繞月衛(wèi)星軟著陸最優(yōu)軌道控制策略分析

崔曉琛 吳天一 張曉偉 周曰波

(鎮(zhèn)江船艇學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

繞月衛(wèi)星軟著陸最優(yōu)軌道控制策略分析

崔曉琛 吳天一 張曉偉 周曰波

(鎮(zhèn)江船艇學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

對于繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道問題，運用天體運動規(guī)律構建了物理模型，并利用最優(yōu)化原理，把軟著陸軌道控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題，通過正確控制狀態(tài)改變點來擬定最優(yōu)控制策略.文章以嫦娥三號衛(wèi)星為例，參考相關實際數據，給定相應初始條件，結合Matlab的計算結果，給出了多個相關參數隨時間的變化曲線，在此基礎上詳細分析了衛(wèi)星軟著陸過程中的6個分階段，定性討論了在此過程中可能影響著陸精度的多種誤差因素，并且通過敏感性分析給出了提升安全著落概率的方法.

軟著陸；約束非線性規(guī)劃；最優(yōu)控制

自從人類掌握了航天技術之后，探測地外天體的首選目標就是月球，進入21世紀以來，中國的航天科技人員們提出了以發(fā)射繞月衛(wèi)星為切入點的探月工程計劃.繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道及其控制策略關乎探月工程的成敗，成為當前航天科技最為關心的話題之一.相關資料表明，由于月球上沒有大氣，故繞月衛(wèi)星軟著陸過程中主要是依靠自身攜帶的變推力發(fā)動機來改變其運行軌道，但并沒有充分考慮合適的狀態(tài)改變點.本文將繞月衛(wèi)星的軟著陸軌道控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題，通過正確控制狀態(tài)改變點，使得軟著陸軌道達到最優(yōu).接著以嫦娥三號衛(wèi)星為例，給出相關參數隨時間的變化關系，分析軟著陸過程中的6個階段，討論可能影響著陸精度的誤差，給出提升安全著落概率的方法.

1 構建模型 擬定策略

如圖1所示，繞月衛(wèi)星經過地月轉移軌道，在近月軌道作圓周運動，在變推力發(fā)動機的推進下，使其進入橢圓軌道，當降至近月點時開始軟著陸.

圖1 繞月衛(wèi)星運行軌跡示意圖

考慮到降落時間較短，忽略月球自轉、月球引力、日月引力攝動等因素的影響，可利用二體模型描述系統(tǒng)的運動，建立如圖2所示的月球軟著陸極坐標[1].假設著陸軌道在縱向平面內，令月心O為坐標原點，Oy軸由月心指向近月點，Ox軸指向著陸器的運動方向，其中r為著陸器的月心距；v為著陸器在矢徑r方向上的速率，則有

(1)

圖2 月球軟著陸極坐標模型

其中，θ為著陸器環(huán)繞月球表面的航程角，即矢徑r與Oy軸之間的夾角；ω為著陸器繞月心的角速度，則有

(2)

設F為制動推力器的推力，0

(3)

整理可得著陸器的質心方程組為

(6)

尋找最優(yōu)控制，即使性能指標——燃料消耗量

(7)

取最小值，且滿足軟著陸條件

(8)

其中，t0為軟著陸的初始時刻，且定義t0=0時刻的狀態(tài)參數即為橢圓軌道的近月點狀態(tài)參數；tf為著陸時刻，且tf未知；RM為月球半徑.根據Pontryagin最大值原理[2]，為了使問題簡化，假設制動發(fā)動機一直以最大推力工作，即F(t)=Fmax.

(9)

(10)

其中,

(11)

為得到各狀態(tài)量隨時間的變化，需增加微分方程

(12)

式(10)和(12)組成新的狀態(tài)方程組，因實際計算時式(10)中的第4個方程可省略，故新的狀態(tài)方程組個數不變.

目標函數變?yōu)?/p>

(13)

約束條件變?yōu)?/p>

(14)

(15)

采取廣義乘子法解決此有約束非線性規(guī)劃問題.

定義增廣拉格朗日函數

(16)

式中，λ=[λ1,λ2,…,λi]T，g(ω′)=[g1(ω′),g2(ω′),…,gi(ω′)]T.

(1) 假設初始點ω′(0)，乘子向量初始估計λ(1)，初始罰因子σ，允許誤差ε>0，參數α>1，β∈(0,1)，置k=1.

(2) 以ω′(k-1)為初始點，利用擬牛頓法求解無約束最優(yōu)化問題minφ(ω′,λ,σ)，得到解ω′(k).

(17)

式中,p(k)=ω′(k+1)-ω′(k);q(k)=gk+1(ω′)-gk(ω′)，gk+1(ω′)=m(ω′(k+1));可以通過有限差分得出，ω′(k)和ω′(k+1)為兩個迭代點.

(3) 若‖g(ω′(k))‖<ε，停止計算，得到點ω′(k)；否則，繼續(xù)下一步.

(5) 采用下式修正乘子

置k=k+1，轉步驟(2)[4].

2 嫦娥三號數據分析

以嫦娥三號衛(wèi)星為例，取初始條件為：r0=1753km，v0=0，θ0=0，t0=0，ω′(0)=-9.65×10-4rad/s[5]，m0=2.4t；月球引力常數μ=4902.75km3/s2，月球半徑RM=1738km[5]；變推力發(fā)動機推力取最大值F=7500N，比沖Isp=2940m/s；控制量初值ψi=0(i=0,1,2,…,N)，乘子向量初始估計λ(1)=[10,10]T，初始罰因子σ=20，允許誤差ε=0.1，參數α=2，β=0.5.

利用Matlab進行計算，得到最優(yōu)結果為：終端速度vf=0.05m/s，終端月心距rf=1738.013m，燃料消耗量J=1491.43kg.軟著陸過程中相關參數隨時間的變化曲線如圖3～6所示[6].

圖3 著陸器高度隨時間的變化曲線

圖4 著陸器制動推力方向角隨時間的變化曲線

圖5 著陸器徑向速度隨時間的變化曲線

圖6 著陸器角速度隨時間的變化曲線

結合上述計算結果，軟著陸過程可分為以下6個階段：

(1) 著陸準備軌道：著陸準備軌道的近月點是15km，遠月點是100km.近月點位置和軟著陸軌道共同決定了著陸點的位置.嫦娥三號在著陸準備軌道上繞月球運動幾圈穩(wěn)定后選擇近月點準備著陸.

(2) 主減速段：主減速段為距離月面15km降到3km.嫦娥三號沿拋物線變減速運動至3km處，速度降為57m/s.

(3) 快速調整段：快速調整段為距離月面3km降至2.4km，且水平速度降為零.此階段由于距離較短，角度不大，可看作直線運動.

(4) 粗避障段：粗避障段為距離月面2.4km到100m的區(qū)間，其主要任務是要避開大的隕石坑，實現在設計著陸點上方100m處懸停，并初步確定落月地點.此階段為變速運動，且保證懸停時嫦娥三號的重力與推力相等.

(5) 精避障段：精避障段為距離月面100m到30m.要求嫦娥三號在距離月面100m的懸停處，對著陸點附近區(qū)域100m范圍內拍攝圖像，獲得三維數字高程圖.通過分析三維數字高程圖，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點，實現在著陸點上方30m處水平方向速度為零，在此過程中其下落速度應盡量緩慢.

(6) 緩速下降階段：緩速下降階段的區(qū)間為距離月面30m到4m.該階段的主要任務是控制著陸器在距離月面4m處的速度為零，即實現在距離月面4m處相對于月面靜止，之后關閉發(fā)動機，使嫦娥三號自由落體到精確落月點.

3 誤差分析

1) 比沖的變化

若比沖的變化量為ΔIsp，因假定整個過程推力不變，由推力F=m′·(Isp+ΔIsp)可知，當ΔIsp>0時，其所消耗的燃料減少，那么最優(yōu)控制策略不會發(fā)生改變；而當ΔIsp<0時，其所消耗的燃料就會增加，這時最優(yōu)控制策略必然要發(fā)生改變，通過減少燃料的消耗以達到在規(guī)定時間內消耗的燃料最少，新的軟著陸軌道控制策略必然會與原來的有所不同.而要維持比沖的數值不變，就需要對燃料的性質進行研究.

2) 探月器所受推力不通過質心

若探月器所受推力不通過質心，推力相對于質心的力矩會導致探月器發(fā)生偏轉，此時推力也會在實際效用上有所降低.為了保證探月器著落在原來規(guī)定的落地點，就必須調整變推力發(fā)動機，克服探月器的偏轉，即通過增加燃料耗能來滿足實際需要，這時所消耗的燃料必然會發(fā)生改變，那么最優(yōu)化控制策略就會發(fā)生改變.而要保證探月器所受推力始終通過質心，就需要對變推力發(fā)動機的推進方法進行研究.

3) 萬有引力在水平方向上有分力

在主減速階段，萬有引力的水平分力會使得推力在水平方向上的分力發(fā)生變化，而推力在豎直方向上的分力并沒有發(fā)生變化，所以推力的方向角就會變化，從而導致探月器運行軌跡的變化.在其他階段，萬有引力的水平分力會導致探月器在水平方向上發(fā)生位移，從而引起運行軌跡的變化.而要使得探月器的運行軌跡能夠回到原來的軌道上來，就需要對變推力發(fā)動機的推進方法進行研究.

4 安全著陸概率敏感性分析

提高探測器軟著陸的成功概率，還需進行敏感性分析.首先保證探測器尺寸不變，擴大著陸區(qū)域范圍，計算相應的安全著陸概率，繪制安全著陸概率隨著陸區(qū)域邊長變化曲線，如圖7所示；同時，保證著陸區(qū)域不變，擴大探測器尺寸，計算相應的安全著陸概率，繪制安全著陸概率隨探測器尺寸變化曲線，如圖8所示.

對比圖7和圖8的變化曲線可知，著陸區(qū)域面積大小對安全著陸概率的影響較小，探測器尺寸對安全著陸概率的影響較大.因此，為了提高行

圖7 安全著陸概率隨著陸區(qū)域邊長的變化曲線

圖8 安全著陸概率隨探測器尺寸的變化曲線

星探測的成功率和生存率，在不影響科學考察的前提下，探測器的設計應盡可能地小型化.

5 結語

由以上分析可知，繞月衛(wèi)星軟著陸過程中，著陸器的高度、制動推力方向角、徑向速率和角速度都是可以人為控制的，在著陸器到達合適狀態(tài)點即最佳變換時機時改變其運動狀態(tài)，就可以使軟著陸軌跡達到最優(yōu).在此過程中，還需考慮比沖變化、推力不通過質心、萬有引力水平分力等因素造成的誤差，可通過研究燃料性質和改善變推力發(fā)動機的推進方法來減小誤差.由敏感性分析得知，探測器的小型化也有助于提升安全著落的概率.

備注： 此文獲第二屆“八一杯”軍隊院校大學生物理科技創(chuàng)新競賽論文類二等獎.

[1] 王大軼，李鐵壽，馬興瑞.月球最優(yōu)軟著陸兩點邊值問題的數值解法[J].空間控制技術與應用，2000，18(3):44-55.

[2] 史秀波，李澤民.用非線性方程組求解等式約束非線性規(guī)劃問題的降維算法[J].經濟數學，2007，24(2):208-212.

[3] 周凈揚，周荻.月球探測器軟著陸精確建模及最優(yōu)軌道設計[J].宇航學報，2007，28(6)：1462,1466.

[4] 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學出版社，2000.

[5] 朱建豐，徐世杰. 基于自適應模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優(yōu)化[J].航空學報,2007(28):806-812.

[6] 趙吉松，谷良賢.基于廣義乘子法的月球軟著陸軌道快速優(yōu)化般計[J].科技導報,2008，26(20):50-54.

■

STRATEGY ANALYSIS OF THE OPTIMAL TRAJECTORY CONTROL IN LUNAR SOFT LANDING

Cui Xiaochen Wu Tianyi Zhang Xiaowei Zhou Yuebo

(Zhenjiang Watercraft College, Zhenjiang, Jiangsu 212003)

To deal with the soft landing orbit of sircumlunar satelite, the model is built under the motion of celestial bodies. Under the principle of optimality, the problem of soft landing trajectory control is changed into the problem of nonlinear programming. The best control strategy is made through the correct control of state variations. Taking Chang’e-3 for example, reading related real datas for reference, giving initial conditions, the changing curves of the relevent parameters as the time goes by are given out, and the 6 phases of soft landing are detailedly analysed, the errrors that may affect the landing accuracy are qualitatively discussed. After the sensitivity analysis, the method has been demonstrated to increase the probability of safety landing.

lunar soft landing; constrained nonlinear optimal; optimal control

2015-11-04；

2016-02-26

崔曉琛，張曉偉，周曰波，男，2012級本科生.

吳天一，女，講師，主要從事物理教學科研工作，研究方向為非線性動力學.wutianyiwty@126.com

崔曉琛，吳天一，張曉偉，等. 繞月衛(wèi)星軟著陸最優(yōu)軌道控制策略分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：89-92，96.