Matlab在“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”教學(xué)中的應(yīng)用

張慶平

(安慶師范大學(xué)物理電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133)

Matlab在“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”教學(xué)中的應(yīng)用

張慶平

(安慶師范大學(xué)物理電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133)

在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中引入Matlab輔助教學(xué)，需要先適當(dāng)補(bǔ)充Matlab基礎(chǔ)知識(shí)，然后針對(duì)數(shù)學(xué)演算較為復(fù)雜的章節(jié)，如固體的愛(ài)因斯坦理論、波色-愛(ài)因斯坦凝聚等，用Matlab處理繁瑣的公式推理。這樣能突出物理本質(zhì)，使得講解條理清晰、形象生動(dòng)，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，提高教學(xué)效果。

熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理；教學(xué)方法；Matlab

“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”是本科物理專(zhuān)業(yè)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。通過(guò)本課程的教學(xué)，使學(xué)生理解宏觀與微觀層次熱運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，初步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)功底和分析解決物理問(wèn)題的能力。

該課程物理公式推理占到了相當(dāng)大的比重，特別是統(tǒng)計(jì)物理部分，物理概念抽象、演算冗長(zhǎng)且現(xiàn)象和規(guī)律蘊(yùn)藏在復(fù)雜的公式推理之中，是整門(mén)課程的難點(diǎn)。目前教學(xué)主要采取板書(shū)或幻燈片的方式，展示推導(dǎo)過(guò)程，然而存在以下不足：

第一，內(nèi)容枯燥。大段的推導(dǎo)過(guò)程環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生稍不留神就難以跟上節(jié)奏[1]。另外，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的掌握情況不一，課堂上難以照顧周全，這挫傷了數(shù)學(xué)功底一般的學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第二，數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的繁瑣，分散了學(xué)生的注意力，一定程度上干擾了學(xué)生對(duì)物理本質(zhì)和規(guī)律的理解，這也是部分學(xué)生課程結(jié)束后仍沒(méi)掌握要領(lǐng)的主要原因。

第三，不利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。學(xué)生只是跟著思路被動(dòng)接受，難以轉(zhuǎn)化為實(shí)用的邏輯推理能力，而這正是物理專(zhuān)業(yè)的學(xué)生所要求具備的。

為克服上述不利因素，提高課堂教學(xué)效果，已有不少教育同仁進(jìn)行了有益的探索嘗試[1-5]，提出了討論式教學(xué)、研究性教學(xué)等方法，取得了良好效果。教學(xué)方式的多樣化，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，改善課堂氛圍[2]。為此，嘗試將Matlab與課程相結(jié)合，以期簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)推導(dǎo)、強(qiáng)調(diào)物理概念，彌補(bǔ)單一教學(xué)模式的欠缺。Matlab在高校已經(jīng)相當(dāng)普及，理工類(lèi)學(xué)生都熟悉該軟件。在本課程教學(xué)過(guò)程中引入Matlab，利用Matlab的符號(hào)計(jì)算功能，可極大簡(jiǎn)化演算過(guò)程[6]，讓學(xué)生更專(zhuān)注于對(duì)物理概念及本質(zhì)的理解，而不受限于數(shù)學(xué)工具的掌握程度；讓學(xué)生掌握Matlab的一些編程技巧，類(lèi)比后可在解決實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)加以靈活運(yùn)用，有助于提升學(xué)生的綜合能力。

1 引入Matlab教學(xué)的設(shè)計(jì)要點(diǎn)

本課程的重點(diǎn)是物理規(guī)律的教學(xué)，Matlab的引入起到支撐和輔助作用，目的在于降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)推理過(guò)程的難度。公式的推導(dǎo)過(guò)程，既涉及物理概念，也涉及數(shù)學(xué)計(jì)算。前者包括由概念列出的公式、結(jié)合實(shí)際所作的近似等，是物理課程應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的；而后者則是數(shù)學(xué)問(wèn)題，如積分計(jì)算的技巧、公式的變形等，雖與物理課程本身關(guān)系不大，卻是導(dǎo)出結(jié)論必不可少的步驟。為達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，需把握如下兩點(diǎn)。

第一，要打牢Matlab基礎(chǔ)。將Matlab引入理論教學(xué)，應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生熟悉Matlab常用操作的基礎(chǔ)上。鑒于Matlab不是本科物理類(lèi)的專(zhuān)業(yè)課程，且對(duì)理工科學(xué)生有重要意義，從提高學(xué)生分析處理問(wèn)題的綜合素質(zhì)這一角度考量，集中講解Matlab使用方法必不可少，值得投入一定的課時(shí)。Matlab實(shí)現(xiàn)了易用性和專(zhuān)業(yè)性的完美結(jié)合，容易上手，只需較少的課時(shí)即可達(dá)到Matlab基礎(chǔ)的普及，不影響正常的教學(xué)進(jìn)度，在操作層面可行。

第二，引入Matlab要有針對(duì)性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)貫穿整個(gè)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課程，若處處借助Matlab推算公式，反顯冗余。因此，需根據(jù)各章節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，合理分配，有針對(duì)性引入。對(duì)于數(shù)學(xué)推理淺顯易懂的章節(jié)，如卡諾循環(huán)效率、麥克斯韋關(guān)系等，應(yīng)用板書(shū)等普通教學(xué)方法即可，無(wú)需引入Matlab；而對(duì)那些數(shù)學(xué)推理繁雜的章節(jié)，引入Matlab則會(huì)起到更好的效果。

2 Matlab輔助教學(xué)的方法

根據(jù)上述要點(diǎn)，擬定配套的教學(xué)設(shè)計(jì)方法。教學(xué)實(shí)踐中，在課程開(kāi)始階段，先集中安排兩個(gè)課時(shí)，介紹Matlab的操作和符號(hào)工具箱的指令。根據(jù)推導(dǎo)的難易程度，挑選擬引入Matlab輔助教學(xué)的章節(jié)。在后續(xù)課程中，未納入范圍的章節(jié)，仍沿用普通的教學(xué)方法；納入范圍的章節(jié)，則采用新的方法。具體的教學(xué)方法和步驟如下。

第一，Matlab的介紹，兩個(gè)課時(shí)。采用多媒體教學(xué)，現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行Matlab演示。首先，總體講述Matlab的常用操作，包括軟件界面的劃分及各部分的功能、調(diào)閱幫助文檔的指令(help和doc)、數(shù)學(xué)四則運(yùn)算指令、變量的定義和輸入、矩陣的行列讀寫(xiě)、賦值語(yǔ)法規(guī)則、數(shù)據(jù)作圖指令(plot)的用法等。其次，著重講解符號(hào)運(yùn)算方面的常用指令，包括符號(hào)變量的定義指令(syms)、符號(hào)微分指令(diff)、符號(hào)積分指令(int)、變量替換指令(subs)、化簡(jiǎn)指令(simple和simplify)、求反函數(shù)指令(finverse)、解方程或方程組指令(solve)、顯示符號(hào)運(yùn)算結(jié)果的指令(pretty)等。學(xué)生了解這些指令后，能大體掌握符號(hào)運(yùn)算的操作方法。需強(qiáng)調(diào)的是，Matlab指令眾多，逐個(gè)記憶不太現(xiàn)實(shí)也沒(méi)必要。Matlab提供了豐富的幫助文檔和示例，可由此迅速搜索到具體用法，這將大大提高M(jìn)atlab的使用效率。最后，布置課后練習(xí)，加深印象。

第二，確定引入Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)的章節(jié)范圍。熱力學(xué)部分，公式推理均簡(jiǎn)短明了，無(wú)需借助Matlab。統(tǒng)計(jì)物理部分，涉及不少較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，適合引入Matlab。典型的章節(jié)有固體的愛(ài)因斯坦理論、弱簡(jiǎn)并的波色和費(fèi)米氣體、波色-愛(ài)因斯坦凝聚、光子氣體和自由電子氣體等。這些內(nèi)容是整個(gè)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，物理圖像晦澀，再加上大段的數(shù)學(xué)演算，給學(xué)生的理解帶來(lái)困難，普通的課堂教學(xué)方法效果不甚理想。Matlab的引入，將在一定程度上改變上述局面。

第三，對(duì)引入Matlab的章節(jié)，采用新的課堂教學(xué)方法，形式為板書(shū)結(jié)合Matlab。在講解具體知識(shí)點(diǎn)時(shí)，順著整體思路，逐行輸入每個(gè)推導(dǎo)步驟對(duì)應(yīng)的Matlab指令。這樣，繁雜的數(shù)學(xué)演算均由Matlab符號(hào)工具箱完成，Matlab工作區(qū)將順次展示整個(gè)推導(dǎo)的流程，提綱清晰。板書(shū)則配合推導(dǎo)進(jìn)度，依次列出重要的物理公式和中間結(jié)果?？梢?jiàn)，引入Matlab后，課堂教學(xué)將更突出物理概念本身，層次和重點(diǎn)分明；學(xué)生也可使用Matlab自行推導(dǎo)，而不受數(shù)學(xué)水平的制約，一定程度上消除其畏難情緒。

3 應(yīng)用案例

下面以光子氣體和波色-愛(ài)因斯坦凝聚的推導(dǎo)為例，說(shuō)明Matlab在教學(xué)中的應(yīng)用。

案例1光子氣體

本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容：推導(dǎo)平衡輻射的內(nèi)能密度與絕對(duì)溫度的4次方成正比，并由此引出維恩位移律，即一定溫度下，絕對(duì)黑體的輻射能量最大值對(duì)應(yīng)的頻率與溫度之比為一常數(shù)。

課堂教學(xué)的組織安排如下。在演示推導(dǎo)過(guò)程的環(huán)節(jié)，先介紹整體思路。而后順著推導(dǎo)思路，將每一步演算過(guò)程用相應(yīng)的Matlab指令表達(dá)出來(lái)。此時(shí)著重講解每步列式的物理含義，而將數(shù)學(xué)演算的細(xì)節(jié)交由Matlab處理，安排上詳略得當(dāng)，重點(diǎn)突出。每行指令對(duì)應(yīng)一個(gè)推導(dǎo)步驟，講解條理也更加明晰。當(dāng)導(dǎo)出了一些重要的中間結(jié)果或物理規(guī)律時(shí)(見(jiàn)下面代碼的“結(jié)果1-4”位置)，讓Matlab顯示推導(dǎo)出的公式，并按順序依次板書(shū)這些結(jié)果，作為本節(jié)的一個(gè)個(gè)要點(diǎn)。

完整推導(dǎo)過(guò)程的Matlab指令如下。代碼中，hb是約化普朗克常數(shù)，w是圓頻率，c是光速，V是黑體體積，k是玻爾茲曼常數(shù)，pi是圓周率，p是動(dòng)量，T是溫度。

運(yùn)行程序后，標(biāo)注“結(jié)果1”是圓頻率在ω到ω+dω之間的光子對(duì)輻射內(nèi)能的貢獻(xiàn)，化簡(jiǎn)后的式子見(jiàn)圖1（a）?！敖Y(jié)果2”是光子氣體內(nèi)能，化簡(jiǎn)后的式子見(jiàn)圖1（b），可見(jiàn)其確實(shí)與溫度T的4次方成正比。“結(jié)果3”是維恩位移律中的常數(shù)，Matlab輸出為2.821 4，與教材相同[7]，至此維恩位移律已導(dǎo)出。“結(jié)果4”是3種溫度下（T2=1.5T1，T3=2T1），不同頻率光子對(duì)內(nèi)能貢獻(xiàn)的關(guān)系圖，見(jiàn)圖2，與教材插圖一致[3]。

圖1 Matlab符號(hào)運(yùn)算導(dǎo)出的結(jié)果。

上述教學(xué)過(guò)程中，Matlab起到重要作用?！敖Y(jié)果1”處的推導(dǎo)，有變量代換、分式變形、微分等演算，使用Matlab符號(hào)運(yùn)算功能，既省去了不必要的數(shù)學(xué)講解，又能將學(xué)生的注意力集中于物理公

圖2 不同溫度下不同頻率光子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)

式本身?！敖Y(jié)果2”處求內(nèi)能的積分，稿紙演算需要用到級(jí)數(shù)展開(kāi)等數(shù)學(xué)技巧，為得到積分結(jié)果，可改用Matlab的int函數(shù)進(jìn)行符號(hào)計(jì)算，直接得出。這最大程度地精簡(jiǎn)了演算細(xì)節(jié)，突出了推理過(guò)程與物理結(jié)論的整體性、連貫性，同時(shí)有效克服了學(xué)生的畏難情緒?！敖Y(jié)果3”處求解超越方程，而此類(lèi)方程無(wú)解析解，Matlab的solve函數(shù)可求解符號(hào)形式方程式的數(shù)值解，相比于教材采用的作圖法更加方便高效?！敖Y(jié)果4”處，利用Matlab強(qiáng)大的可視化功能，將物理結(jié)論形象地展現(xiàn)出來(lái)，更能吸引學(xué)生的興趣和注意力。

案例2波色-愛(ài)因斯坦凝聚

波色-愛(ài)因斯坦凝聚是指波色子組成的系統(tǒng)，在臨界溫度以下，將有宏觀量級(jí)的粒子處于最低能級(jí)。本節(jié)的重點(diǎn)在于通過(guò)數(shù)理推理加以定量描述。

課堂教學(xué)的組織安排和案例1類(lèi)似。課堂教學(xué)中，在講解到下面代碼的“結(jié)果1”和“結(jié)果2”處，讓Matlab輸出推導(dǎo)得到的重要中間結(jié)果，并板書(shū)作為本節(jié)的要點(diǎn)；講解到最后的“結(jié)果3”處，依托Matlab的可視化功能，作圖顯示不同溫度下處于最低能級(jí)的波色子的占比，使得物理結(jié)論一目了然。

完整推導(dǎo)過(guò)程的Matlab指令如下。其中，h是普朗克常數(shù)，V是波色系統(tǒng)的體積，k是玻爾茲曼常數(shù)，m是波色子質(zhì)量，n是波色子濃度，n0是凝聚到最低能級(jí)上的波色子濃度，pi是圓周率，e是波色系統(tǒng)的能級(jí)，mu是體系的化學(xué)勢(shì)，T是溫度，Tc是波色凝聚的臨界溫度。

運(yùn)行程序后，標(biāo)注“結(jié)果1-3”處輸出了重要的中間結(jié)果。“結(jié)果1”是臨界溫度Tc；“結(jié)果2”是臨界溫度以下凝聚到最低能級(jí)的波色子的占比，Matlab輸出結(jié)果為1-T3/2/Tc3/2，與教材一致[3]。值得指出的是，“結(jié)果1”的推導(dǎo)有變量代換和復(fù)雜積分，教學(xué)過(guò)程中引入Matlab屏蔽了演算細(xì)節(jié)，突出了推理過(guò)程與物理圖像。

綜合以上兩個(gè)案例可見(jiàn)，Matlab的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)據(jù)可視化功能，免去了大段枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，使得數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡(jiǎn)潔明了、物理結(jié)論形象直觀。這可極大地提高教學(xué)效率，使學(xué)生易于從整體上把握物理本質(zhì)，從而對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解程度更加深刻。

4 結(jié)束語(yǔ)

在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中引入Matlab，一方面精簡(jiǎn)了繁瑣的數(shù)學(xué)演算，使得推導(dǎo)過(guò)程更加明晰，物理圖像更加突出，提高了課堂效率；另一方面，該教學(xué)方法形象直觀，能吸引學(xué)生興趣，更好地調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性；此外，學(xué)生掌握Matlab符號(hào)工具箱后，可在實(shí)際物理問(wèn)題中靈活應(yīng)用，有助于數(shù)理推理能力的鍛煉。相關(guān)的應(yīng)用案例，可推廣到其他物理類(lèi)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中。

[1]彭愛(ài)蓮,辛修芳.物理專(zhuān)業(yè)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)改革初探[J].科技信息，2009（30）：12.

[2]潘營(yíng)利.研究性教學(xué)模式在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，28（8）：64-67.

[3]蘇安.“熱學(xué)”與“熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理”課程整合探索[J].教育與職業(yè)，2008（9）：84-86.

[4]胡曉穎,胡文弢,呼和滿(mǎn)都拉.談熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理的教學(xué)方法[J].新課程，2014（3）：93-93.

[5]陳亞江,曹偉平.師范類(lèi)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課堂教改實(shí)踐[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（5）：77-79.

[6]周建興,豈興明,矯津.Matlab從入門(mén)到精通[M].北京:人民郵電出版社，2008：326.

[7]汪志誠(chéng).熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理[M].北京：高等教育出版社，2010：235-239.

Application of Matlab in“Thermodynam icsand Statistical Physics”

ZHANG Qing-ping
(Institute of Physics and Electrical Engineering，Anqing Normal University，Anqing,Anhui246133，China)

A way of introducing Matlab to thermodynamics and statistical physics is proposed in this article to aid teaching.First,supplementary of basic Matlab knowledge is required.Then Matlab is employed in this course,aiming at those chapterswith complexmathematical calculus,such as Einstein theory of solids and Bose-Einstein condensation.In thisway,the physical concepts and rules behind the calculus are clearer,and the teaching contents become coherent and concise.The study enthusiasm would be stimulated and the teaching effectwould be enhanced by employing thismethod.

thermodynamics and statistical physics；teachingmethod；Matlab

O414.21

A

1007-4260(2016)04-0135-04

時(shí)間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.034.html

2016-04-23

張慶平，男，安徽安慶人，博士，安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院講師，研究方向?yàn)榇髮W(xué)物理。

E-mail:ttzgyrsflh@aliyun.com

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.034