7 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為零情形的彈簧內(nèi)力

4.3 驗(yàn)證牛頓第二定律

質(zhì)心的加速度為

即

根據(jù)圖6,R′(x)為偶函數(shù)，所以第二項(xiàng)和第四項(xiàng)都等于-R′(vt).第三項(xiàng)為R′(l-vt)=R′(vt-l).再根據(jù)圖4可知R′(vt-l)=-R′(vt+l)，故而上式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)相抵消.最后有

üC(t)=-2v2l-1R′(vt)

與式(26)取x=0相比較，同樣可知質(zhì)心運(yùn)動(dòng)也沒有違背牛頓定律(注意加速度正方向指向右，而按內(nèi)力方向規(guī)則，彈簧左端的內(nèi)力向左，從而上式右端有負(fù)號(hào)).

5 結(jié)語(yǔ)

彈簧質(zhì)量振子是物理教學(xué)的經(jīng)典模型.該模型相關(guān)知識(shí)的挖掘和積累，對(duì)豐富課堂教學(xué)、促進(jìn)探究性學(xué)習(xí)仍具有現(xiàn)實(shí)意義.本文針對(duì)典型情形，就有質(zhì)量振子的彈簧內(nèi)力，進(jìn)行了詳細(xì)的探究.典型的情形包括本征振動(dòng)，彈簧均勻拉伸-釋放所建立的振動(dòng)等.

研究發(fā)現(xiàn)振子的內(nèi)力與相關(guān)文獻(xiàn)所聲稱的有差異，而彈簧均勻拉伸-釋放所建立的自由振動(dòng)也不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，尤其是內(nèi)力偏離簡(jiǎn)諧更明顯.彈簧質(zhì)量越大，內(nèi)力偏離簡(jiǎn)諧波越嚴(yán)重.用MATLAB工具以圖形展示了這種不規(guī)則性.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量零時(shí)，內(nèi)力變成時(shí)間的周期性方波函數(shù).

[1] 丁履成,司明揚(yáng).有質(zhì)量的彈簧的振動(dòng)問(wèn)題[J].大學(xué)物理,1985,4(9):15-18.

[2] 劉大鵬,關(guān)榮華.彈簧質(zhì)量對(duì)彈簧諧振子圓頻率的影響[J].大學(xué)物理,1995,14(10):22-24.

[3] 于鳳軍,王春明.彈簧系統(tǒng)振動(dòng)周期的近似公式[J].大學(xué)物理,2012,31(3):13-15.

[4] 沈鐘偉,張峰.彈簧質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響[J].大學(xué)物理,2013,32 (3):44-45.

[5] 王鋒, 唐國(guó)金.考慮彈簧質(zhì)量的振子精確解[J].物理與工程,2003,13(2):28-30.

[6] 何連超.有質(zhì)量彈簧的振動(dòng)周期探討[J].物理與工程,2011,21(5):1-2.

[7] 任保文.彈簧的振動(dòng)[J].物理與工程,2014,24(1):19-21.

[8] 陳奎孚,賈貴儒,黃峰.對(duì)有質(zhì)量彈簧的振子基頻作近似的若干算法之比較[J].大學(xué)物理,2014,33(8):18-20.

[9] 朱洪玉.關(guān)于質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)在重力作用下的靜平衡與振動(dòng)[J].大學(xué)物理,2009,28(1):1-10.

[10] 柯紅衛(wèi),劉坦,趙耀.有質(zhì)量彈簧的振動(dòng)與彈性力[J].大學(xué)物理,2013,32(5):17-18.

[11] 陳奎孚.機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)[M].北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,2011:312-318.

[12] 田蓬勃,趙強(qiáng).彈簧振子佯謬[J].物理與工程,2002,12(1):12-13.

[13] 黃兆梁.對(duì)有質(zhì)量彈簧的振子系統(tǒng)振動(dòng)周期的探討[J].大學(xué)物理,2011, 30(5):32-34.

[14] 徐世良.數(shù)學(xué)物理方法解題分析[M].南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,1983:519-527.

[15] 陳奎孚,付志一,高陽(yáng).彈簧質(zhì)量不能忽略的振系之自由振動(dòng)[C].北京力學(xué)會(huì).第20屆學(xué)術(shù)年會(huì)論文集, 北京,2014：640-644.

[16] 林瓊桂.與質(zhì)點(diǎn)連結(jié)的彈性桿的振動(dòng)[J].大學(xué)物理,2004,23(3):18-20.

[17] 徐建軍,胡嗣柱.用Laplace變換法求解端點(diǎn)系有集中質(zhì)量的彈性桿的振動(dòng)問(wèn)題[J].大學(xué)物理,2004,23(12):12-17.

[18] 于秀安.計(jì)算有質(zhì)量彈簧的形變量[J].技術(shù)物理教學(xué),2013,21(2):85-86.

[19] 褚幼令,陳乃東,王摯平.彈簧振子振動(dòng)特性的計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)測(cè)量[J].大學(xué)物理,1998,17(5):32-34.

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THE SPRING’S INTERNAL FORCE OF THE VIBRATOR WITH A MASSIVE SPRING

Chen Kuifu1Huang Feng1Jiang Xiao2Zhao Jianzhu3

(1College of Science, China Agricultural University, Beijing 100083;2Schools of Mechanical & Electrical Engineering, Beijng Vocational College of Agriculture, Beijing 102208;3College of Engineering, China Agricultural University, Beijing, 100083)

The spring’s internal force of a vibrator with a light spring is trivially a constant, while the case with a massive spring is much sophisticated. This problem was investigated in detail, and was visualized by the mathematical tool Matlab. This study shows, firstly, that the spring’s internal force varies along the spring’s length for a massive spring case. Secondly, the vibration established by uniformly stretching and releasing the spring is not a simple harmonic motion; as a result, the spring’s internal force deviates from the simple harmonic pattern. Thirdly, the deviation is more and more significant as the spring mass increases. Finally, the internal force lends itself to be a square wave when the lumped mass is null.

mass-spring vibrator; wave motion; partial differential equations; internal force

2015-06-03；

2016-02-28

2015年度北京高等學(xué)校教育教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目(編號(hào)：2015-ms049;名稱：以工程教育認(rèn)證為導(dǎo)向的車輛工程專業(yè)實(shí)踐教學(xué)改革研究與實(shí)踐).

陳奎孚,男，教授.從事力學(xué)和振動(dòng)的教學(xué)與研究.chenkuifu@cau.edu.cn

趙建柱，男，副教授.主要研究方向?yàn)檐囕v動(dòng)力學(xué).zhjzh@cau.edu.cn

陳奎孚,黃峰,蔣曉,等. 有質(zhì)量彈簧振子的彈簧內(nèi)力[J]. 物理與工程，2016，26(5)：6-11，15.