MDO中學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解關(guān)系探討

銀光球，劉斌彬，凌靜秀

(福建工程學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350118)

MDO中學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解關(guān)系探討

銀光球，劉斌彬，凌靜秀

(福建工程學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350118)

在研究復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)規(guī)劃分解、整體優(yōu)化的基礎(chǔ)上，提出了MDO中學(xué)科的數(shù)學(xué)描述方法；根據(jù)學(xué)科優(yōu)化模型和系統(tǒng)整體優(yōu)化模型，結(jié)合庫恩—塔克極值理論，提出并證明了MDO中學(xué)科最優(yōu)解直接組合成為系統(tǒng)整體最優(yōu)解的3個條件，豐富了復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的優(yōu)化理論，分析了現(xiàn)實中系統(tǒng)整體最優(yōu)解很難由學(xué)科最優(yōu)解直接組合而得到的原因，得到了整體優(yōu)化與學(xué)科優(yōu)化的辯證關(guān)系，有助于尋找復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體優(yōu)解。

學(xué)科優(yōu)解； 整體優(yōu)解； MDO； 學(xué)科

復(fù)雜產(chǎn)品多數(shù)組成復(fù)雜、技術(shù)構(gòu)成復(fù)雜、設(shè)計過程涵蓋多個學(xué)科，而且學(xué)科間耦合度高，產(chǎn)品設(shè)計優(yōu)化不易實現(xiàn)，比如航天器[1]、艦船[2]、工程機(jī)械[3-4]等，它是一個集多種學(xué)科知識于一體的綜合體。產(chǎn)品的學(xué)科知識只是產(chǎn)品系統(tǒng)的某一方面或部分，代表產(chǎn)品整體的某一功能、行為或結(jié)構(gòu)。每一學(xué)科都需要專門的領(lǐng)域?qū)＜疫M(jìn)行各自的設(shè)計、仿真和優(yōu)化等活動，但是學(xué)科最優(yōu)并不代表復(fù)雜產(chǎn)品整體最優(yōu)。對于復(fù)雜產(chǎn)品而言，往往需要的是產(chǎn)品整體最優(yōu)化，但是直接進(jìn)行整體設(shè)計優(yōu)化，又會因“維數(shù)災(zāi)難”而難以求解。這就需要采用“分而治之”的思想，將復(fù)雜產(chǎn)品分解成多個從不同角度影響產(chǎn)品整體性能的多個學(xué)科(子系統(tǒng))，分別進(jìn)行優(yōu)化，得到各個學(xué)科的最優(yōu)解，然后運(yùn)用優(yōu)化策略，求得復(fù)雜系統(tǒng)的整體最優(yōu)解或滿意解。要解決這些問題就必須探討學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解的關(guān)系。

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化(multidisciplinary design optimization，簡稱MDO)是近20年來工程設(shè)計領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題, 被認(rèn)為是一種較有前途的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計優(yōu)化理論。目前, 國內(nèi)外學(xué)者對 MDO已展開了大量研究，主要集中在尋優(yōu)策略[5-6]、學(xué)科建模與規(guī)劃[7-8]和優(yōu)化方法[9-10]等方面, 鮮有文獻(xiàn)對學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解關(guān)系進(jìn)行探討和研究，本文擬從優(yōu)化理論的角度探討復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解的辯證關(guān)系，對復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計具有指導(dǎo)意義。

1 復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品系統(tǒng)的規(guī)劃分解

復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品的整體設(shè)計優(yōu)化因其復(fù)雜性而難以得到系統(tǒng)的整體優(yōu)化模型，即使獲得了系統(tǒng)的整體優(yōu)化模型，又會因“維數(shù)災(zāi)難”而難以求解。因此，為了獲得復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品系統(tǒng)的整體優(yōu)解，必須將復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)進(jìn)行規(guī)劃分解，分解成從不同角度影響系統(tǒng)整體性能的多個學(xué)科(子系統(tǒng))，而且每個學(xué)科必須具有自治性。

在MDO中，學(xué)科是指系統(tǒng)中本身相對獨(dú)立、相互之間又有數(shù)據(jù)交換關(guān)系的基本模塊。學(xué)科可以圖1的形式表示，圖中x為系統(tǒng)變量，也稱全局變量；xi為學(xué)科Di的獨(dú)立變量，也稱局部變量；yij為學(xué)科Di輸出變量，同時又是學(xué)科Dj的輸入變量；yji為學(xué)科Dj輸出變量，同時又是學(xué)科Di的輸入變量；yij與yji體現(xiàn)了學(xué)科之間的耦合特性。ri為學(xué)科Di的中間狀態(tài)變量，在學(xué)科計算時產(chǎn)生，計算后消亡；fi為學(xué)科Di的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；gi為學(xué)科Di的約束函數(shù)。

圖1 學(xué)科的圖形描述Fig.1 Graph description of discipline

此外，學(xué)科Di也可用下式的數(shù)學(xué)符號描述。

式中，Xi為學(xué)科Di的參數(shù)集，Xi=[x,xi,yij,yji,ri]。

通過規(guī)劃分解，復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)被分解成優(yōu)化求解相對容易的多個學(xué)科，同時希望復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)經(jīng)規(guī)劃分解后不會“失真”。對MDO優(yōu)化問題，希望規(guī)劃分解后，在各個學(xué)科優(yōu)化的基礎(chǔ)上能夠得到原復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化結(jié)果。

2 整體優(yōu)化與學(xué)科優(yōu)化

假設(shè)復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)S由K個既相互獨(dú)立又相互聯(lián)系的學(xué)科組成，下面對整體優(yōu)化與學(xué)科優(yōu)化之間的關(guān)系進(jìn)行探討。

2.1 整體優(yōu)化

復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計時，針對某些整體性能，必須進(jìn)行整體優(yōu)化。為描述復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體優(yōu)化設(shè)計，設(shè)定如下抽象的數(shù)學(xué)模型：

式中，X為優(yōu)化設(shè)計變量；F(X)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；gi(X)為優(yōu)化約束函數(shù)。

此模型包括任何設(shè)計變量、線性的、非線性的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，由于等式約束可以表示為一對不等式約束，變量范圍約束也可表示為不等式約束，因此，該模型對于任何復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的優(yōu)化問題具有廣泛的一般性。

根據(jù)極值理論，復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)整體優(yōu)化模型在點(diǎn)X*取極值的庫恩—塔克必要條件如下：

式中，λi為整體優(yōu)化極值時拉格朗日乘子。

如果式(2)中的約束域是凸集，目標(biāo)函數(shù)是約束域上的凸函數(shù)，則X*就是復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體最優(yōu)解，又稱為整體優(yōu)解或全局優(yōu)解。

2.2 學(xué)科優(yōu)化

學(xué)科(子系統(tǒng))是復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的有機(jī)組成部分，描述了產(chǎn)品的局部性能或某個子系統(tǒng)的行為、功能。學(xué)科優(yōu)化是為了獲得產(chǎn)品的局部性能或某個子系統(tǒng)的行為、功能的最佳化。為了描述學(xué)科Di=(i=1,2,…,K)的優(yōu)化問題，假設(shè)第i個學(xué)科單獨(dú)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為：

式中，Xi為學(xué)科i的優(yōu)化設(shè)計變量；fi(Xi)為學(xué)科i的優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)函數(shù)；gij(Xi)為學(xué)科i的約束函數(shù)；nci為學(xué)科i的優(yōu)化變量數(shù)目；Ji為學(xué)科i的約束數(shù)目。與整體優(yōu)化模型一樣，它具有廣泛的一般性。

式中，λij為第i個學(xué)科優(yōu)化時的拉格朗日乘子。

2.3 學(xué)科優(yōu)解與整體優(yōu)解的關(guān)系

欲使組成復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的各個學(xué)科單獨(dú)最優(yōu)解組合起來即為復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)整體最優(yōu)解，那么復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)整體優(yōu)化的設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)與各個學(xué)科單獨(dú)優(yōu)化的設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)必需滿足以下關(guān)系：

1)系統(tǒng)整體優(yōu)化的設(shè)計變量由各學(xué)科單獨(dú)優(yōu)化的設(shè)計變量組成，且各個學(xué)科間相互獨(dú)立。

2)系統(tǒng)整體優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以表示為各學(xué)科目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)，而且整體優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為各學(xué)科目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)增函數(shù)。

3)系統(tǒng)整體優(yōu)化的約束函數(shù)由各學(xué)科單獨(dú)優(yōu)化的約束函數(shù)全體組成，且不能有額外的多余約束。

綜合以上條件，式(2)表示的復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)整體優(yōu)化模型可表示為如下形式：

(1)條件必要性證明

則可得

(2)條件充分性證明

該問題的充分條件是：若學(xué)科i(i=1,2,…,K)的優(yōu)化模型為凸規(guī)劃，則由學(xué)科i(i=1,2,…,K)組成的復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)整體優(yōu)化模型亦為凸規(guī)劃。

證明：若學(xué)科i(i=1,2,…,K)的優(yōu)化模型為凸規(guī)劃，則在學(xué)科i(i=1,2,…,K)的可行域內(nèi)，fi(Xi)必為凸函數(shù)，則fi(Xi)的二階導(dǎo)數(shù)組成的海森陣Hi(Xi)為半正定，所以海森陣Hi(Xi)的特征值非負(fù)，即λij≥0。

此外，當(dāng)系統(tǒng)整體最優(yōu)解由各學(xué)科最優(yōu)解匯總而成時，系統(tǒng)整體優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)F(X)在其可行域內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)組成的海森陣H(X)為對角矩陣，對角線上為學(xué)科i(i=1,2,…,K)的海森陣，即：

則由對角陣的性質(zhì)可以得到系統(tǒng)整體目標(biāo)函數(shù)F(X)的海森陣H(X)的特征值為：

綜上所述，當(dāng)系統(tǒng)整體優(yōu)化模型和學(xué)科i(i=1,2,…,K)的優(yōu)化模型可分別表示為式(3)、(5)，且同時滿足條件(1)、(2)和(3)時，則系統(tǒng)整體最優(yōu)解就可由學(xué)科i(i=1,2,…,K)的最優(yōu)解組合而成，從而為復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體優(yōu)化提供了一種簡單可行的方法。

通過對整體優(yōu)解與學(xué)科優(yōu)解辯證關(guān)系的探討，得到了整體最優(yōu)與學(xué)科最優(yōu)的辯證關(guān)系：學(xué)科(子系統(tǒng))最優(yōu)并不代表由其組成的整體(系統(tǒng))最優(yōu)，整體(系統(tǒng))最優(yōu)也不一定代表組成的各個學(xué)科(子系統(tǒng))是最優(yōu)的。原因在于復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)中耦合現(xiàn)象的存在，比如不同學(xué)科之間變量的耦合，學(xué)科與整體之間變量的耦合，以及學(xué)科優(yōu)化目標(biāo)與整體優(yōu)化目標(biāo)的一致性問題等。當(dāng)學(xué)科優(yōu)化目標(biāo)與整體優(yōu)化目標(biāo)負(fù)相關(guān)時，學(xué)科目標(biāo)最優(yōu)反而表示整體優(yōu)化目標(biāo)最差，或整體目標(biāo)最優(yōu)代表學(xué)科優(yōu)化目標(biāo)最差。為解決這一矛盾，必須在整體與學(xué)科、學(xué)科與學(xué)科之間進(jìn)行協(xié)調(diào)處理，使學(xué)科的優(yōu)化服務(wù)服從于系統(tǒng)的整體優(yōu)化。

3 結(jié)論

1)提出了MDO中學(xué)科(子系統(tǒng))的數(shù)學(xué)描述方法，規(guī)范了MDO中學(xué)科描述的形式。

2)提出并證明了MDO中復(fù)雜系統(tǒng)經(jīng)規(guī)劃分解后，系統(tǒng)整體最優(yōu)解由學(xué)科最優(yōu)解直接組合而成的條件，豐富了復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的優(yōu)化理論。

3)分析了現(xiàn)實中復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體最優(yōu)解不可能由學(xué)科最優(yōu)解不經(jīng)協(xié)調(diào)而直接組合得到的原因，得到了復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)中的整體優(yōu)化與學(xué)科優(yōu)化的辯證關(guān)系，有助于尋找復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)的整體優(yōu)解。

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(責(zé)任編輯： 陳雯)

Discussion on relationship between disciplinary optimal solution and global optimal solution in MDO

Yin Guangqiu, Liu Binbin, Ling Jingxiu

(College of Mechanical and Automotive Engineering, Fujian University of Technology, Fuzhou 350118, China)

Based on decomposition and overall optimization of complex product system, a mathematic method was proposed to describe disciplinary in multidisciplinary design optimization (MDO). Based on system global optimization model and disciplinary optimization model, combined with the Kuhn-Tucker extreme value theory, three conditions of disciplinary optimal solutions that compose system global optimal solutions were presented. The difficulty in attaining system global optimal solutions through disciplinary optimal solutions superposition was analysed. The dialectical relationship between the global optimization and the disciplinary optimizations was derived, which can contribute to the global optimization solutions of complex product system.

disciplinary optimization solution； whole optimization solution； multidisciplinary design optimization (MDO)； discipline

2016-10-31

福建省自然科學(xué)基金項目(2016J01722)

銀光球(1974- )，男，湖南武岡人，博士研究生，副教授，主要從事工程機(jī)械、協(xié)同優(yōu)化理論、機(jī)構(gòu)學(xué)等方面的研究。

10.3969/j.issn.1672-4348.2016.06.008

N945.15

A

1672-4348(2016)06-0553-04