關(guān)于帶參數(shù)多項(xiàng)式曲線的討論

邢慶丹，陳雪嬌，潘晶

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，大連 116029）

關(guān)于帶參數(shù)多項(xiàng)式曲線的討論

邢慶丹，陳雪嬌，潘晶

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，大連 116029）

通過對(duì)帶參數(shù)的多項(xiàng)式基函數(shù)構(gòu)造原理的分析，得到新的基函數(shù)構(gòu)造方法。利用此法構(gòu)造控制點(diǎn)可調(diào)整的三次帶參數(shù)的多項(xiàng)式曲線，同時(shí)給出曲線在拼接點(diǎn)處達(dá)到一定連續(xù)性的條件。

參數(shù)；多項(xiàng)式曲線；基函數(shù)；連續(xù)性

0 引言

為了調(diào)整Bézier曲線和均勻B樣條曲線的形狀，在它們的生成基中引入了參數(shù)。文獻(xiàn)[4]、[7]中的基函數(shù)是在二次Bernstein基函數(shù)中融入帶兩個(gè)或多個(gè)形狀參數(shù)的函數(shù)，將二次Bernstein基函數(shù)擴(kuò)展為高次基函數(shù)；文獻(xiàn)[6]給出一種n次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展；文獻(xiàn)[2]是先構(gòu)造帶形狀參數(shù)的三階B樣條基函數(shù)，再利用積分方法推廣至高階；文獻(xiàn)[5]是在最優(yōu)規(guī)范全正基的基礎(chǔ)上乘以全正的轉(zhuǎn)化矩陣，得到新的含參數(shù)的規(guī)范全正基?；趎次Bernstein基與冪基的關(guān)系，本文研究發(fā)現(xiàn)這類帶參數(shù)的基函數(shù)[2-8]均可轉(zhuǎn)換成Bernstein基的組合形式，從而產(chǎn)生新的可調(diào)整的控制點(diǎn)，新的控制點(diǎn)可由原控制點(diǎn)線性組合得到。

基于以上研究，本文進(jìn)一步得到了新的基函數(shù)構(gòu)造方法，并構(gòu)造了帶參數(shù)的三次多項(xiàng)式曲線，此曲線在滿足一定條件下達(dá)到G1連續(xù)。

1 基函數(shù)構(gòu)造原理

零的下三角矩陣。有如下定理。

定理1對(duì)定義在[0，1]區(qū)間上的由帶參數(shù)的基函數(shù)生成的n次多項(xiàng)式曲線均可由n次Bernstein基生成，轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂泣c(diǎn)帶參數(shù)的n次Bézier曲線，其中原控制點(diǎn)為m+1個(gè)，新控制點(diǎn)為n+1個(gè)（m≤n）。

通過上述定理，帶參數(shù)的多項(xiàng)式基函數(shù)的構(gòu)造方法是由n次Bernstein基乘以矩陣H得到。由b0，n（t），b1，n（t），…，bm，n（t）滿足非負(fù)性和單位分解性，H需滿足如下要求：

（1）H是（n+1）×（m+1）矩陣；

（2）0≤{H}ij≤1;即矩陣?yán)锏拿總€(gè)元都是大于等于0小于等于1的；

矩陣H可有下述情形：

可得到m次Bernstein基的n次擴(kuò)展；

有對(duì)稱性；

（3）H是非奇異全正矩陣或全正矩陣，得到的基函數(shù)具有全正性。

文獻(xiàn)[2]中的基函數(shù)

可以看成由3次Bernstein基乘以矩陣H1生成的，其中：

文獻(xiàn)[5]中的λ-B樣條基可以看成由4次Bernstein基乘以矩陣H2生成的，其中：

2 基函數(shù)的定義及其性質(zhì)

性質(zhì)1非負(fù)性，單位分解性；即bi，2（t）≥0（i=

性質(zhì)2擬對(duì)稱性；即當(dāng)α=β，μ=ν時(shí)，（1）式具有對(duì)稱性；當(dāng)α≠β，μ≠ν時(shí)，（1）式不具有對(duì)稱性。

性質(zhì)3退化性；當(dāng)μ=ν=1，α=λ1，β=λ2時(shí)，（1）式退化為文獻(xiàn)[2]中當(dāng)k=2時(shí)的基；當(dāng)μ=ν=1，α=β=0時(shí)，（1）式退化為2次均勻B樣條基；當(dāng)μ=ν=1，α=β=λ時(shí)，（1）式退化為文獻(xiàn)[3]中的基；當(dāng)μ=ν=-1，α=2（αi-1），β=2（βi-1）時(shí)，（1）式退化為文獻(xiàn)[4]中的基。

3 曲線的構(gòu)造及其連續(xù)性

給定控制點(diǎn)P0，P1，P2∈Rd（d=2，3），記（1）式中的矩陣為H，令（Q0，Q1，Q2，Q3）=（P0，P1，P2）H'，得到4個(gè)新的控制點(diǎn)。則有如下曲線定義。

圖1給出了當(dāng)α，β固定時(shí)，μ，ν對(duì)曲線的影響，其中α=β=-3，曲線由外到內(nèi)μ，ν的值分別為μ=ν=1，μ= ν=2，μ=ν=3，曲線從不封閉曲線變成了封閉曲線。

圖2給出了當(dāng)μ，ν固定時(shí)，α，β對(duì)曲線的影響，其中μ=ν=3，曲線由外到內(nèi)α，β的值分別為α=β=-3，α= β=-2，α=β=-1，α=β=0，隨著α，β值增大，封閉曲線所圍成的圖形面積變小。

圖3給出了當(dāng)μ=ν=-1時(shí)，P0=Q0，P2=Q3，曲線插值于首末端點(diǎn)。圖3中曲線1、2、3、4、5分別對(duì)應(yīng)α=β= -3，α=β=-2，α=β=-1，α=β=。其中曲線5中Q1，Q2的取值方式如圖4中所示，可見它的逼近效果更好[1]。

圖1

圖2

圖3

接下來討論兩段曲線的拼接問題。給定4個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，P2，P3，設(shè)2條曲線分別為其中（Q0，Q1，Q2，Q3）=（P0，P1，P2）H'；p2（t）=P0，P1，P2，其中（Q4，Q5，Q6，Q7）=（P1，P2，P3）H'。

圖4

證明：通過計(jì)算可得：

將ν=2-μ代入p1（1）得p1（1）=p2（0）；（0）=kp1'（1）。證畢。

以下是曲線拼接的實(shí)例。

圖5 μ=ν=1，α=β=-1

圖6 μ=ν=3，α=β=0；μ=ν=3，α=β=-1；μ=ν=3，α=β=-2；μ=ν= 2，α=β=-3

圖7 μ=v=3,α=β=0

4 結(jié)語

利用本文的基函數(shù)構(gòu)造方法，即能定義Bézier曲線擴(kuò)展基，又能定義均勻B樣條曲線基。利用此法構(gòu)造的三次帶參數(shù)的多項(xiàng)式曲線在拼接點(diǎn)處可達(dá)到G1連續(xù)。

[1]王晶昕，張春梅.調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)三角域上Bézier曲面形狀的影響[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，34（1）:6-9.

[2]張莉，鄔弘毅.多形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，30（2）:252-256.

[3]劉長明，檀結(jié)慶.二次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，27（5）:459-462.

[4]嚴(yán)蘭蘭，宋來忠.帶兩個(gè)形狀參數(shù)的曲Bézier線[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2008（3）:88-92.

[5]嚴(yán)蘭蘭，韓旭里.基于全正基的三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].圖學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（3）:329-336.

[6]X.A.Han，Y.C.Ma，X.L.Huang.A Novel Generalization of Bezier Curve and Surface[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，217:180-193.

[7]范菊嫻，檀結(jié)慶.帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線和曲面[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，34（1）:149-152.

[8]Han Xuli.Piecewise Quartic Polynomial Curves with a Local Shape Parameter[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2006，23（1）:34-45.

Discussion of Polynomial Curve with Parameters

XING Qing-dan，CHEN Xue-jiao，PAN Jing

（School of mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029）

Based on the analysis of the structure principle of the polynomial basis functions with parameters,obtains a new method for the construction of the basis functions.This method is used to construct the three degree polynomial curves with parameters which can be adjusted by the control point,and presents the continuity condition of the curve at the joint point.

Parameter;Polynomial Curve;Basis Function;Continuity

1007-1423（2016）35-0038-05

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.35.008

邢慶丹（1991-），女，遼寧東港人，在讀碩士，研究方向?yàn)楹瘮?shù)逼近

2016-11-08

2016-11-28

陳雪嬌（1991-），女，遼寧朝陽人，在讀碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)

潘晶（1991-），女，遼寧東港人，在讀碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)