改進(jìn)模態(tài)選擇的快速貝葉斯FFT

曹 璐， 周筱航

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是橋梁健康監(jiān)測(cè)研究的核心之一，模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確識(shí)別，是進(jìn)行有限元模型修正、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別以及性能評(píng)定的前提[1]。環(huán)境激勵(lì)下的橋梁動(dòng)力測(cè)試具有操作方便和成本低等優(yōu)勢(shì)，其已成為橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別、有限元模型修正和運(yùn)營(yíng)狀態(tài)評(píng)估的常用方法[2]。但是，由于測(cè)試環(huán)境擾動(dòng)、試驗(yàn)設(shè)備電子噪聲、操作誤差以及模態(tài)分析簡(jiǎn)化等因素，使識(shí)別的模態(tài)參數(shù)值與真實(shí)值之間不可避免地存在隨機(jī)偏差，這給環(huán)境激勵(lì)下的橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果引入了不確定性[3]。雖然橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論發(fā)展快速，但是已有的理論只給出了模態(tài)參數(shù)的最佳估計(jì)值，并沒有在理論上給出模態(tài)參數(shù)的不確定性。對(duì)橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性進(jìn)行研究，對(duì)提高橋梁動(dòng)力分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和魯棒性有很大的幫助，也可以為橋梁動(dòng)力災(zāi)變分析和健康監(jiān)測(cè)提供更為可靠的依據(jù)[4]。

針對(duì)模態(tài)參數(shù)的不確定性，當(dāng)下有兩種較為主流的觀點(diǎn)，頻數(shù)派和貝葉斯派[4]。頻數(shù)派將模態(tài)參數(shù)認(rèn)為是確定量，只是在測(cè)試過程中受到擾動(dòng)，若假定受到的擾動(dòng)是隨機(jī)變量，模態(tài)參數(shù)的不確定性可以用測(cè)試數(shù)據(jù)的均值和方差表示，其是通過重復(fù)試驗(yàn)得到測(cè)試參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性[5]；而貝葉斯派則把模態(tài)參數(shù)認(rèn)為是隨機(jī)變量，它是結(jié)構(gòu)自身隨機(jī)性的體現(xiàn)，其是在已知測(cè)試數(shù)據(jù)的條件下，利用先驗(yàn)概率密度和似然函數(shù)得到模態(tài)參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)及其不確定性[6]。

基于貝葉斯理論的相關(guān)方法近年來在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別、有限元模型修正及狀態(tài)評(píng)估等方面有迅猛的發(fā)展，在模態(tài)參數(shù)不確定性識(shí)別方面更是受到了極大的關(guān)注，并取得了卓有成效的進(jìn)展[4]。

Katafygiotis和Yuen較先將貝葉斯理論引入到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)不確定性識(shí)別中，建立了貝葉斯模態(tài)參數(shù)識(shí)別框架，提出了一系列的模態(tài)參數(shù)識(shí)別的基本理論，如貝葉斯FFT法[7]、貝葉斯功率譜法[8-9]、貝葉斯時(shí)域法[10-11]。這些方法由于計(jì)算效率和不收斂等問題在實(shí)際應(yīng)用中受阻，但Katafygiotis和Yuen的這些研究為后來奠定了扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。隨后，Au針對(duì)Katafygiotis和Yuen提出的貝葉斯FFT法[7]存在的問題，提出了快速貝葉斯FFT(Fast Bayesian FFT, FB-FFT)方法[12-14]，該方法極大的改善了貝葉斯FFT法在應(yīng)用中出現(xiàn)的問題，使得尋優(yōu)和計(jì)算協(xié)方差變得快速容易。

FB-FFT法只對(duì)所選頻帶進(jìn)行分析，具有快速、高效的優(yōu)點(diǎn)，其識(shí)別結(jié)果隨所選頻帶的變化而變化。在分離模態(tài)情況下，F(xiàn)B-FFT法容易被虛假模態(tài)干擾。因此，所選頻帶中是否包含結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)至關(guān)重要，Au指出快速貝葉斯FFT法的頻帶選擇部分仍需改進(jìn)[12]。

針對(duì)分離模態(tài)的情況，為了準(zhǔn)確選取結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)，本文對(duì)結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)的選取展開研究。首先，針對(duì)FB-FFT模態(tài)選擇部分存在的問題提出了聚合傅里葉譜分析方法(Ensemble Fourier Spectrum Analysis, EFSA)。然后，將其與奇異譜分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)方法應(yīng)用大跨斜拉橋?qū)崢蜻M(jìn)行模態(tài)選擇，并將選擇結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。最后，針對(duì)選擇的模態(tài)進(jìn)行FB-FFT模態(tài)參數(shù)識(shí)別。結(jié)果表明，將EFSA引入FB-FFT方法中，能準(zhǔn)確選擇結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)，為FB-FFT模態(tài)參數(shù)識(shí)別提供前提保證，且FB-FFT模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合。

1 理論

1.1 FB-FFT算法框架

Au提出的FB-FFT有效地避免了貝葉斯FFT計(jì)算上的難點(diǎn)，使得FB-FFT可以應(yīng)用到實(shí)際情況中[15]。Au將關(guān)注點(diǎn)集中在某一事先選定的共振頻帶，若該頻帶內(nèi)只有單個(gè)模態(tài)，則無論測(cè)試自由度是多少，模態(tài)參數(shù)的最佳估計(jì)(Most Probable Value, MPV)都可以通過一個(gè)四維的數(shù)值優(yōu)化得到。其中除了頻率、阻尼比外，還能得到模態(tài)激勵(lì)和預(yù)測(cè)誤差；在得到模態(tài)參數(shù)的MPV后可以通過奇異值分解得到陣型的MPV。后驗(yàn)協(xié)方差則是通過似然函數(shù)的Hessian矩陣求得，這樣不需要有限差分就能快速計(jì)算出協(xié)方差矩陣。除此之外，在小阻尼和長(zhǎng)數(shù)據(jù)的情況下，Au推導(dǎo)了各模態(tài)參數(shù)的變異系數(shù)漸進(jìn)表達(dá)式[16-17]。

1.2 FB-FFT法模態(tài)選擇的問題

FB-FFT在確定頻帶時(shí)，首先需要利用SSA法進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)的定位，再由帶寬因子k確定頻帶寬度，進(jìn)而在原數(shù)據(jù)上對(duì)這部分頻帶的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行后續(xù)的識(shí)別，且頻率的初值也是從奇異譜上拾取。FB-FFT的分析結(jié)果會(huì)隨著帶寬的大小而變，一般取k=5～10比較合適[2]。然而，除了頻帶寬度影響結(jié)果，頻帶的定位也很重要，若模態(tài)頻率定位不準(zhǔn)，F(xiàn)B-FFT識(shí)別結(jié)果也會(huì)受影響。針對(duì)選擇(定位)結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)，F(xiàn)B-FFT所采用的SSA法并不是全能的，在針對(duì)大型實(shí)橋?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的模態(tài)選擇時(shí)，由于信噪比低，模態(tài)密集，SV譜法會(huì)出現(xiàn)漏階的情況。

1.3 EFSA法

1.3.1 算法理論

基于上述問題，本文提出一種模態(tài)頻率定位方法，即EFSA。該方法將所采集時(shí)域信號(hào)在時(shí)間維度上加矩形窗，針對(duì)每個(gè)窗口內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行傅里葉譜分析，最后將每個(gè)窗口的頻譜進(jìn)行聚合，得到結(jié)構(gòu)頻譜。在聚合過程中，窗口的信號(hào)可以來自不同的測(cè)試時(shí)段或不同的測(cè)試通道。每個(gè)窗口的頻譜結(jié)果包含了大量隨機(jī)干擾，經(jīng)過大量不同測(cè)試通道和不同測(cè)試時(shí)段窗口的聚合，隨機(jī)干擾將會(huì)互相抵消，而結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)特性將得到凸顯，進(jìn)而克服了大型橋梁結(jié)構(gòu)運(yùn)營(yíng)模態(tài)分析中模態(tài)頻率難以定位的問題。EFSA法的技術(shù)路線如圖1所示。

圖1 EFSA法的技術(shù)路線

EFSA方法的具體步驟如下：

(2)對(duì)每個(gè)窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉譜分析，得到M個(gè)譜函數(shù)。

(3)使用步驟(1)和步驟(2)處理結(jié)構(gòu)n個(gè)通道的時(shí)程信號(hào)，得到n×M個(gè)譜函數(shù)。

(4) 將n×M個(gè)譜函數(shù)在頻域上進(jìn)行聚合，得到結(jié)構(gòu)的頻譜圖。

1.3.2 模擬信號(hào)分析

為了驗(yàn)證EFSA對(duì)模態(tài)頻率的定位的效果，利用模擬信號(hào)來試驗(yàn)。模擬信號(hào)由頻率為5 Hz的正弦信號(hào)(功率譜為0.000 6)和高斯白噪聲(功率譜為0.2)構(gòu)成，采樣頻率fs=128Hz，時(shí)長(zhǎng)T=50000s，其FFT譜如圖2所示。

圖2 模擬信號(hào)FFT譜

利用EFSA法進(jìn)行頻譜后處理，將整段數(shù)據(jù)分為1 000個(gè)窗口，每個(gè)窗口點(diǎn)個(gè)數(shù)N=6400，EFSA譜如圖3所示。

圖3 模擬信號(hào)EFSA譜

由圖2和圖3可以看出，模擬信號(hào)的FFT頻譜毛刺很多，已經(jīng)嚴(yán)重影響真實(shí)模態(tài)的判斷，而EFSA利用分段累和求平均，使得而真實(shí)模態(tài)凸顯，易于選擇真實(shí)模態(tài)。

2 雙塔雙索面斜拉橋應(yīng)用

為了進(jìn)一步驗(yàn)證EFSA法和FB-FFT法在大型橋梁結(jié)構(gòu)中的實(shí)用性，將EFSA與FB-FFT結(jié)合起來應(yīng)用到一斜拉橋，進(jìn)行模態(tài)參數(shù)及其不確定性識(shí)別。首先，同時(shí)利用EFSA法與SSA法進(jìn)行模態(tài)頻率定位，對(duì)比模態(tài)選擇結(jié)果；然后，針對(duì)所選擇模態(tài)，利用帶寬因子k確定帶寬，隨后利用FB-FFT進(jìn)行模態(tài)參數(shù)及其不確定性識(shí)別，并與有限元結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行結(jié)果對(duì)比。

該斜拉橋梁是主跨1 088 m的雙塔雙索面斜拉橋，橋兩側(cè)邊跨跨中截面和主跨六分點(diǎn)截面布置有豎向加速度傳感器，主梁上下游兩側(cè)各布置一排測(cè)點(diǎn)，共計(jì)14個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)試方向?yàn)樨Q向，采樣頻率為20 Hz。橋梁下游傳感器測(cè)試信號(hào)質(zhì)量整體不如上游傳感器測(cè)試信號(hào)質(zhì)量，故本文僅選取上游7個(gè)傳感器的測(cè)試信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分析。

分別使用SSA法與EFSA法對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其中EFSA法在處理長(zhǎng)時(shí)間測(cè)試信號(hào)時(shí)效果較好，因此，EFSA選擇兩種時(shí)間長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

2.1 結(jié)構(gòu)模態(tài)選擇

本文將針對(duì)前6階模態(tài)頻率進(jìn)行選擇。為了便于對(duì)比，查閱相關(guān)文獻(xiàn)，總結(jié)采用有限元對(duì)該斜拉橋主梁動(dòng)力特性的分析結(jié)果，包括Midas Civil軟件、SDCA分析程序和ANSYS軟件，匯總見表1。從表1可知該斜拉橋前6階模態(tài)集中在0～0.5 Hz。因此將兩種方法0～0.5 Hz的頻譜細(xì)部進(jìn)行展示(圖4～圖6)。

表1 某雙塔斜拉橋成橋狀態(tài)主梁豎向自振頻率 Hz

圖4 奇異譜 (10mins)

圖5 EFSA譜 (10mins)

圖6 EFSA譜 (1d)

從圖4～圖6可以看出，前兩階模態(tài)峰值最明顯，說明在運(yùn)營(yíng)條件下該橋相應(yīng)模態(tài)被激起，而其余頻率處幅值較小，則說明對(duì)應(yīng)階次沒有被激起或振動(dòng)較弱。從圖4中只能提取結(jié)構(gòu)的前兩階模態(tài)，其余4階模態(tài)被遺漏；從圖5能比較準(zhǔn)確地提取出前6階，但在0.05～0.12 Hz、0.25～0.30 Hz和0.34～0.38 Hz出現(xiàn)“小毛刺”曲線不夠平滑；從圖6可以看出前6階模態(tài)頻率峰值明顯，頻譜光滑，沒有漏階和虛假模態(tài)干擾問題，易于選擇出結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)。

經(jīng)過上述對(duì)比分析，EFSA在運(yùn)營(yíng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的模態(tài)頻率定位選擇中具有模態(tài)峰值明顯，不易漏階，且曲線平滑，虛假模態(tài)干擾小的特點(diǎn)。

2.2 FB-FFT模態(tài)參數(shù)及其不確定性識(shí)別

針對(duì)圖6選出來的前6階模態(tài)，取帶寬因子k=6，應(yīng)用FB-FFT法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，其識(shí)別結(jié)果如表2和表3所示。

表2 斜拉橋FB-FFT模態(tài)頻率、阻尼比和陣型識(shí)別結(jié)果

表3 斜拉橋FB-FFT模態(tài)模態(tài)激勵(lì)、預(yù)測(cè)誤差識(shí)別結(jié)果

從表2和表3可以看出，識(shí)別的頻率MPV與有限元模型計(jì)算的頻率基本吻合，各階頻率的c.o.v.與信噪比有關(guān)，信噪比越大則c.o.v.越小，反之亦然；阻尼比和模態(tài)激勵(lì)的變異系數(shù)在50 %左右；預(yù)測(cè)誤差MPV及c.o.v.隨著模態(tài)階次的增加而減小，這是由于高階頻率的周期更短，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度一定時(shí)其周期樣本數(shù)量更多，預(yù)測(cè)誤差不確定性越??；第4階、5階信噪比較低，頻率、振型、模態(tài)激勵(lì)的c.o.v.都比其他階次的大，這是由于第4階、5階為密集模態(tài)，應(yīng)參考Au關(guān)于密集模態(tài)的貝葉斯識(shí)別方法[13-14]。

前3階振型如圖7～圖9所示，從陣型圖可以看出，前3階振型與文獻(xiàn)基本吻合。

圖7 斜拉橋第1階振型

圖8 斜拉橋第2階振型

圖9 斜拉橋第3階振型

3 結(jié)論

針對(duì)FB-FFT方法在大跨復(fù)雜橋梁運(yùn)營(yíng)模態(tài)分析中難以選擇模態(tài)頻率的問題，本文提出了EFSA方法。將EFSA方法與SSA法同時(shí)應(yīng)用到大跨斜拉橋?qū)崢虻哪B(tài)頻率選擇，對(duì)比兩種方法，并基于EFSA方法的模態(tài)選擇結(jié)果進(jìn)行FB-FFT模態(tài)參數(shù)識(shí)別。結(jié)果表明，將EFSA引入FB-FFT方法中，能夠較為準(zhǔn)確地選擇出結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)，為FB-FFT模態(tài)參數(shù)的精確識(shí)別提供保障；FB-FFT模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了FB-FFT方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的可行性與有效性。