GF-空間上Nash平衡的存在性結(jié)果

計 偉，張珺銘

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

GF-空間上Nash平衡的存在性結(jié)果

計 偉，張珺銘

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

在抽象凸空間中，給出GF-空間和強Fan-Browder不動點性質(zhì)的定義，并且在GF-空間中，應(yīng)用抽象函數(shù)代替實值函數(shù)作為博弈支付函數(shù)，構(gòu)造GF-空間中博弈模型，應(yīng)用強Fan-Browder不動點性質(zhì)證明GF-空間上博弈模型Nash均衡點的存在性.同時也證明了在度量空間和緊拓?fù)淇臻g上的閉值KKM映射具有有限交性質(zhì).

GF－空間；Nash平衡點；不動點性質(zhì)；博弈模型

1944年，von Neumann和Morgenstern合作出版了《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》一書，宣告博弈論正式誕生. 1950年，Nash應(yīng)用集值映射的Kakutani不動點定理證明了n人博弈均衡點的存在性，1951年，他又應(yīng)用連續(xù)映射的Brouwer不動點定理證明了非合作博弈均衡點的存在性.之后，博弈論的研究非?；钴S，取得了許多重要成果，并且先后在1994年、1996年、2001年、2005年、2007年和2012年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎授予了從事博弈論研究和應(yīng)用的學(xué)者.可以說，博弈思想與方法的應(yīng)用廣泛而深刻，因為它抽象地分析了利益沖突問題，而且成為經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文科學(xué)、社會科學(xué)普遍認(rèn)可的、充滿生機活力的工具和語言，同時也展示了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文科學(xué)、社會科學(xué)的交叉與融合[1－7].

1 預(yù)備知識

首先，介紹如下引理.

引理1.1 設(shè)Y為線性拓?fù)淇臻g中的某一列緊凸子集，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，p:Y→Δn為連續(xù)的單純型映射，F(xiàn):Δn→2Y上半連續(xù)且非空閉凸值，則p°F:Δn→2Δn存在不動點.

定義1.1 設(shè)Y為拓?fù)淇臻g，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，F(xiàn):Δn→2Y，如果對每一連續(xù)的單純型映射p:Y→Δn，:Δn→2Δn在單純型Δn中具有不動點，則稱F關(guān)于單純型映射具有不動點性質(zhì).

由引理1.1及定義1.1，若Y為線性拓?fù)淇臻g中的某一列緊凸子集，則任意上半連續(xù)、非空閉凸值映射F:Δn→2Y關(guān)于任一單純型映射具有不動點性質(zhì).

則稱(Y，C)為GF－空間.

由引理1.1及定義1.2，可推出如下結(jié)論[8－12].

命題1.1 若Y為賦范空間的某一緊凸子集，C為Y上的某一抽象凸結(jié)構(gòu)，q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空閉凸值，且滿足:

則(Y，C)為GF－空間.

定義1.3 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為拓?fù)淇臻g，稱Y具有Fan－Browder不動點性質(zhì)，如果對任意的非空凸值且開逆值的映射F:Y→2Y，F(xiàn)在Y中存在不動點.

定義1.4 設(shè)X是一個Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，C是X中的非空子集，如果對任意的x∈C，對任意的λ＞0，都有λx∈C，則稱C是X中的一個錐，此時必有λC＝C.如果錐C是閉集，則稱C是閉錐，此時必有0∈C.如果錐C是凸集，則稱C是凸錐，此時必有C＋C＝C.如果C是錐，且對任意的x∈C{0}，必有－x?C，則稱C是尖錐.

定義1.5 設(shè)X，Y是兩個拓?fù)淇臻g，K是X中的一個非空子集，集值映射F:K→P0(Y)，x∈K，若對任何Y中的開鄰域G，滿足G?F(x)，都存在x在X中的開鄰域O(x)，使得對任意的x'∈O(x)都有F(x')?G，則稱F在x處是上半連續(xù)的，如果F在K上每一點均是上半連續(xù)的，則稱F在K上是上半連續(xù)的；若對任何Y中的開鄰域G，滿足G∩F(x)≠?，都存在x在X中的開鄰域O(x)，使得對任意的x'∈O(x)都有F(x')∩G≠?，則稱F在x處是下半連續(xù)的；如果F在K上每一點均是下半連續(xù)的，則稱F在K上是下半連續(xù)；

若F在x處既上半連續(xù)又下半連續(xù)，則稱F在x處是連續(xù)的，如果F在K上每一點均是連續(xù)的，則稱F在K上是連續(xù)的[13－15].

2 主要結(jié)論

定理2.1 設(shè)(Y，C)為GF－空間，Y為度量空間，F(xiàn):Y→2Y為一閉值的KKM映射，則{F(y):y∈Y}具有有限交性質(zhì).

證明:用反證法.設(shè)F:Y→2Y為一閉值的KKM映射，若{F(y):y∈Y}不具有有限交性質(zhì)，則存在某一有限集于是作單位分解如下:

由(Y，C)為GF－空間，于是存在q:Δn→2Y關(guān)于單純型映射具有不動點性質(zhì)，且滿足:

因為緊空間的開覆蓋一定存在單位分解，因此定理2.1中Y為度量空間，也可以改為緊拓?fù)淇臻g，即有下述結(jié)果.

定理2.2 設(shè)(Y，C)為GF－空間，Y為緊拓?fù)淇臻g，F(xiàn):Y→2Y為一閉值的KKM映射，則{F(y):y∈Y}具有有限交性質(zhì).

定義2.3 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為拓?fù)淇臻g，稱Y具有強Fan－Browder不動點性質(zhì)，如果對任意的非空弱凸值且開逆值的映射F:Y→2Y，F(xiàn)在Y中存在不動點.

由定理2.2，可得如下結(jié)論.

定理2.3 設(shè)(Y，C)為GF－空間，且Y為緊拓?fù)淇臻g，則Y具有具有強Fan－Browder不動點性質(zhì).

下面給出引理2.1的一個推廣結(jié)果(參見文獻(xiàn)[10]引理2.9.3).

引理2.2 設(shè)Y為緊拓?fù)淇臻g，Δn＝e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，p:Y→2Δn連續(xù)的單純型映射，F(xiàn):Δn→2Y上半連續(xù)且非空緊可縮值的(即對每一y∈Y，F(xiàn)(y)是一緊可縮的集合)，則p°F:Δn→2Δn存在不動點.

由引理2.2及定義2.2，可推出如下結(jié)論.

命題2.2 設(shè)(Y，C)為抽象凸空間且Y為緊拓?fù)淇臻g，對每個有限集e0e1…en為一標(biāo)準(zhǔn)單純型，若存在q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空閉凸值，且滿足:

則(Y，C)為GF－空間.

為了方便討論，我們把滿足上述條件的GF－空間定義為GF0-空間.

則稱(Y，C)為GF0－空間.

對于抽象凸空間來說，下述命題及其證明將說明上半連續(xù)集值映射比較容易構(gòu)造.

命題2.3 設(shè)(Y，C)是一個抽象凸空間，對每一個有限集標(biāo)準(zhǔn)單純型，定義q:Δn→2Y如下:

則q:Δn→2Y上半連續(xù)、非空凸值，且滿足:

下面考慮如下博弈模型:

設(shè)E為Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，C為E中某一個閉凸尖錐.

(1)設(shè)N＝{1，2，…，n}為局中人集合；

(2)對任意?，局中人i的策略集為Xi，×為策略組合空間，其中(Xi，C)、(X，C)為GF－空間；

(3)對局中人X，定義向量值支付函數(shù)為映射fi:

則稱x*∈x為博弈Γ的Nash平衡點.

下面給出GF－空間中Nash平衡的存在性結(jié)果.

定理2.4 設(shè)博弈為Γ＝{N；X；E，C；f1，f2，…，fn}，且滿足:

(1)對任意的i∈N，Xi是緊GF－凸集；

(2)對任意的i∈N，fi在X上上半連續(xù)；

(3)對任意的i∈N，對任意xi∈Xi，fi(xi，x－i)在X－i上是下半連續(xù)的；

(4)對任意的i∈N，對任意x－i∈X－i，xi→fi(xi，x－i)在Xi上是GF－擬凹.

則:博弈Γ存在Nash平衡點.

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[15]俞建.博弈論與非線性分析[M].北京:科學(xué)出版社，2008.

(責(zé)任編輯:付強，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Result of Nash equilibrium existence in GF-space

JI Wei，ZHANG Jun-ming
(Guizhou Polytechnic of Construction，Guiyang 551400，P.R.C.)

In the abstract convex space，the definitions of GF－space and property of strong Fan-Browder fixed point are given. And in GF－space，real value function is used，instead of abstract function，as game pay function to construct game model in GF space.The property of Strong Fan-Browder fixed point is used to prove the existence of Nash Equilibrium Point of game model in GF-Space and the property of finite commutation of the closed KKM mapping is proved in metric space and compact space.

GF－space；Nash equilibrium；property of fixed point；game model

O225

A

2095-4271(2016)06-0688-04

10.11920/xnmdzk.2016.06.016

2016-04-17

計偉(1984-)，男，漢族，貴州遵義人，助教.研究方向:博弈論與非線性分析、最優(yōu)化理論與方法研究.E-mail:jiwei10000＠126.com