水－應力作用下軟巖破壞面傾角的概率分析*

易成城劉 鎮(zhèn)③周翠英

（①中山大學工學院 廣州 510006）

（②中山大學巖土工程與信息技術研究中心 廣州 510275）

（③中山大學海洋學院 廣州 510275）

水－應力作用下軟巖破壞面傾角的概率分析*

易成城①②劉 鎮(zhèn)①②③周翠英①②

（①中山大學工學院 廣州 510006）

（②中山大學巖土工程與信息技術研究中心 廣州 510275）

（③中山大學海洋學院 廣州 510275）

破壞面傾角，即破裂面與最大主應力夾角，是進行巖體工程加固設計的重要依據(jù)，也是工程安全預警的基礎。巖體賦存于自然環(huán)境中，其破壞面傾角受應力、結構面和水等條件的影響，這樣，使得水－應力作用下其破壞面的傾角本身帶有一定的不確定性，特別是對于軟弱巖體。通常用Mohr-coulomb強度準則得到的破壞面傾角為45°＋φ／2，是一個定值；實際上巖石破壞面傾角非定值，而是存在一個范圍。因而有必要研究在水－應力作用下巖石破壞面傾角問題。本文針對華南紅層典型軟巖－粉砂質泥巖在水－應力作用下的破壞問題，首先從概率分析角度，利用巖石微裂隙的破壞概率分布函數(shù)，得到軟巖破壞面傾角表達式；并利用TAW-100水－應力耦合巖石細觀力學伺服三軸試驗系統(tǒng)開展軟巖在水同時作為賦存環(huán)境和圍壓時的三軸壓縮試驗，得到其在0和1MPa圍壓時破壞面傾角范圍為50.3°～80.2°；將該破壞面傾角和Mohr-Coulomb強度準則得到的破壞面傾角值與實驗結果進行對比，發(fā)現(xiàn)本文所建立的破壞概率方法與實驗結果更為接近，表明本文方法有較好的合理可靠性。

軟巖 水－應力作用 三軸壓縮試驗 破壞面傾角 概率分析

0 引 言

軟巖是一種受水作用影響強烈的巖石，特別是紅層軟巖，其遇水后力學性質迅速劣化（周翠英等，2005），容易造成重大災害。而其破壞面傾角的大小和方向是認識軟巖災變機制、工程設計與加固的重要依據(jù)，也是工程安全預警的基礎。軟巖受所賦存地質環(huán)境中的應力、結構面和水等條件的影響，使得水－應力作用下其破壞面傾角帶有一定的不確定性，因此，研究軟巖在水－應力作用下的破壞面傾角，對研究軟巖的變形破壞過程和工程設計與預警具有重要意義。

目前，軟巖破壞面傾角的研究多依照巖石力學的剪切破壞研究進行，大體包括試驗和理論分析兩類方法。試驗研究是軟巖破壞面傾角研究的首要方法，能夠基礎性地反映軟巖的變形破壞過程；而理論計算研究能夠為軟巖的變形破壞起到輔助分析的作用（王學濱等，2003；周翠英等，2005）。試驗研究方面，F(xiàn)lorian et al.（2012）對頁巖進行快速三軸壓縮試驗，研究其破壞面傾角和圍壓的關系。X R et al.（2013）對富含石英的砂巖進行真三軸壓縮試驗，考慮其破壞面傾角與與破壞應力和偏應力狀態(tài)參數(shù)之間的關系。Nasseri et al.（1997）等開展頁巖三軸試驗，研究了頁巖的破壞形式和其層理面傾角與圍壓對形式破壞的影響。魯濤等（2011）對砂巖進行了單軸、三軸壓縮試驗，得出了不同浸泡水壓下的破壞面傾角。蘇承東等（2014）對紅砂巖進行了單軸、三軸壓縮試驗，得到其破裂角為52.5°～66.6°，并與莫爾－庫侖等強度準則進行了對比。肖桃李等（2013）考慮結構面的影響，對高強度類巖石進行了三軸壓縮試驗，得到其強度特征和破壞面傾角關系。理論研究方面，Mohr-Coulomb強度準則的應用最為廣泛（Harkness，1972）。胡小榮等（2003）基于雙剪理論分析研究了三軸壓縮下巖石的破壞面角度。郭東明等（2011）對不同傾角組合下煤巖的強度和破壞機制進行研究，考慮其對破壞面和破壞強度的影響。Mahendra et al.（2011）對巖石的莫爾－庫侖準則在非線性的三軸強度情況進行修正，對其破壞強度和破壞面進行了研究。Mojtaba et al.（2015）對各向異性巖體的滑動和非滑動破壞進行研究，考慮破壞面的情況對破壞準則進行了修改。Luc et al.（2012）采用離散單元法對巖石的破壞機制及其破壞面傾角進行研究。Louis et al.（2013）對預先存在共面缺陷的巖石進行研究，分析其破壞面傾角和裂紋長度對其破壞的影響。Mohamed et al.（2014）在考慮巖石的各向異性條件下對巖石的霍克－布朗破壞準則進行簡化，對巖石的破壞及其破壞面進行了研究。

以上分析可知，已有關于破壞面傾角的理論研究上主要集中在脆性巖石上，而關于軟巖破壞面傾角的研究尚未見報道。鑒于此，本文從概率分析角度，利用軟巖微裂隙的概率分布函數(shù)，得到其破壞面傾角的確定方法；結合自主研發(fā)的TAW-100水－力耦合巖石細觀力學伺服三軸試驗系統(tǒng)進行軟巖的三軸壓縮試驗，測定其破壞面的傾角；將破壞面概率分析方法得到的破壞面傾角和Mohr-Coulomb強度準則得到的結果與試驗結果進行對比，驗證概率分析方法的可行性，研究在探討水－應力作用下軟巖破壞面傾角計算方法上進行一次嘗試，對軟巖的變形破壞過程和工程設計與預警具有重要意義。

1 軟巖破壞面傾角的概率分析方法

軟巖在應力作用下，從微破裂發(fā)展到宏觀破壞的過程，實際是軟巖多種狀態(tài)參量不斷演化的過程。應力破損、應力腐蝕等因素都會對微裂隙的數(shù)量和分布產(chǎn)生影響，使其具有一定的概率分布特征。而軟巖在應力作用下，其內部微裂隙從孕育、擴展、叢集，最后貫通形成破壞面的過程實際上是一個概率分布與變化的過程。因此，對于軟巖在應力作用下的破壞面傾角研究，可用概率分析的方法進行。

假設軟巖試件在應力作用下的任意破壞能夠以點的方式表示在二維xy平面上，而多個破壞點可以形成破壞面，那么可以得到如圖1所示的破壞點分布圖（錢海濤，2010）。假設有n個破壞點，他們在分布圖上的坐標為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。如果n1，n2，n3表示在如下3個區(qū)域中的破壞點的數(shù)目：（X＜x＜X＋Δx、Y＜y＜Y＋Δy）、（X＜x＜X＋Δx、－∞＜y＜＋∞）、（－∞＜x＜＋∞、Y＜y＜Y＋Δy），則根據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計理論（陳希孺等，1998），軟巖試件內部破壞點的聯(lián)合、邊緣和條件概率密度函數(shù)將分別為：

除此之外，還可以得到軟巖在應力作用下破壞點坐標的期望、方差和協(xié)方差：

圖1 隨機變量x，y的分布圖Fig.1 The distribution of random variable x，y

上式中，σx、σy為p（x）、p（y）的標準差，并且：

協(xié)方差μxy、相關系數(shù)ρxy的定義如下：

引入兩個隨機變量r和s，其定義為

通過變換，根據(jù)期望和方差的定義，我們可以得到：

假設p（x）、p（y）服從正態(tài)分布（R.克拉夫等，2006），那么所定義的變量r和s的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以利用Jacobi變換得出關系式：

引入坐標變化，將x，y變換為一組具有零均值的新的隨機變量，使得軟巖在應力作用下破壞點的原點位于分布圖的質心。坐標平移為：

然后進行坐標旋轉，旋轉角為θ，使得協(xié)方差為零，得到軟巖在應力作用下破壞點的坐標變化表達式為：

同時，注意_u_＝_v_＝0，代入上式，得到：

令協(xié)方差μuv＝0，求解θ得到旋轉角。假定軟巖在應力作用下的破壞面呈近似直線分布，即傾角為一常數(shù)，根據(jù)概率分析理論，此角度數(shù)值上等于破壞面的傾角，θ表示為：

式（9）即為軟巖在應力作用下破壞面傾角的概率分析方法計算得到的破壞面傾角。從方法的數(shù)學表達式得知，軟巖在應力作用下的破壞面傾角與其方差和協(xié)方差具有一定的線性關系。

2 水－應力作用下軟巖破壞面傾角的三軸壓縮試驗

2.1 試驗簡介

試驗用的粉砂質泥巖樣品采自于廣東佛山南海區(qū)，地質為新生界下第三系地層，巖樣呈紫紅色、致密塊狀、外表呈土狀、粉砂泥質結構，礦物顆粒無定向排列，較易擊碎，指甲可刻出痕跡。采用本團隊自主研發(fā)的TAW-100水-力耦合巖石細觀力學伺服三軸試驗系統(tǒng)進行試驗，通過壓力室的透明觀察窗，對水-力作用下軟巖的變形破壞進行直觀的觀察和量測，得到其破壞面的傾角。

試驗分4組平行進行（表1）。分別為天然狀態(tài)0圍壓、天然狀態(tài)1MPa圍壓、飽水48h狀態(tài)0圍壓和飽水48h狀態(tài)1MPa圍壓，其中，0圍壓為靜水壓力條件，飽水48h狀態(tài)為試件在水中浸泡48h后的狀態(tài)。設定的0、1MPa圍壓條件為反映實際巖體在工程中無圍壓和有圍壓的情況。采用軸向位移控制法加載，其中，軸向位移加載速率為0.2mm·min－1，圍壓加載速率為50N·s－1。試驗為一次性加載至軟巖試樣完全破壞（圖2），實驗中觀察和測量巖樣破壞面的傾角。

2.2 試驗結果分析

水－應力作用下軟巖的破壞面傾角結果見表2，軟巖的破壞方式呈現(xiàn)為沿著一條或者多條破裂面的錯動或滑動，本文取軟巖主要破壞面的傾向與水平面的夾角為其試驗傾角。

表1 試驗分組情況Table 1 Test group

圖2 4組軟巖的破壞形態(tài)Fig.2 The failure patterns of the four groups of soft rocksa.天然，0MPa；b.飽水，48h 0MPa；c.天然，1MPa；d.飽水，48h 1MPa

表2 軟巖的破壞面傾角Table 2 The inclination angle of failure surface of rock mass

根據(jù)表2，結合三軸壓縮試驗結果，做出軟巖試樣的偏差應力σ1－σ3與其破壞面傾角關系（圖3）。從圖3中可以看出，24個軟巖試樣的破壞面傾角范圍為50.3°～80.2°，其破壞面傾角的平均值為67.9°。軟巖試樣的破壞面傾角大部分較為集中，24個樣品中有18個破壞面傾角集中分布在平行線1和2之間，其傾角范圍為64°～75°；該范圍可以反映此類軟巖破壞面傾角的大致范圍。

圖3 軟巖破壞面傾角與偏差應力的關系Fig.3 The inclination angle of failure surface of rock mass and the stress of deviation

3 基于概率方法的軟巖破壞面傾角的確定

根據(jù)上述試驗數(shù)據(jù)，采用本文第2節(jié)所建立的破壞概率模型，計算水－應力作用下軟巖的破壞面傾角。試驗中具有類似破壞面類型的軟巖試樣，取其代表性破壞面進行分析，其分析結果代表該類破壞面的傾角大小。這里，以水－應力作用下軟巖三軸壓縮試驗中的試樣Ⅱ-Ⅰ為研究對象進行破壞概率方法的破壞面傾角分析。

根據(jù)試樣Ⅱ-Ⅰ的破壞軌跡圖（圖4），提取出其表面破壞點的分布軌跡，如圖4中所示的軌跡線1和軌跡線2，使用Matlab提取破壞點x，y方向的坐標，根據(jù)其125個破壞點的坐標分布，代入式（2）中得到：

圖4 試樣Ⅱ-Ⅰ破壞形態(tài)及其破壞軌跡圖Fig.4 The failure form and its failure path of the sampleⅡ-Ⅰ

將式（13）代入式（11）可得：

式（12）即為基于概率分析方法的水－應力作用下軟巖試樣Ⅱ-Ⅰ的破壞面傾角，其值為61.9°。

4 基于破壞概率方法計算的軟巖破壞面傾角的結果對比與驗證

將軟巖破壞面傾角的破壞概率方法計算所得到的破壞面傾角分別與Mohr-Coulomb方法的計算結果及試驗結果進行對比，得到的分析結果如表3所示，其中，Mohr-Coulomb傾角為63.5°，φ為37°，由試驗值通過莫爾圓確定。

從表3中可以看出，采用概率分析方法計算得到的軟巖破壞面傾角值范圍為57.4°～81.3°，其比較集中的區(qū)域為64.1°～68.4°，其破壞面傾角的平均值為69.2°；三軸試驗得到的破壞面傾角范圍為50.3°～80.2°，其破壞面傾角平均值為68.0°。與試驗結果相比，概率分析方法的誤差范圍為0.4％～19.8％，與試驗傾角平均值的誤差為1.6％。除個別數(shù)據(jù)外，大部分結果十分接近。24個軟巖試樣中，15個軟巖試樣的破壞面傾角誤差在5％以內，5個軟巖試樣的誤差超過10％，分別為試樣Ⅱ－Ⅲ、Ⅱ-Ⅳ、1－2、2－2和2－3。從巖樣本身的觀察而言，可能是顆粒與裂隙分布不均所導致該兩個軟巖試樣內部存在明顯的缺陷，導致多個潛在破壞面存在，導致最終破壞面的隨機性加大，最后的誤差也較大。

采用經(jīng)典Mohr-Coulomb方法，破壞面的傾角為45°＋φ／2，結合試驗計算得到的軟巖樣品的破壞面傾角為63.5°，與試驗結果相比，其破壞面傾角的誤差范圍為0.2％～20.8％，與試驗傾角平均值的誤差為6.6％。24個軟巖試樣中，7個軟巖試樣的破壞面傾角誤差在5％以內，10個軟巖試樣的誤差超過10％。

上述分析表明：概率分析方法計算得到的破壞面傾角平均值誤差1.6％遠小于Mohr-Coulomb方法計算得到破壞面傾角平均值誤差6.6％。且在24個軟巖試樣中，概率分析方法的破壞面傾角誤差在5％以內的試樣有15個，Mohr-Coulomb方法只有7個；概率分析方法的破壞面傾角誤差在10％以上的試樣只有5個，而Mohr-Coulomb方法有10個。說明采用概率分析方法得到的破壞面傾角的誤差更小，更貼近水－應力作用下軟巖的三軸壓縮試驗結果。

此外，采用Mohr-Coulomb強度準則得到的破壞面傾角是一個定值，而概率分析方法考慮了軟巖在應力作用下其微裂隙的隨機分布和水－應力的綜合影響，因而得到的是一個范圍，概率分析方法更符合實際情況，具有更好的合理可靠性。

表3 概率分析方法與Mohr-coulomb的破壞面傾角結果對比Table 3 The contrast between the result of Probability analysismethod and Mohr-coulomb

5 圍壓和水對軟巖破壞面傾角的影響

5.1 圍壓對軟巖破壞面傾角的影響

從表2可以得知，天然狀態(tài)下0MPa圍壓時軟巖的破壞面傾角分別為65.4°，71.4°，66.5°，80.2°，67.4°和50.3°；1MPa圍壓時軟巖的破壞面傾角為67.9°，75.4°和67.2°，66.1°，72.4°和78.1°。圍壓的增大會對粉砂質泥巖破壞面的傾角產(chǎn)生影響?？紤]到軟巖破壞面傾角具有一定的隨機性，而軟巖試樣2－3和4－3的破壞面傾角為50.3°和78.1°，與其他試樣的破壞面傾角偏差較大，可以認為具有較大的誤差。忽略其破壞面傾角影響，得到0MPa圍壓時軟巖破壞面傾角的平均值為70.1°，1MPa圍壓時軟巖破壞面傾角的平均值為67.9°，結果顯示，天然狀態(tài)下軟巖在1MPa圍壓下的破壞面傾角平均值小于0MPa圍壓下其破壞面傾角的平均值，圍壓與破壞面傾角呈負相關關系，與砂巖的規(guī)律一致。

從表2中可以得知，飽水狀態(tài)下0MPa圍壓時軟巖的破壞面傾角為69.1°，74.3°，63.6.°，66.1°，72.4°和78.1°，其平均破壞面傾角為69°；飽水狀態(tài)下的破壞面傾角為70.2°，73.8°，65.7°53.2°，67.7°，65.8°。其中，軟巖試樣Ⅰ－Ⅱ，3－1和Ⅰ－Ⅵ的偏差過大，忽略其影響，得到飽水狀態(tài)下0MPa圍壓時軟巖破壞面傾角的平均值為69.7°，飽水狀態(tài)下1MPa圍壓時軟巖破壞面傾角的平均值為68.8°。結果顯示，飽水狀態(tài)下軟巖在1MPa圍壓下的破壞面傾角平均值小于0MPa圍壓下其破壞面傾角的平均值，圍壓與軟巖破壞面傾角呈負相關關系。

5.2 含水量對軟巖破壞面傾角的影響

將飽水狀態(tài)與天然狀態(tài)下的軟巖破壞面傾角進行對比分析，忽略試驗誤差較大的軟巖試樣4－3，3－1，Ⅰ－Ⅱ和Ⅰ－Ⅵ，結果顯示，在0MPa圍壓下，飽水狀態(tài)的軟巖破壞面的傾角的平均值為70.5°，天然狀態(tài)的軟巖破壞面傾角的平均值為70.2°，飽水狀態(tài)下軟巖破壞面的平均傾角稍大于天然狀態(tài)下的軟巖傾角平均值；在1MPa圍壓下，飽水狀態(tài)的軟巖破壞面傾角的平均值為69.1°，天然狀態(tài)的軟巖破壞面傾角的平均值為68.7°，飽水狀態(tài)下其破壞面傾角的平均值稍大于天然狀態(tài)下傾角的平均值。由上述分析可得，對于該類軟巖試樣，其在飽水狀態(tài)下破壞面的傾角與天然狀態(tài)下破壞面的傾角相差不大。

6 結 論

（1）本文基于應力作用下軟巖微裂隙的隨機分布特征，從概率分析角度，通過對破壞點隨機分布的考慮，建立了其破壞概率分析模型，用來計算應力作用下軟巖的破壞面傾角，在探討水－應力作用下軟巖破壞面傾角計算問題上進行了一次嘗試。

（2）將軟巖破壞面傾角的破壞概率方法計算所得到的破壞面傾角分別與Mohr-Coulomb方法的計算結果及試驗結果進行對比。結果表明，軟巖破壞面概率分析傾角是一個范圍值，且誤差比Mohr-Coulomb傾角的誤差小，說明了概率分析方法在分析計算水－應力作用下軟巖的破壞面傾角方面比Mohr-Coulomb強度準則具有更好的合理可靠性。

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PROBABILITY ANALYSIS OF THE INCLINATION ANGLE OF FAILURE SURFACE OF ROCK MASS IN HYDRAULIC-MECHANICAL COUPLING CONDITION

YIChengcheng①②LIU Zhen①②③ZHOU Cuiying①②
（①School of Engineering，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510006）
（②Research Center for Geotechnical Engineering and Information Technology，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275）
（③School of Marine Science，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275）

The inclination angle of the failure plane of rock mass is the angle between the fracture surface and the maximum principal stress，it is an important parameter in the design of the rock engineering projects，and serves as an important basis for the security warning in engineering projects.The inclination angle of the failure surface of rock mass is influenced by the stress，fabric，water and other factors，giving rise to great uncertainty in thedetermination of the inclination angle of the failure surface，especially for weak rock mass.The inclination angle of failure surface is 45°＋φ／2 as given by the Mohr-Coulomb failure criterion and it is a constant.In fact，the inclination angle of failure surface is found to fall in a range instead of being constant，so it is necessary to carry out a study on the inclination angle of failure surface.By focusing on the failure of the silty mudstones under the hydraulic-mechanical coupling condition，which is a typical soft rock in the red beds in South China，this paper has derived a mathematical expression of the inclination angle of failure surface of rock mass，with the use of the probability distribution function of micro cracks in the rock mass.Three axial compression tests have been done under the hydraulic-mechanical coupling condition in the TAW-100（hydro-mechanical coupling and mciromechanical triaxial test equipment with servo-control loading system）.According to the derived mathematical expression，the range of the inclination angle of failure surface is determined to be 50.3°～80.2°with the confining pressure being 0 and 1MPa.Furthermore current results are compared with the prediction of the Mohr-Coulomb theory，aswell as the experimental results.It is found that the results obtained by themethod of probability is close to the experimental results，suggesting that thismethod is reasonable and reliable.

Soft rock，Hydraulic-mechanical coupling condition，Three axial compression test，Inclination angle of failure surface，Probability analysis

TU45

：A

10.13544／j.cnki.jeg.2016.06.028

2015－08－30；

2015－09－29.

國家自然科學基金重點項目、面上項目（41030747，40672194，41472257），國家自然科學基金科學儀器基礎研究專項（41227002），廣東省自然科學基金重點項目（S2011020001229）資助.

易成城（1989－），男，碩士生，主要從事巖土工程研究工作.Email：328186288＠qq.com

周翠英（1963－），女，博士，教授，博士生導師，主要從事巖土工程、地質環(huán)境等教學和科研工作.Email：ueit＠m(xù)ail.sysu.edu.cn通訊作者簡介：劉鎮(zhèn)（1982－），男，博士，副教授，主要從事巖土工程的教學和科研工作.Email：liuzh8＠m(xù)ail.sysu.edu.cn