走出慣性思維的“怪圈”

潘靜

（宜興丁蜀中等專業(yè)學(xué)校，江蘇宜興 214221）

走出慣性思維的“怪圈”

潘靜

（宜興丁蜀中等專業(yè)學(xué)校，江蘇宜興 214221）

數(shù)學(xué)教學(xué)中，慣性思維能讓學(xué)生對(duì)同類問題的處理“輕車熟路”、“游刃有余”，積極作用毋庸置疑，教師應(yīng)該正確引導(dǎo)學(xué)生突破慣性思維的負(fù)效應(yīng)，轉(zhuǎn)知為能，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)反展。

慣性思維；逆向思維；變式訓(xùn)練

慣性思維是由先前的活動(dòng)而造成的一種對(duì)活動(dòng)的特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)，或活動(dòng)的傾向性，是依據(jù)長(zhǎng)期積累的思維活動(dòng)規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，在反復(fù)實(shí)踐中形成的定型化的思維方式、軌跡、流程、模式。一般分為兩種：一種是積極的，有助于分析和解決新問題，具有正面效應(yīng)；另一種是消極的，容易阻礙學(xué)習(xí)者理解和探究新的規(guī)律，負(fù)面效應(yīng)明顯[1]。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值在于問題的解決。解數(shù)學(xué)問題的一般模式是把有待解決的問題化歸為曾經(jīng)解決過的問題，其過程體現(xiàn)了思維的定向性和連續(xù)性。慣性思維不斷潛移默化地影響著學(xué)生的解題，有時(shí)表現(xiàn)為靈活應(yīng)變，觸類旁通，促進(jìn)問題有效、快捷地解決；有時(shí)則會(huì)滋生消極作用，使思路閉塞，導(dǎo)向歧途，形成思維惰性[2]。因此，教師應(yīng)采取“揚(yáng)正避負(fù)”的有效策略，正確引導(dǎo)學(xué)生走出慣性思維的“怪圈”。

1 逆向思維覓拓展

逆向思維即反著思考問題，它要求學(xué)生從不同的視角、不同的層面、不同的立場(chǎng)去分析思考。逆向思維有兩類經(jīng)典策略。

1.1 喧賓奪主

在一些數(shù)學(xué)問題中常常含有多個(gè)變量，其中有一個(gè)變量處于主導(dǎo)地位，稱之為主元，其他的變量一般視為參變量即參數(shù)，學(xué)生在長(zhǎng)期反復(fù)的解題訓(xùn)練中已經(jīng)形成一定的解題套路，解此類題型始終抓住主元。但在某些特定的命題條件下，慣性思維卻嚴(yán)重制約了思路的拓展，必須另辟蹊徑，變更主元。

例1：已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，存在實(shí)數(shù)x0，且有|x0|≥3，使得f(x0)=0，求a2+4b2的最小值。

分析：此題表面來看，是一元二次方程區(qū)間根的分布問題。倘若喧賓奪主，以a，2b為主元，把x0看作參數(shù)，那么可將方程+ax0+b=0改寫為+ax0+(2b)=0，再將a換成x，2b換成y，方程變?yōu)閤0x+y+=0，此時(shí)這個(gè)方程可視為關(guān)于x，y的二元一次方程，(a，2b)為它的一組解。從幾何意義角度理解目標(biāo)式a2+4b2可以看作動(dòng)直線（x0在變化）x0x+y+x20=0上一動(dòng)點(diǎn)(a，2b)到原點(diǎn)的距離的平方，其最小值只需考慮原點(diǎn)到直線的距離的最小值，通過兩邊平方，令進(jìn)行換元，拆分后轉(zhuǎn)化為函數(shù)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出最小值。

構(gòu)造出關(guān)于(a，2b)的二元一次方程，巧妙地反客為主，是打破慣性思維僵局，拓展解題新思路的關(guān)鍵。

1.2 棄正取反

在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，正面入手比較麻煩或情況過多時(shí)，應(yīng)采用迂回戰(zhàn)術(shù)，正難則反，大大簡(jiǎn)化解題的工作量，提高準(zhǔn)確率。

例2：A、B、C三位同學(xué)參加一家公司的面試，通過的概率分別為，求至少一位通過面試的概率。

解析：此題若從正面入手，必須考慮“A通過B通過C通過，A通過B通過C不通過，A通過B不通過C通過，A不通過B通過C通過，A通過B不通過C不通過，A不通過B不通過C通過，A不通過B通過C不通過”七種情況概率之和，情況偏多，運(yùn)算復(fù)雜，稍有不慎，難免出錯(cuò)。換種思維角度，棄正取反，只需盯住它的對(duì)立事件，即三位同學(xué)都不通過的概率來求解，顯然只有一種情況，簡(jiǎn)單明了。

2 尋根究底溯本源

數(shù)學(xué)問題的本源也就是數(shù)學(xué)教材中隱性的知識(shí)以及具有基礎(chǔ)性、啟發(fā)性、衍生性的有價(jià)值的知識(shí)。教師在教學(xué)中往往受制于教學(xué)進(jìn)度和知識(shí)容量，忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，嚴(yán)重影響了學(xué)生對(duì)問題背后的基本概念的正確認(rèn)知和理解。

分析：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性有力的武器，由于步驟簡(jiǎn)單，方法明確，深受教師和學(xué)生的偏愛。很多教師反復(fù)向?qū)W生強(qiáng)化解題意識(shí)：只要遇到關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的問題，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)其正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間。若條件給出單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)式中參變量的取值范圍，那么特別注意增區(qū)間對(duì)應(yīng)列式為導(dǎo)函數(shù)非負(fù)恒成立，減區(qū)間對(duì)應(yīng)列式為導(dǎo)函數(shù)非正恒成立。學(xué)生在反復(fù)訓(xùn)練中形成了約定俗成的思維慣性。比如此題，幾乎所有的學(xué)生都會(huì)先求出導(dǎo)函數(shù)似乎合情合理，但細(xì)心查看會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果把端點(diǎn)值代回原函數(shù)化簡(jiǎn)得是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，因此，要去掉a=，從而此題的正確結(jié)論是

3 深度變式促提升

在函數(shù)奇偶性的教學(xué)中，教師不斷強(qiáng)化判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟：（1）判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）驗(yàn)證f(-x)和f(x)的關(guān)系，若f(-x)＝-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(-x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)。學(xué)生反復(fù)練習(xí)，對(duì)此解題技能已形成了慣性思維，條件反射，即使問題情境變化時(shí)，也不能具體問題具體分析，依然對(duì)解題步驟張冠李戴。

例4：已知函數(shù)f(x)＝x2+|| x-a+1，a∈R,判斷函數(shù)的奇偶性。

分析：學(xué)生觀察函數(shù)解析式的形式為整式型，對(duì)自變量x 沒有任何限制條件，只需驗(yàn)證f(-x)和f(x)的關(guān)系，即可判斷奇偶性。

解法：f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

筆者統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，近80%的同學(xué)采用這種錯(cuò)誤解法。大多數(shù)同學(xué)都牢記判斷奇偶性的步驟，機(jī)械化操作，根本沒有關(guān)注參數(shù)a 的影響（需要討論），沒有洞悉奇偶性深層次的含義，不能靈活應(yīng)對(duì)發(fā)生變化的問題情境，凸顯慣性思維在解題技能上的消極作用。

為了讓學(xué)生避免慣性思維的認(rèn)知錯(cuò)誤，筆者特意設(shè)計(jì)一個(gè)題組變式訓(xùn)練如下：

（1）若函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[a，1-2a]上的奇函數(shù)，求a的值。

（3）若函數(shù)f(x)＝aex-e-x為偶函數(shù)，求a的值。

8 個(gè)小題，從判斷奇偶性的各個(gè)層面實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)發(fā)散，循序漸進(jìn)。第（1）題考查函數(shù)具備奇偶性的大前提——定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第（2）、（3）題考查已知奇偶性求參數(shù)的值，提醒學(xué)生注意可以用奇偶性定義證明的步驟求解，也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算用特殊值法求解，但（2）中不能用f(0)＝0，避免思維定式的錯(cuò)誤，由于定義域中沒有零，故只能用f(-1)+f(1)＝0來求解，（3）中用f(-1)＝f(1)，兼顧數(shù)學(xué)思維的縝密性，得出參數(shù)a的值后需要回代檢驗(yàn)；第4題意在強(qiáng)調(diào)定義域不滿足條件，可直接判斷為非奇非偶函數(shù)，無需驗(yàn)證f(-x)和f(x)＝的關(guān)系；第（5）題表象帶有欺騙性，容易誤導(dǎo)，要先根據(jù)定義域去掉分母絕對(duì)值的干擾，化簡(jiǎn)后即可明確其為奇函數(shù)；第（6）題重點(diǎn)突出既奇又偶函數(shù)的形式為f(x)＝0，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第（7）題分段函數(shù)奇偶性的判斷可以根據(jù)定義入手，分區(qū)間證明；也可以從圖像特征直觀判斷，若圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即為奇函數(shù)，若圖像關(guān)于y軸對(duì)稱即為偶函數(shù)，激發(fā)學(xué)生化數(shù)為形，以形助數(shù)的數(shù)學(xué)思維；第（8）題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注參數(shù)的影響，樹立分類討論的解題思想。

變式訓(xùn)練力求變中有序，變中出新，變中求深，要切合學(xué)生的最近反展區(qū)，要讓學(xué)生“跳一跳，摘得到”。學(xué)生通過題組的洗禮，很快解決了例4，具體如下：

解析：f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2+|| x+1，顯然f(-x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)；

解題教學(xué)中引入變式訓(xùn)練，可以有效突破慣性思維負(fù)面效應(yīng)，引發(fā)學(xué)生一題多變、一題多思，從而達(dá)到舉一反三，觸類旁通的理想效果，讓枯燥無趣的解題訓(xùn)練變得靈動(dòng)、智慧。

4 有效反思謀創(chuàng)新

“思接千載，視通萬里”，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的理想境界。教師的教與學(xué)生的學(xué)都提倡反思，學(xué)生解題后的反思，不能僅僅停留在對(duì)解題過程的常規(guī)回顧和簡(jiǎn)單羅列的膚淺層面，而應(yīng)深入挖掘、收集解題活動(dòng)中涉及的思想、方法、經(jīng)驗(yàn)、規(guī)律等。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生有目的、有方向地反思解題過程中蘊(yùn)含的思想，涉及的方法，易錯(cuò)的細(xì)節(jié)，呈現(xiàn)的規(guī)律等等。這樣學(xué)生才能最大程度抵御慣性思維的負(fù)面影響，選擇的方法更趨于自然、理性，對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的掌握提升到更高的水平。

例5：已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(1,4)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與||

PA之和的最小值并確定點(diǎn)P位置。例5的解題核心在于距離的轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)拋物線的定義，從知識(shí)本源入手，適度轉(zhuǎn)化，源于本質(zhì)，高于本質(zhì)。具體實(shí)施涉及兩次轉(zhuǎn)化，首先將點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離減去焦準(zhǔn)距的一半，然后再將點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，而A，F(xiàn)位于拋物線的兩側(cè)，從幾何意義角度考慮，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)滿足條件，故連結(jié)AF即可解決。

學(xué)生在反思中甄別，在反思中創(chuàng)新，逐漸形成對(duì)負(fù)面慣性思維的免疫力，合理選擇方法，提高探究能力。數(shù)學(xué)教學(xué)是知識(shí)的傳授，更是智慧的創(chuàng)新，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生形成有效、靈動(dòng)的慣性思維，在好奇、質(zhì)疑、探究中拓展新思路，揭示新規(guī)律[3]。

[1]范良火.數(shù)學(xué)算數(shù)——英國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會(huì)報(bào)告[R].北京：人民教育出版社，1994.

[2]張曉貴.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的社會(huì)研究[M].合肥：安徽教育出版社，2007.

[3]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.

（責(zé)任編輯 劉紅）

Out of the"Circle"of Conventional Thinkingg

PAN Jing
(Dingshu Secondary Specialized School,Yixing Jiangsu 214221,China)

In the teaching of mathematics,conventional thinking can help students on similar problems with"hun?dreds of times","easily",a positive role undoubtedly,teachers should guide students to correct the negative effect of breakthrough thinking,thereby to promote students sustainable development.

conventional;reverse thinking;variant training

G718.3

B

1671-0142（2016）06-0025-03

潘靜（1984-），女，江蘇宜興人，講師.