改編高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的探索實踐

付曉明

(北京市通州區(qū)永樂店中學(xué)，北京 101105)

改編高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的探索實踐

付曉明

(北京市通州區(qū)永樂店中學(xué)，北京 101105)

新課程改革力求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，在教學(xué)中要讓學(xué)生認(rèn)識到我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)是有價值的.應(yīng)用問題承載著讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的使命，因此教師必須加以重視.本文通過對教材中一道例題的分析，做出思考和實踐，總結(jié)出從實際問題抽象出數(shù)學(xué)知識的必要性和在此過程中的主要問題，得出選擇和編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的原則，并列舉了選擇和自編數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教育實踐實例及反思.

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 抽象程度 實踐

案例：(人教A版高中《數(shù)學(xué)必修5》第97～98頁第3.3.2節(jié)例題)某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1 h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2 h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

課本中給出的解答如下：

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x，y件，由已知條件可得二元一次不等式組

(其余部分省略，詳見教科書)

這是為了說明什么是線性規(guī)劃問題而舉的一個例子，為了使例子典型，教科書將實際問題做了抽象，但這個抽象做得并不成功.根據(jù)題目的敘述很難得出不等式組(1)，主要有兩個原因：(1)題目中并沒有“該工廠只能同時加工一種產(chǎn)品”的敘述，因而“x+2y≤8”這個不等式的得出沒有依據(jù)；(2)題目希望x、y是整數(shù)，但在實際生產(chǎn)中完全可以一天生產(chǎn)不完第二天接著生產(chǎn).例如可行解中的(2，2)，即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各2件，共用時2+2×2=6小時，余下的2小時只能不工作，這很不符合實際.在教學(xué)過程中也有很多學(xué)生提出“為什么是小于等于8而不是等于8”這樣的疑問.

其實類似的問題在平時很多應(yīng)用問題中都存在著，這種問題主要是由從實際問題中抽象不到位造成的.題目編制的好壞直接影響著教師應(yīng)用問題的教學(xué)效果以及學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的理解程度，不可小覷.

一、應(yīng)用問題的重要作用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》在課程基本理念中提到：“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力.”[1]可見，我們在教學(xué)過程中要讓學(xué)生真正體會到：數(shù)學(xué)離我們的生活很近，能夠幫助我們解決身邊的實際問題，是有價值的數(shù)學(xué).只要教師有所重視，并在教學(xué)中不斷滲透，學(xué)生就會不斷提高應(yīng)用意識.

而要想讓學(xué)生實現(xiàn)自主探究、動手實踐、解決實際問題，并不是一蹴而就的，要在前期做大量的鋪墊和準(zhǔn)備.通過教育實踐，筆者總結(jié)出發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，大概要經(jīng)歷這樣幾個層次：(1)通過解決給出的實際應(yīng)用問題，初步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；(2)積累數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力；(3)從生活中提出問題，建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題.不同的學(xué)生由于能力的不同，思維方式的差異，能達(dá)到的水平會有所不同，難度可以區(qū)分，但是過程必須經(jīng)歷.

在第一個層次中，應(yīng)用問題承載著讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的使命，也是學(xué)生最容易接受的形式，我們必須重視這個環(huán)節(jié)，多思考，選擇或編制能夠反映數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的應(yīng)用問題.

二、從實際問題抽象出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的必要性

要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，必須循序漸進(jìn)，如果直接讓學(xué)生從生活中提出問題，建立數(shù)學(xué)模型，再來解決實際問題是不現(xiàn)實的，所以就需要給學(xué)生一些題目先讓他們有所體會.題目從哪里來呢？實際問題往往比較復(fù)雜，變量較多，不能直接使用，這就需要做一些提煉才能滿足我們希望運用的數(shù)學(xué)模型.這個過程需要很強的嚴(yán)謹(jǐn)性，稍有疏忽就會出現(xiàn)問題，達(dá)不到我們預(yù)想的效果.

從實際問題抽象出數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的過程，如果抽象得不夠，就會使學(xué)生無從下手，本文所舉的案例就屬于這種情況.通常，我們將條件加強就可以使問題明確而便于解答.但同時另一個問題又出現(xiàn)了，附加了很多條件，使得問題的應(yīng)用性變淡，編制的痕跡過重，題目不符合實際，甚至脫離實際.我們在教學(xué)中常常關(guān)注怎樣教會學(xué)生，卻忽視了應(yīng)該先對教學(xué)做深入思考，才能達(dá)到我們所期望的目標(biāo).

三、選擇和編制數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的原則

培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，要從提高數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)入手，最該解決的是對題目的選擇和編制，讓題目盡量貼近生活，符合實際，得出的結(jié)果對實際有應(yīng)用和指導(dǎo)意義.讓學(xué)生通過解這樣的應(yīng)用問題，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了解決實際問題.要實現(xiàn)這個目標(biāo)，教師需要多思考，從生活中積累好的素材，做適當(dāng)?shù)某橄螅蔀榍‘?dāng)?shù)臄?shù)學(xué)應(yīng)用問題.其實教科書在數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的滲透上已經(jīng)下了一番功夫了，幾乎每一章的最后一節(jié)都安排了應(yīng)用問題，絕大多數(shù)題目都很好，只是個別需要進(jìn)一步推敲，這也給一線教師提出了研究的課題.筆者正是從對大量題目的思考中，加深了問題的理解，并做出了一些實踐.

四、選擇和自編數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的探索實踐

1.編制應(yīng)用問題需要留心生活中的問題

例1：某市移動公司開設(shè)了兩種通信業(yè)務(wù)：全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費，然后每分鐘通話費用0.4元，神州行不繳基礎(chǔ)費，每分鐘通話費用0.6元，若一個月通話x分鐘，兩種通信業(yè)務(wù)費用分別為y1，y2；

(1)寫出y1，y2與x的關(guān)系；

(2)在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖像；

(3)該選擇哪種通信業(yè)務(wù)更劃算，為什么？

這個例子是以一次函數(shù)為模型的，完全來源于實際生活，幾乎沒有什么提煉，學(xué)生比較容易接受，圖像也很直觀，學(xué)生很好理解，基本沒有障礙.

2.編制應(yīng)用問題需要對實際問題進(jìn)行抽象

并不是每個題目都這么簡單，絕大多數(shù)是需要進(jìn)行抽象的，但抽象要適度，最好有一定的開放性，這樣才更符合實際情況，也給學(xué)生思考的空間.

例2：某服裝批發(fā)商批發(fā)時尚仔褲，每條仔褲的成本價為40元，批發(fā)價60元，為了促銷，若批發(fā)數(shù)量超過100條時，每多批發(fā)1條，批發(fā)的全部商品的單價就降低0.02元(據(jù)調(diào)查，他每天批發(fā)的貨物的最大數(shù)量不多于500條)，設(shè)批發(fā)條數(shù)為x條，問題：

(1)設(shè)單價為P，求P關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)利潤為Q, 求Q關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)畫出(2)中函數(shù)圖像并求利潤的最大值.

這個例子是有關(guān)利潤的問題，在解決了以上問題之后，可繼續(xù)追問：題目中規(guī)定了一個情境，就是批發(fā)商批發(fā)貨物的最大數(shù)量不多于500條，請思考這個500條制定得是否合理？學(xué)生進(jìn)行討論，認(rèn)為合理是對于批發(fā)商而言的，也就是批發(fā)商所得利潤的最大化，其實這個值應(yīng)是550條，只要不高于這個值，利潤都在增加，因此制定是合理的.接著再提問：如果批發(fā)商擴大經(jīng)營，每天批發(fā)的貨物多于550條，應(yīng)該如何制訂經(jīng)營策略.學(xué)生繼續(xù)展開熱烈討論.

給學(xué)生一定的時間去討論和分析，他們都可以得出結(jié)果，并且通過自我探索的過程，學(xué)生從中得到的收獲更深刻，也更愿意去分析問題、解決問題，同時還要懂得把課堂放手給學(xué)生.現(xiàn)在教科書的每一章內(nèi)容幾乎都設(shè)有專門的應(yīng)用部分，仔細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)，這部分知識并不是突然出現(xiàn)的，從引入開始就有意識地向?qū)W生滲透應(yīng)用的思想，它是貫穿教學(xué)始終的隱形線索.如果我們在每一節(jié)的教學(xué)過程中都有意去滲透，那么最后講應(yīng)用問題的時候?qū)W生就不會感覺突兀，更不會覺得是在耽誤時間了.

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的初始階段，接下來還要在這個基礎(chǔ)上進(jìn)行深入引導(dǎo)和開展教學(xué)，我們要將數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識貫穿在教學(xué)始終，指引我們開展教學(xué)活動，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，這也是新課程賦予數(shù)學(xué)教師的任務(wù)和使命.希望通過教師的不懈努力讓每個學(xué)生都有所突破和收獲，快樂地學(xué)習(xí)有價值的數(shù)學(xué).

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[S].北京：人民教育出版社, 2003.

(責(zé)任編輯：李 珺)