基于軌道器的火星著陸器定位及精度分析

徐晴牛俊坡施偉璜謝攀

（1 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109）

（2 上海市深空探測技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

基于軌道器的火星著陸器定位及精度分析

徐晴1,2?？∑?,2施偉璜1,2謝攀1,2

（1 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109）

（2 上海市深空探測技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

文章結(jié)合中國首次自主火星探測任務(wù)，提出以軌道器為中繼站的火星著陸器測量定位方法，采用雙程多普勒測速方式，快速獲得著陸點(diǎn)位置坐標(biāo)，旨在分析軌道器與著陸器間不同測量方式、不同誤差源影響下著陸器的定位精度以及位置誤差分布情況。該手段充分利用軌道器和著陸器特高頻器間通信鏈路，達(dá)到提高著陸器落點(diǎn)精度的目的。分析結(jié)果表明：軌道器軌道參數(shù)誤差是影響著陸器最終定位精度的關(guān)鍵誤差源；軌道器的軌道類型不同，著陸器的定位精度也會受到影響，基于非回歸軌道的軌道器環(huán)繞測量，著陸器的定位精度更高；單個軌道器單軌測量，著陸器定位精度在102km量級；若采用2軌環(huán)繞測量，著陸器定位精度可以提高到10km以內(nèi)，若圈數(shù)繼續(xù)增加，定位精度能提高到5km以內(nèi)。著陸器最終位置誤差呈橢圓分布?；谲壍榔鞯沫h(huán)繞測量方式簡單有效，具有一定的實(shí)踐指導(dǎo)意義。

中繼通信 多普勒測速 誤差橢圓 火星探測

0 引言

火星因其物理特性與地球相似一直是近十幾年來深空探測的熱點(diǎn)，國際上不斷獲取的科學(xué)數(shù)據(jù)多次表明火星表面存在“液態(tài)水”。到目前為止，美國“火星勘探軌道器”（Mars Reconnaissance Orbiter，MRO）探測結(jié)果表明，火星中緯度地區(qū)曾廣泛分布流動冰。“鳳凰號”探測發(fā)現(xiàn)高氯酸鹽存在的痕跡。通過對火星的探索活動，有助于理解火星上的生命起源，同時也是促進(jìn)多種基礎(chǔ)學(xué)科交叉融合發(fā)展的重要手段。從長遠(yuǎn)著眼，我國首次自主火星探測任務(wù)集“繞、落、巡”三步一體，有利于推動國家綜合國力和科技水平的發(fā)展，具有開啟月球以外深空探測里程碑的深遠(yuǎn)意義。

火星探測器飛行全過程以地面無線電導(dǎo)航與軌道遞推為主。無線電測量元素包括偽碼/側(cè)音測距、多普勒測速以及測角，我國探月工程二期“嫦娥三號”采用X頻段測距測速聯(lián)合甚長基線干涉測量（Very Long Baseline Interferometry，VLBI）測角進(jìn)行定位[1-2]，著陸器月面定位誤差50m。2011年發(fā)射的“好奇號”采用ΔDOR型VLBI時延誤差降至0.04ns，測角精度達(dá)到毫角秒；我國VLBI網(wǎng)（Chinese VLBI Net, CVN）對“火星快車”進(jìn)行數(shù)次觀測，當(dāng)時延精度為2～5ns時，“火星快車”測角精度約為0.1角秒[3]?？偟膩碚f，我國在火星探測精密定軌方面與國際先進(jìn)水平相比，仍存在一定差距。文獻(xiàn)[4]指出美國火星車的定位運(yùn)用了航跡推算、太陽圖像確定方位角、光束法平差定位以及視覺測程等手段，這些僅利用星上傳感器和影像定位的方法受火星地形及大氣影響大，累積誤差隨時間的推移而不斷增加。美國探測器從“機(jī)遇號”和“勇氣號”開始[5]，利用軌道器與著陸器的器間特高頻（Ultra High Frequency，UHF）通信手段，在著陸器/火星車表面巡視中實(shí)施導(dǎo)航定位[6]，以彌補(bǔ)地面測控站無法與著陸器通信的盲區(qū)限制。

針對我國首次自主火星探測任務(wù)，本文提出基于軌道器的火星著陸器定位方法，快速獲得著陸點(diǎn)位置坐標(biāo)；同時在工程約束下，分析器間單軌/多軌測量、不同誤差源對著陸器的定位精度、誤差分布的影響。該手段作為地面深空網(wǎng)測定軌方式的有益補(bǔ)充，可以有效提高火星車定位精度，本文的研究結(jié)果可為我國后續(xù)火星探測任務(wù)提供一定參考。

1 定位數(shù)學(xué)模型

基于我國火星探測的背景下，本文提出單個軌道器對著陸器的靜態(tài)定位方法。探測器與地面采用X頻段通信，軌道器與著陸器之間采用UHF頻段收發(fā)信機(jī)提供射頻信道，本文采用雙程無源反射測速方式，著陸器的UHF收發(fā)信機(jī)提供雙向載波多普勒跟蹤信標(biāo)，軌道器的UHF收發(fā)信機(jī)提取返向信號載波多普勒信息。無線電定位示意如圖1所示。軌道器發(fā)射電磁波，著陸器接收輸入載波信號后透明轉(zhuǎn)發(fā)，再由軌道器接收并解調(diào)出數(shù)據(jù)信號，完成軌道器與著陸器間的距離測量，結(jié)合軌道器的軌道參數(shù)及星歷時間，通過火星慣性系與固連系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，再基于迭代優(yōu)化的最小二乘算法，最終得到著陸器在火表上的位置參數(shù)[7]。

軌道器接收機(jī)測得不同tk時刻頻移量Δfk為：其中m為總的測量數(shù)據(jù)個數(shù)。則頻移與相對徑向速度的關(guān)系為：

式中 Vkr為軌道器與著陸器相對徑向速度；f0為軌道器發(fā)射信號的基頻；c為光速，忽略相對論效應(yīng)；vrx,k,vry,k,vrz,k分別為Vkr在固連坐標(biāo)系下的三個分量。

將軌道器與著陸器的位置和速度狀態(tài)參數(shù)統(tǒng)一到火星赤道固連坐標(biāo)系?；鹦枪踢B坐標(biāo)系Ofix-XfixYfixZfix的定義如圖2所示。坐標(biāo)系原點(diǎn)Ofix為火星質(zhì)心，Xfix在火星赤道面內(nèi)指向零度經(jīng)線方向，即Ariy-0環(huán)形山方向，Zfix與火星自旋軸重合，Yfix與Xfix、Zfix滿足右手定則。

圖1 軌道器與著陸器間無線電定位示意圖Fig.1 The diagram of radio positioning between orbiter and lander

圖2 火星固連坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Mars fixed coordinated system diagram

假設(shè)tk時刻軌道器的位置Xfix,k與速度參數(shù)Vfix,k分別為：其中，分別為X和V在固連坐標(biāo)系下的fix,kfix,k三個分量，由地面測定；著陸器的位置為xL,yL,zL為著陸器位置在固連坐標(biāo)系下的三個分量，即待求量，速度為tk時刻兩者的相對位置和相對速度為分別為Xrel,k,Vrel,k，則軌道器接收機(jī)解調(diào)后的信號頻移量表達(dá)式為：

2 迭代最小二乘及三角分解

迭代最小二乘以相鄰迭代值的方差最小為準(zhǔn)則，通過反復(fù)迭代直到估計(jì)值收斂到某個值。式（2）表征觀測量Δfk與狀態(tài)量xL間非線性的觀測方程，應(yīng)用Taylor級數(shù)展開，給定著陸器位置估計(jì)初值r0，利用一系列不同時刻軌道器接收機(jī)解調(diào)后的頻移量迭代修正初值，最終得到著陸器的火心經(jīng)度和緯度。假定即為觀測量Δfk，通過Taylor級數(shù)一階展開后得到：

式中 Hk為觀測量關(guān)于狀態(tài)量xL的一階導(dǎo)數(shù)，其各個分量表達(dá)式為：

定義雅克比矩陣Bn為：

式中 n為迭代次數(shù)，初值為1。假定ΔfD,n為通過最小二乘第n次迭代后修正的頻移量與實(shí)際解調(diào)頻移量的差值，則：

以rn+1作為下一輪迭代初值繼續(xù)優(yōu)化，直至rn+1-rn趨于小量，收斂于著陸器位置坐標(biāo)。

考慮到矩陣求逆可能出現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定差以及計(jì)算量大的問題，從傳統(tǒng)的最小二乘出發(fā)，提出了基于三角分解（又稱LU分解）的數(shù)值解算，避免矩陣求逆的過程。令則測量矩陣A為對稱正定矩陣，由線性代數(shù)的相關(guān)知識可以得到，A能夠進(jìn)行LU分解，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣[8]，具體表達(dá)式如下：

假定Δρn=rn+1-rn，因此，轉(zhuǎn)換為令UΔρ=y，原方程等價(jià)為：

先求得y值后再回代求解Δρn，避開矩陣求逆的過程。

3 不同誤差源對定位影響的分析

為驗(yàn)證本文提出的基于單個軌道器的火星著陸器靜態(tài)定位的可行性，下面給出仿真實(shí)例。軌道器選取兩種軌道類型：軌道I為3天回歸軌道；軌道Ⅱ?yàn)榉腔貧w軌道，升交點(diǎn)有漂移性；兩種軌道的近火點(diǎn)在北極，著陸器標(biāo)稱位置在赤道上。UHF信機(jī)基頻取400MHz，轉(zhuǎn)發(fā)比為1，多普勒測量準(zhǔn)確度取10mHz。仿真過程中著陸器定位精度受軌道器軌道參數(shù)誤差、UHF收發(fā)信機(jī)的基頻誤差、傳播過程中的電離層誤差、火星引力場模型的不確定性以及宇宙背景輻射等影響，本文主要考慮前三個主要誤差源，軌道參數(shù)誤差由地面測控站VLBI測量精度確定，基頻誤差由收發(fā)設(shè)備性能確定，傳播過程中電離層誤差與火星大氣模型有關(guān)。

3.1 收發(fā)信機(jī)的基頻誤差

軌道器雙程測速為閉環(huán)跟蹤模式，表征收發(fā)信機(jī)頻率標(biāo)準(zhǔn)源的性能指標(biāo)有頻率準(zhǔn)確度、頻率穩(wěn)定度和頻率漂移率。如果不考慮其他因素影響，雙程多普勒測量誤差在非差分情況下約為頻率標(biāo)準(zhǔn)源自身誤差的M倍。

式中 Δf~S為頻率標(biāo)準(zhǔn)源自身誤差；v1, v2為收發(fā)信機(jī)速度大小。該測量誤差取決于軌道器UHF信機(jī)短期穩(wěn)定度與轉(zhuǎn)發(fā)比，按照400MHz基頻計(jì)算，對高穩(wěn)晶振短穩(wěn)要求為10-11/s。

3.2 電磁波傳播速度誤差

目前國內(nèi)外尚未建立較為精確的火星大氣模型?；鹦谴髿夥謱α鲗印㈦婋x層以及高層大氣。對流層對電磁波傳播的影響在于：均勻的大氣層會產(chǎn)生折射，大氣湍流會產(chǎn)生閃爍。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[9]，火星對流層造成的閃爍影響為地球上的1/200；當(dāng)電磁波從天穹頂方向射入時，火星的折射度約為地球的1.2%。本文忽略火星對流層對電磁波傳播過程中折射和閃爍的影響?；鹦请婋x層在200km以下的大氣范圍內(nèi)，電子密度隨高度的變化采用Chapman模型[10]刻畫如下：

式中 Nm為電子密度峰值；hm為峰值所在高度；H為標(biāo)高。

式中 x為太陽天頂角；N0和h0是在x=0o時電子密度峰值和峰值所在高度。對于理論的Chapman模型，參照文獻(xiàn)[9]，系數(shù)p選取0.5，其他參數(shù)選為：N0=2× 1011m-3,h0=1.25× 105m,H=11 000m 。參照地球上GPS信號傳播過程中電離層延遲的計(jì)算過程，電離層對測距碼傳播的折射率ng可近似表示為：

式中 f為載波頻率；ai（ i=2,3,4…）為折射率相關(guān)系數(shù)，與電離層的電子密度有關(guān)。忽略二次以上的高階項(xiàng)，系數(shù)a2的估值可表示為：a2=-40.3Ne（Ne為電離層電子密度）。則電磁波的傳播速率vg變?yōu)椋?/p>

通過概率論相關(guān)性分析：電磁波真實(shí)速度符合正態(tài)分布，其均值為2.999977× 108m/s，標(biāo)準(zhǔn)差為828.145m/s。參照文獻(xiàn)[9-12]和以上關(guān)于基頻誤差、電離層誤差的分析過程，表1給出三種主要誤差源的誤差量級。

表1 誤差來源及量級大小Tab.1 Error sources and amplitudes

3.3 仿真結(jié)果分析

同時考慮上述三種誤差源作為系統(tǒng)仿真輸入，仿真步長60s，仿真開始時間：2021-08-15 00:00:000UTCG，結(jié)束時間：2021-11-15 00:00:000UTCG。其中，UTCG表示儒略日。由于軌道器軌道類型不影響外界誤差源對定位精度的影響，軌道器選取軌道Ⅰ參數(shù)，模型誤差均做高斯白噪聲處理，結(jié)果如圖3所示。仿真結(jié)果考慮以下幾種工況：未考慮誤差；考慮電離層誤差、考慮軌道器軌道參數(shù)誤差、考慮基頻誤差；考慮三種誤差共同作用。以軌道器2軌獲取的數(shù)據(jù)作為一組測量，著陸器受以上三種誤差共同作用下綜合定位精度為10多千米，其中軌道器軌道參數(shù)誤差是最主要的誤差源，基頻和電離層誤差大小量級都在幾十米左右。

圖3 不同外界誤差源下的著陸器定位精度Fig.3 Positioning precision of lander under different external errors

4 單軌/多軌測量精度分析

4.1 單軌測量誤差

軌道器單軌測量時，由于火星自轉(zhuǎn)，不同圈數(shù)軌道器與著陸器的可見弧段不同。單軌內(nèi)不同采樣間隔，不同迭代次數(shù)都會影響著陸精度。本文利用蒙特卡洛法，取100次多普勒測量信息，分析軌道器在100軌內(nèi)與著陸器可通信弧段以及迭代收斂的軌數(shù)，計(jì)算軌道器單軌下著陸器定位精度ζ（以3σ進(jìn)行計(jì)算）在小于某一上限值時所占的比例，結(jié)果如表2所示。

表2 不同間隔時間下的著陸器定位精度Tab.2 Positioning precision of lander under different interval errors

由仿真結(jié)果可知：軌道器與著陸器存在無法通信的弧段，隨著采樣間隔的增加，可通信弧段的軌數(shù)在減少。軌道器單軌測量時著陸器的定位誤差在百公里量級以內(nèi)；每軌的測量誤差大小不同，這與每軌的測量弧段長度及測量值的有效值有關(guān)，如圖4所示（其中紅線表征誤差上限為100km）。軌道器每軌采集的測量數(shù)據(jù)間隔越小，著陸器的定位精度得到提高。單軌測量情況下，軌道器在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上對著陸器定位精度差別不明顯，都在百千米量級。此外，軌道器在軌道Ⅰ上對著陸器單軌測量中，著陸器定位誤差大小變化呈現(xiàn)周期性，這是由于軌道Ⅰ的回歸特性；軌道Ⅱ升交點(diǎn)赤經(jīng)存在進(jìn)動，星下點(diǎn)呈現(xiàn)漂移特性，著陸器定位誤差大小周期性不明顯。

圖4 單軌間隔60s時，單軌測量著陸器位置精度Fig.4 Positioning precision of lander under single track measurement with 60s-interval

4.2 多軌測量誤差

為提高著陸器的定位精度，采用軌道器多軌測量方式，以超過1軌的數(shù)據(jù)作為一組量測值進(jìn)行解算分析，圖5和圖6分別給出了2，4軌情況下著陸器定位精度情況。

圖5 每間隔60s，環(huán)繞2軌測量得到的著陸器位置精度Fig.5 Positioning precision of lander under 2 tracks measurement with 60s-interval

圖6 每間隔60s，環(huán)繞4軌測量得到的著陸器位置精度Fig.6 Positioning precision of lander under 4 tracks measurement with 60s-interval

由仿真結(jié)果可知：無論是軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ，以每2軌測量的數(shù)據(jù)作為一組量測數(shù)據(jù)，定位精度都大大提高，達(dá)到10km以內(nèi)。以每4軌測量作為一組量測數(shù)據(jù)時，軌道器在軌道Ⅰ測量時著陸器的定位精度提高不大，在軌道Ⅱ上測量時著陸器定位精度縮減到3.5km左右。由于軌道Ⅰ是3圈回歸，當(dāng)環(huán)繞圈數(shù)超過3圈后，測量數(shù)據(jù)的有效性降低，與最初3軌的測量信息基本一致。

4.3 著陸器定位誤差分布

軌道器與著陸器兩者間的相對位置關(guān)系也會對最終定位精度造成影響。以軌道Ⅰ為例，誤差影響因素仍按表1選取，在火星表面上選取不同的著陸器位置，采用最小二乘法分析誤差解算收斂情況和誤差分布的幾何形式，將上述解算的著陸器位置坐標(biāo)用火心赤緯和赤經(jīng)表示，分析著陸器位置誤差在赤經(jīng)，赤緯方向上的分布情況。表3給出著陸器在不同標(biāo)稱著陸點(diǎn)情況下，軌道器對其多普勒測量解算收斂時所需的環(huán)繞圈數(shù)，以及相應(yīng)的定位精度；圖7給出不同著陸點(diǎn)在經(jīng)緯度方向上誤差大小分布。

表3 每間隔10s，不同著陸位置的解算收斂情況和定位精度Tab.3 Convergence conditions and positioning precision at different landing sites with 10s-interval

圖7 著陸器位置經(jīng)緯度誤差大小Fig.7 Latitude and longitude amplitudes of lander position errors

由仿真結(jié)果可知：軌道器對不同著陸點(diǎn)解算的收斂情況不同，南北極收斂性較差，中緯度收斂性較好。這是由于軌道器的近火點(diǎn)在北極附近，器間通信弧段短，有效測量數(shù)據(jù)少。不同著陸點(diǎn)的誤差在赤緯和赤經(jīng)上分布也不同，總體上定位精度分布呈現(xiàn)橢圓形狀，其中在北極（90o,0）處由于無論經(jīng)度為何值都不影響定位精度，因此其著陸點(diǎn)在經(jīng)度上比較分散。

為定量分析著陸器最終定位誤差大小，引入誤差橢圓的概念。等概率誤差橢圓能夠給出定位誤差數(shù)值和分布方向，克勞美羅下限（Cramer-Rao Low Bound, CRLB）可作為反映某點(diǎn)的定位誤差協(xié)方差陣P[11-12]，即：

則空間中等概率密度橢球可以定義為：

式中 X=［x, y, z］T；D表征目標(biāo)點(diǎn)落在該橢球內(nèi)置信度為一個固定值De的門限，在二維平面內(nèi)等概率密度橢球簡化為等概率密度橢圓[13]。則誤差橢圓的長短軸a和b可以表示為：

式中 λ1, λ2分別為誤差協(xié)方差陣的特征值。仍然選取赤道上（0，90o）的著陸點(diǎn)進(jìn)行研究，當(dāng)置信度選取為50%時，D≈5，定位誤差協(xié)方差矩陣的特征值為1.787，0.268。定位點(diǎn)以50%置信度落于以其中心的橢圓，長軸為6.684km，短軸2.588km，面積為54.35km2。

5 結(jié)束語

以軌道器為中繼站的火星著陸器測量定位，旨在快速獲得著陸器的著陸坐標(biāo)，分析不同測量手段和不同誤差影響下的定位精度。結(jié)果表明，軌道器自身的位置和速度精度是影響著陸器定位精度的關(guān)鍵因素。軌道器對著陸器的多軌測量能夠?qū)⒆罱K定位精度控制在10km以內(nèi)。軌道器與著陸器的相對位置影響測量數(shù)據(jù)的有效性，非回歸軌道測量數(shù)據(jù)的有效性高于回歸軌道。該手段充分利用軌道器星上設(shè)備，得到著陸器落點(diǎn)區(qū)域范圍及誤差分布方向，研究結(jié)果可為我國首次火星自主探測任務(wù)提供參考。

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Positioning and Precision Analysis for Mars Lander Based on Orbiter Measurement

XU Qing1,2NIU Junpo1,2SHI Weihuang1,2XIE Pan1,2
（1 Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China)
（2 Shanghai Key Laboratory of Deep Space Exploration Technology, Shanghai 201109, China)

Under the background of China’s first independent Mars exploration program, a novel two-way doppler range rate measurement based on relay orbiter is proposed for acquiring landing site position quickly. This paper considers different measurement methods and analyzes positioning precision, error distribution under comprehensive influence of different error sources. This method takes advantage of the ultra high frequency communication link between orbiter and lander to increase final positioning precision of Mars lander. The results indicates that orbit parameters errors are critical for lander final positioning precision and non-recursive orbit of orbiter is more conducive for increasing positioning precision. If a single orbiter adopts single track statistics, positioning precision is within hundred kilometers order. Positioning errors could decrease to 10km under two-track measurements and if tracks increase, positioning precision could be within 5km. Positioning errors almost present elliptical distribution. The positioning analysis based on orbiter measurement is simple and effective, which is beneficial and meaningful for practice.

relay communication; doppler range rate measurement; error ellipse; Mars Exploration

V448

A

1009-8518(2016)06-0028-11

10.3969/j.issn.1009-8518.2016.06.004

徐晴，女，1992年生，2014年獲南京航空航天大學(xué)飛行器設(shè)計(jì)與工程學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)在上海衛(wèi)星工程研究所攻讀碩士學(xué)位，研究方向?yàn)樯羁仗綔y器總體技術(shù)。E-mail: qqqw2012@126.com。

（編輯：陳艷霞）

2016-05-30

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）項(xiàng)目（2014CB744200）