淺析MATLAB在軍校數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

◆丁小星 劉偉 胡劍

淺析MATLAB在軍校數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

◆丁小星 劉偉 胡劍

為提高軍校數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，夯實(shí)學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，引進(jìn)MATLAB軟件，從三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程出發(fā)，通過幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例說明其在促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，培養(yǎng)學(xué)員的實(shí)操能力。

高等數(shù)學(xué)；線性代數(shù)；MATLAB；概率統(tǒng)計(jì)

1 前言

當(dāng)今軍事科技變革一日千里，對(duì)即將踏上軍旅生涯的軍校學(xué)員的綜合素質(zhì)提出更高的要求[1]。數(shù)學(xué)作為理性思維的體操，對(duì)培養(yǎng)學(xué)員分析問題、解決問題的能力發(fā)揮著重要作用。軍校理工類專業(yè)所修的數(shù)學(xué)課程主要為高等數(shù)學(xué)（微積分）、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)三門，其抽象性與邏輯嚴(yán)密性均較強(qiáng)[2]。軍校的部分學(xué)員來自基層部隊(duì)，基礎(chǔ)較薄弱且訓(xùn)練任務(wù)繁重，傳統(tǒng)的授課方式偏重理論推導(dǎo)，不能完全與教學(xué)實(shí)際相銜接，存在斷層，引入數(shù)學(xué)軟件作為輔助教學(xué)手段就顯得較為必要[3-4]。

MATLAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）是近幾年在教學(xué)、科研、計(jì)算機(jī)仿真、數(shù)字圖像處理等方面應(yīng)用十分廣泛的一款計(jì)算類軟件[5-6]。MATLAB的符號(hào)工具箱是Maple提供的，但與Maple相比在輸入格式上更接近于常用格式，且在工程計(jì)算方面MATLAB更勝一籌，故其更適用于軍校理工類教學(xué)。

本文通過幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例，介紹該軟件在上述三門軍校基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課教學(xué)中的應(yīng)用：

1）高等數(shù)學(xué)（微積分）：函數(shù)的圖形、函數(shù)的極值、定積分的計(jì)算，例1～例3。

2）線性代數(shù)：矩陣的秩、向量組的最大無關(guān)組，例4。

3）概率統(tǒng)計(jì)：離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量，例5～例8。

2 MATLAB在高等數(shù)學(xué)（微積分）中的應(yīng)用范例

高等數(shù)學(xué)（微積分）是軍校學(xué)員學(xué)習(xí)的第一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課[7]，使用MATLAB軟件可使其對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有直觀的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)微積分理論的理解，達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的。

例1 繪制函數(shù)g(x)=-xsin2x（0≤x≤π）的圖形。

解：輸入>>ezplot(‘x’,’-x*sin(x)^2’,[0,pi]);//“ezplot”為函數(shù)圖形繪制命令

輸出函數(shù)圖形如圖1所示。

通過MATLAB軟件，可顯示函數(shù)圖形，為分析函數(shù)極值、積分提供幾何意義的顯示。

例2 求函數(shù)g(x)=-xsin2x（0≤x≤π）的極小值、極小值點(diǎn)。

解：由圖1所示，函數(shù)g(x)的極小值橫坐標(biāo)在區(qū)間[1.5,2]內(nèi)，由MATLAB編程計(jì)算精確值。

輸入：>>f=’-x*sin(x)^2’;>>[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,pi) //“fminbnd”用于求函數(shù)的極小值點(diǎn)

輸出：xmin=1.8366；ymin=-1.7099。

答：函數(shù)g(x)=-xsin2x（0≤x≤π）的極小值為-1.7099，極小值點(diǎn)為（1.8366,-1.7099），與圖1所示相吻合。

輸入：>>quad(‘x.*sin(x).^2’,0,pi)//“quad”是求定積分的數(shù)值解

輸出：ans=2.4674。

輸入：x=0:0.001:pi;y=x.*sin(x).^2;plot(x,y);area(x,y,’FaceColor’,’k’);

輸出：積分區(qū)域如圖2陰影部分所示。

通過上述幾個(gè)MATLAB應(yīng)用實(shí)例，結(jié)合圖像分析了函數(shù)g(x)=-xsin2x（0≤x≤π）極值點(diǎn)、可積性，使學(xué)員能較快入門一元微積分學(xué)，為學(xué)習(xí)后續(xù)多元微積分、概率統(tǒng)計(jì)等單元打下基礎(chǔ)。

3 MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用范例

線性代數(shù)教學(xué)[8]中，矩陣與向量占有重要的地位，而求矩陣的秩以及向量組的最大線性無關(guān)組是矩陣運(yùn)算的核心之一。對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，是解決上述問題的主要方法，課堂教學(xué)或課后習(xí)題通常針對(duì)不高于三階的矩陣進(jìn)行變換，具有一定的局限性，不利于軍校學(xué)員尤其是軍工領(lǐng)域研究者能力的培養(yǎng)。依托MATLAB軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力，可輔助學(xué)員更全面地掌握矩陣的性質(zhì)，為后續(xù)研究數(shù)學(xué)建模、非線性數(shù)值分析打下基礎(chǔ)。

解：輸入：>>A=[1,-1,2,1,0;2,-2,4,-2,0;3,0,6,-1,1;2,1,4,2,1];>>rank(A)

輸出：ans=3。

說明：命令“rank”直接求矩陣的秩，而不需初等行變換，效率較高；但若要與課本上的初等行變換相對(duì)應(yīng)，則需執(zhí)行以下命令。

答：得到矩陣A的行最簡形，可知矩陣的秩為3，且得到1，2，4列為矩陣列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。

若要求矩陣行向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，則需先將其轉(zhuǎn)置，再用命令“rref”即可。

答：A矩陣的1，2，3行為其行向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。關(guān)于MATLAB軟件在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用的詳細(xì)論述請(qǐng)參加文獻(xiàn)[5]，本文不再贅述。

4 MATLAB在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用范例

軍校后勤財(cái)務(wù)管理類學(xué)員所學(xué)的眾多專業(yè)課（如財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)、武警審計(jì)監(jiān)督等）的基礎(chǔ)是概率統(tǒng)計(jì)。概率統(tǒng)計(jì)實(shí)質(zhì)是由概率論和統(tǒng)計(jì)分析兩部分組成的，涉及離散或連續(xù)型隨機(jī)變量、多種分布函數(shù)與概率密度函數(shù)、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)等較抽象的知識(shí)點(diǎn)。MATLAB軟件的數(shù)理統(tǒng)計(jì)工具箱則為絕大多數(shù)入校時(shí)僅具有少量古典概型知識(shí)的學(xué)員提供了學(xué)習(xí)這些難點(diǎn)的輔助手段。

例5：一名士兵進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊命中率為0.01，獨(dú)立射擊500次，求至少命中兩次的概率。

解：這是一個(gè)二項(xiàng)分布問題，X～B(500,0.01)。用MATLAB編程解決則需編寫一個(gè)m文件，再調(diào)用執(zhí)行。

輸入m文件：function sam1//命令窗口需調(diào)用的函數(shù)名

t=0;for k=2:500;{y(k)=binopdf(k,500,0.01);t=t+ y(k);}end;t//“binopdf”為二項(xiàng)分布函數(shù)

在命令窗口調(diào)用函數(shù)s>>sam1；

輸出：t=0.9602。

亦可利用逆向思維，由概率1減去次數(shù)為0和1的概率得到結(jié)論，編程如下：

輸入m文件：function sam2；

t0=binopdf(0,500,0.01);t1=binopdf(1,500,0.01);t=1-t0-t1

在命令窗口調(diào)用函數(shù)t>>sam2；

輸出：t=0.9602.

答：至少命中兩次的概率為0.9602。

例6：通信器材電阻R是一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)變量，分布于800～1000 Ω，求R的概率密度函數(shù)以及落在850～950 Ω之間的概率。

輸出：ans=0.5000。

答：電阻R有50%的概率落在850～950 Ω。

解：X的分布函數(shù)F(x)即為f(x)的變上限積分，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，

輸入m文件：function sam3；

syms x;int(2-2/x^2);//計(jì)算不定積分

輸出：ans=2*x+2/x;F(x)=2*x+2/x-(2*1+2/1)=2*x+2/x-4。

當(dāng)x＞2時(shí)，輸入：>>syms x;>>int(2-2/x^2,x,1,2) //int命令亦可求定積分的數(shù)值解，使用范圍比quad廣

輸出：ans=1。故 F(x)=1。

顯然當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)(x)=0。

圖3 例7分布函數(shù)F(x)的圖形

說明：例5～例7給出MATLAB在概率論中隨機(jī)變量（離散與連續(xù)）這個(gè)知識(shí)點(diǎn)方面的應(yīng)用，下面給出在統(tǒng)計(jì)上應(yīng)用MATLAB的例子。

例8：某兵工廠隨機(jī)選取20個(gè)零部件的組裝時(shí)間（分）：

9.8 10.3 10.6 9.6 9.7 9.8 10.8 11.1 9.5 10.2

10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.4 10.1 10.5 9.7

組裝時(shí)間服從正態(tài)分布，方差為0.4，則能否說組裝時(shí)間的均值在0.05水平上不小于10？

解：這是方差已知的均值假設(shè)檢驗(yàn)，備擇假設(shè)為均值在0.05的水平上＞10，零假設(shè)為均值≥0。

輸入：>>x=[9.8 10.3 10.6 9.6 9.7 9.8 10.8 11.1 9.5 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.4 10.1 10.5 9.7];>>[h sig ci]=ztest(x,10,0.4,0.05,1);

輸出：h=1//顯著水平控制參數(shù)，當(dāng)為1時(shí)可在0.01顯著水平上拒絕0假設(shè)

sig=0.0252＜0.05;ci=10.0279 Inf＞10

故由檢驗(yàn)結(jié)果顯示拒絕0假設(shè)，說明均值是大于10的。

說明：MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱可驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)學(xué)的部分結(jié)論，化抽象為具體，便于學(xué)員接受。

5 小結(jié)

本文針對(duì)軍校三門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課理論性較強(qiáng)，且各有不同的知識(shí)脈絡(luò)的特點(diǎn)，分別用若干個(gè)實(shí)例分析闡述了MATLAB軟件在輔助教學(xué)中的作用。由于其部分命令的共用性，可實(shí)現(xiàn)循環(huán)調(diào)用，如高等數(shù)學(xué)的符號(hào)積分命令“int”亦可用于求概率統(tǒng)計(jì)中的分布函數(shù)，間接使學(xué)員將三門課程的部分知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，加深理解。而該軟件的繪圖功能又能達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的，調(diào)動(dòng)了學(xué)員的學(xué)習(xí)熱情。誠然MATLAB軟件的功能強(qiáng)大，依舊無法推導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的證明性問題，只可通過實(shí)例驗(yàn)證部分結(jié)論，故課堂推導(dǎo)與論證依舊不可或缺，MATLAB將扮演好輔助教學(xué)的角色。

[1]趙忠雙,李亞奇,田新明.充分發(fā)揮教研室、教學(xué)組幫帶作用，努力提高軍校青年教員課堂教學(xué)質(zhì)量[J].湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào),2015,35(3):199-201.

[2]劉清國,劉彩霞,等.案例教學(xué)法在軍校數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].空軍預(yù)警學(xué)院學(xué)報(bào),2014,28(6):463-465.

[3]黃煒.MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的典型問題應(yīng)用探索[J].江西科技,2010,28(1):114-117.

[4]李姝敏.數(shù)學(xué)軟件Maple在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊:自然科學(xué)版,2013,27(4):55-57.

[5]丁小星.淺談MATLAB軟件在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國教育技術(shù)裝備,2014(4):92-95.

[6]張德豐,等.MATLAB數(shù)字圖像處理[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2012:85-96.

[7]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014:25-46.

[8]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)[M].6版.北京:高等教育出版社,2014:66-87.

Analysis of Role of MATLAB in Military Academy of Mathematics Teaching

DING Xiaoxing,LIU Wei,HU Jian

In order to improve the teaching effect of Military Academy of Mathematics,reinforce the students’ foundation. The MATLAB is introduced in Mathematics Teaching．From the angle of three foundation courses,the effect that promoted Military Academy of Mathematics teaching is illustrated by several application examples,which cultivates students’ practical ability.

advanced mathematics;linear algebra;MATLAB;probability statistics

G642.4

B

1671-489X(2016)02-0022-03

作者：丁小星，公安海警學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教學(xué)和計(jì)算幾何；劉偉，公安海警學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)；胡劍，公安海警學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向?yàn)楣こ虜?shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的研究（315801）。

10.3969 /j.issn.1671-489X.2016.02.022