正、余弦定理的巧妙應(yīng)用

韓永權(quán)

(山西大學(xué)附屬中學(xué)，太原 030006)

正、余弦定理的巧妙應(yīng)用

韓永權(quán)

(山西大學(xué)附屬中學(xué)，太原 030006)

正、余弦定理揭示了一般三角形中重要的邊角關(guān)系，它們是解三角形的兩個(gè)重要定理，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是全國各地高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)必考知識點(diǎn)．在高考中，解答題、選擇題、填空題都考過.?？碱}型有：(1)根據(jù)已知條件求三角形的邊或角；(2)三角形面積公式的合理選擇；(3)求三角形邊、角、周長、面積的取值范圍.解決此類問題的關(guān)鍵是正、余弦定理的靈活運(yùn)用以及對已知條件的合理轉(zhuǎn)化.

正、余弦定理 三角形 應(yīng)用

題型一 根據(jù)已知條件求三角形的邊或角

如果題目中已知條件是邊、角的混合表達(dá)式，通常解題的方法是實(shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，把邊化角或把角化邊，以實(shí)現(xiàn)邊、角的互化.

巧妙應(yīng)用1 邊、角互化

例1 (2016課標(biāo)Ⅰ理)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C；

【點(diǎn)評】利用正、余弦定理解三角形，主要是實(shí)現(xiàn)邊、角的形式統(tǒng)一，把已知條件全部轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系或全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系.這樣可以實(shí)現(xiàn)表達(dá)式的統(tǒng)一，便于厘清已知條件.本題的實(shí)質(zhì)是射影定理c=acosB+bcosA.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多思考、多總結(jié)、多積累，只有這樣，在遇到不同情境下的問題時(shí)，才能做出正確的選擇.

巧妙應(yīng)用2 三角恒等變換

例2 (2016浙江文)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b+c=2acosB．

(1)證明：A=2B；

解：(1)由正弦定理得，sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin (A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是，sinB=sin (A-B)，又A,B∈(0,π),故0

所以B=π-(A-B)或B=A-B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以A=2B.

題型二 三角形面積公式的合理選擇

三角形的面積公式形式較多，根據(jù)已知條件合理選擇面積公式，是溝通已知和未知的關(guān)鍵.如下題中，由三角形面積的取值范圍，選取相應(yīng)的三角形面積公式，得出abc的取值范圍，進(jìn)而判斷四個(gè)選項(xiàng)的正確性.

巧妙應(yīng)用 選取合適的面積公式

C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24

因?yàn)?≤S≤2，所以1≤S3≤8.

【點(diǎn)評】本題中如何合理選擇三角形面積公式，是問題解決能力的體現(xiàn)，是溝通已知和未知的橋梁,也是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn).三角形的面積公式有下列一些形式：

(4)S=2R2sinAsinBsinC(R為外接圓半徑)；

題型三 求三角形中幾何元素的取值范圍

從高考常見題型出發(fā)，從求邊、求角、求三角形周長、求面積，即求三角形中幾何元素的取值范圍進(jìn)行分類講解，剖析巧妙應(yīng)用的方法.解題時(shí)主要把三角函數(shù)名稱、角度統(tǒng)一化歸，其本質(zhì)還是三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用.

巧妙應(yīng)用1 求三角形邊長的取值范圍

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=1，求b的取值范圍．

(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.

【點(diǎn)評】根據(jù)余弦定理可以得出關(guān)于b的表達(dá)式,再利用基本不等式求出b的取值范圍，這是很常規(guī)的方法.

巧妙應(yīng)用2 求三角形角的取值范圍

例5 (2012安徽理)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c，則下列命題正確的是______.(寫出所有正確命題的序號)

綜上可知，①②③正確．

【點(diǎn)評】本題利用函數(shù)觀點(diǎn)，根據(jù)cosC的表達(dá)式，利用基本不等式進(jìn)行放縮，求出角C的取值范圍，是一種常規(guī)思路.具體步驟是根據(jù)已知條件，建立目標(biāo)函數(shù)，求出函數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定角的范圍.

巧妙應(yīng)用3 求三角形面積的取值范圍

例6 (2014課標(biāo)Ⅰ理) 已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為________.

解：a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)·sinC，

所以(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，(a+b)(a-b)=(c-b)c，b2+c2-a2=bc．

【點(diǎn)評】一般化和特殊化是數(shù)學(xué)解題中重要的思維方法，本題中要把2換成a,公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)呈現(xiàn)出來，解題的思路也就清晰了.

巧妙應(yīng)用4 求三角形周長的取值范圍

(1)求A的大??；

(2)若a=7，求△ABC的周長的取值范圍．

解：(1)由正弦定理得，

(2)方法一:由題意，b>0,c>0，b+c>a=7.

【點(diǎn)評】本題的特點(diǎn)是已知三角形的一邊和其對角，求三角形周長的取值范圍.其實(shí)質(zhì)是求三角形另外兩條邊的取值范圍.一般有兩種方法，一種是根據(jù)余弦定理，得出其余兩邊的關(guān)系式，即一個(gè)二元二次方程，再利用基本不等式得出其余兩邊的取值范圍.另一種是根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，利用輔助角公式求出三角形其余兩邊的取值范圍.

正、余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要定理.根據(jù)題目條件，如果已知兩邊和其中一邊的對角，通常用正弦定理；如果已知兩邊和夾角，通常用余弦定理.如果已知條件是邊角混合表達(dá)式，通常把表達(dá)式中的邊全部轉(zhuǎn)化成角，或把角全部轉(zhuǎn)化成邊.三角形中幾何元素的取值范圍的問題通常用正弦定理結(jié)合輔助角公式或余弦定理結(jié)合基本不等式解決.正、余弦定理的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)在問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化上，不僅要求學(xué)生熟悉三角公式，而且對運(yùn)算能力也有較高的要求.不但要會(huì)正用正、余弦定理，還要會(huì)逆用和變形使用定理.本文從題型、解題方法上對正、余弦定理的靈活運(yùn)用進(jìn)行了歸類總結(jié)，有助于學(xué)生從正、余弦定理的巧妙應(yīng)用上升到解題模式的合理選擇.

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5(A版)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]劉亞平.課例：“余弦定理”的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2013(7):5-7.

[3]章立豐.課例 ：“解三角形應(yīng)用舉例”(第一課時(shí))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2015(3):23-25.

[4]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社,1996.

(責(zé)任編輯：李 佳)