如何掌握好“實變函數(shù)”中的“幾乎處處”概念

周其生

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133)

如何掌握好“實變函數(shù)”中的“幾乎處處”概念

周其生

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133)

“幾乎處處”是“實變函數(shù)”課程中測度和積分理論中的一個重要概念。本文就如何正確理解這一概念以及它與連續(xù)、收斂相聯(lián)系的有關(guān)概念做了闡述和辨析，并通過舉例說明如何利用函數(shù)幾乎處處相等來計算積分。

幾乎處處；測度；積分；連續(xù)；收斂

雖然在實變函數(shù)課程中“幾乎處處”的定義不如勒貝格測度、勒貝格積分等概念重要，但卻是勒貝格測度和積分理論中一個重要的組成部分，要學(xué)好這門課程，必須很好地掌握這個概念。下面從幾個方面談?wù)勅绾卫斫夂瓦\用“幾乎處處”概念。

1 “幾乎處處”定義

定義1[1-3]設(shè)有一個與集合E?Rn中的點x有關(guān)的命題P（x）。若除了E中的一個零測集以外，P（x）皆為真，則稱P（x）在E上幾乎處處是真的，或稱P（x）幾乎處處于E。

學(xué)習(xí)這個概念時，要抓住命題是關(guān)于E中的點的命題，如函數(shù)在E上有限、連續(xù)、相等、大于等等是關(guān)于點的命題，因此可以說某函數(shù)在E上幾乎處處有限、幾乎處處連續(xù)，兩函數(shù)在E上幾乎處處相等，但函數(shù)在E上有界、一致連續(xù)、可測、可積等，不是關(guān)于E的點的命題，而是關(guān)于E的整體概念。比如說，函數(shù)f（x）在E上要么可測，要么不可測，不能說f（x）在E上幾乎處處可測。

也有人把f（x）在E上除去一個零測集后有界，稱為f（x）在E上幾乎處處有界，這容易引起概念的混淆，因為有界不是關(guān)于“點”的命題。但可以將這種情形表示為│f（x）│＜M幾乎處處于E。因為這個不等式是關(guān)于點的命題。同樣，若函數(shù)f（x）在E上除去一個零測集N后，作為集合EN上的函數(shù)而一致連續(xù)，也不能說f（x）在E上幾乎處處一致連續(xù)。

此外，也要注意到定義中的集合E并未要求是可測集，只是E中使得命題P（x）不成立的點為一零測集（測度為零的子集，當(dāng)然可以是空集）。

2 函數(shù)的幾乎處處連續(xù)

如果f（x）在E上除了一個零測集外每點都連續(xù)，則可以說f（x）在E上幾乎處處連續(xù)。因為函數(shù)在集合上可以在某個點連續(xù)，可能在另一個點不連續(xù)，即函數(shù)連續(xù)是關(guān)于“點”的命題。實變函數(shù)課程對數(shù)學(xué)分析中黎曼積分的一個重要貢獻，是用不連續(xù)點的測度來衡量一個有界函數(shù)是否黎曼可積，即下面的定理。

定理1若f（x）是定義在[a,b]上的有界函數(shù)，則f（x）在[a,b]上黎曼可積的充要條件是f（x）在[a,b]上的不連續(xù)點集是零測集(或f（x）在[a,b]上幾乎處處連續(xù))。

應(yīng)用這個定理需注意兩個問題：一是驗證f（x）在[a,b]上有界，這是黎曼可積的必要條件，不能忽略；二是說明f（x）在[a,b]上不連續(xù)點是零測集，強調(diào)的是要把f（x）作為[a,b]上的函數(shù)來考察它的不連續(xù)點，而不能去掉一個零測集后再來考察連續(xù)性，這樣f（x）的定義域就不是[a,b]了。例如，[0,1]上的狄里克雷函數(shù)D（x），作為[0,1]上的函數(shù)在[0,1]上處處不連續(xù)，但如果先去掉[0,1]中全體有理點這個零測集后，在剩下的點集（[0,1]中全體無理點）上D（x）恒為零，故連續(xù)。因此不能認為D（x）在[0,1]上幾乎處處連續(xù)而得出黎曼可積的錯誤結(jié)論。再舉一例：

其中P表示康托三分集，問f（x）在[0,1]上是否黎曼可積？

此例關(guān)鍵是分析f（x）的不連續(xù)點集，通過分析康托集的構(gòu)造知，在各次被刪除的開區(qū)間上，f（x）=x2連續(xù)，而f（x）的不連續(xù)點都在康托集P之中，而康托集的測度mP=0，又f（x）在[0,1]上顯然有界，故而在[0,1]上黎曼可積。

試想，若將例1中的P換成有理數(shù)集Q，則情況就不同了，此時f（x）雖然在[0,1]中有理數(shù)集[0,1]∩Q和無理數(shù)集[0,1]Q上均連續(xù)，但在整個[0,1]區(qū)間除個別點外均不連續(xù)，不連續(xù)點集的測度大于零，故不是黎曼可積的。

幾乎處處連續(xù)的函數(shù)可以用下面一個等價條件來描述，對加深理解幾乎處處概念很有益處。

命題設(shè)f（x）定義在開集G?Rn上，則下述兩個條件等價：

（1）f（x）在G上幾乎處處連續(xù)；

（2）對一切t∈R1，點集｛x∈G；f（x）＞t｝，｛x∈G；f（x）＜t｝中幾乎處處的點均為內(nèi)點。

證明（1）?（2）設(shè)m（Z）=0，G中的點都是f（x）的連續(xù)點。若x0∈G且f（x0）＞t，則存在鄰域U（x0），使得f（x）＞t，x∈U（x0），即x0是｛x∈G；f（x）＞t｝的內(nèi)點。對｛x∈G；f（x）＜t｝可類推。

3 函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的幾乎處處收斂

實變函數(shù)所研究的對象是可測函數(shù)，函數(shù)可測不要求函數(shù)有界，甚至不要求函數(shù)取有限值，這里的實函數(shù)允許它以+∞或-∞為函數(shù)值，例如，在[0,1]上恒為+∞的函數(shù)也可測，但它不是勒貝格可積的。勒貝格可積的必要條件是被積函數(shù)幾乎處處取有限值，所以通常總是假設(shè)可測函數(shù)是幾乎處處有限的。可不要小看“有限”前面加上的“幾乎處處”4個字，容許在一個零測集上函數(shù)取無窮大，甚至沒有定義，或者隨意改變函數(shù)值，這在黎曼積分中是絕對不行的，想想狄里克雷函數(shù)，只要將其作一點修改（把有理點處取值作些改動），就能認識到這4個字不同凡響。

例2 fn（x）=n，x∈[0，1]，n=1，2，…。

其二，課本中經(jīng)常會遇到“函數(shù)列{fn（x）}幾乎處處收斂于f（x）”的說法，此時在收斂處意味著f（x）取有限值。函數(shù)列有極限和函數(shù)列收斂是有區(qū)別的，這一點在數(shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道。

其三，一列幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，其極限函數(shù)可能處處不連續(xù)。舉例如下：

這里r1，r2，…，rn，…為[0,1]中全體有理數(shù)(是一可數(shù)集)。

顯然，fn（x）在[0,1]上只有有限個不連續(xù)點r1，r2，…，rn，該函數(shù)列處處收斂，但極限函數(shù)是狄利克雷函數(shù)，在[0,1]上處處不連續(xù)。進一步說明，一列黎曼可積函數(shù)的極限函數(shù)卻不黎曼可積。

把例3改造一下就可說明函數(shù)項級數(shù)問題：

4 利用“幾乎處處”解題

4.1 “幾乎處處”在計算勒貝格積分時的應(yīng)用

勒貝格積分在一個零測度集合上的值為零，即使在一個零測度集合上函數(shù)取值為無窮或沒有定義，隨意改變函數(shù)在這個集合上的函數(shù)值或補充定義，均不影響函數(shù)的可積性和積分值。故在計算勒貝格積分時可以靈活地運用這一點，往往使積分的計算變得簡單，甚至改造后的函數(shù)可能還是黎曼可積的，再根據(jù)兩個積分的關(guān)系，借助黎曼積分便可計算出勒貝格積分來。最簡單的例子如狄里克雷函數(shù)和形如例1的分段函數(shù)在某區(qū)間上的積分。

例5 f（x）同例1，計算f（x）在[0,1]上的黎曼積分。

上面計算中利用了f（x）在[0,1]上“幾乎處處”等于x2和兩種積分之間的關(guān)系，使得積分的計算變得非常簡單。類似地，在計算勒貝格積分時，巧妙地運用兩種積分之間的轉(zhuǎn)化和幾乎處處相等的函數(shù)積分間的替換，能將積分計算變得很簡潔。

判斷其可積性并計算它在[0,1]上的積分。

4.2 函數(shù)幾乎處處取有限值的集合表示

因為勒貝格積分是黎曼積分的推廣，不光是被積函數(shù)要求降低了，積分極限定理條件也變得寬松，在一個零測度集上可隨意改變這些定理的條件要求，所以“幾乎處處”在勒貝格積分理論中隨處可見就不足為奇了。但這并不意味著勒貝格積分理論對被積函數(shù)毫無限制，它要求函數(shù)可測且?guī)缀跆幪幱邢蓿械亩ɡ項l件或結(jié)論與“幾乎處處”非常接近但又有所不同，因此，必須準確把握這些概念。

5 結(jié)束語

[1]周民強.實變函數(shù)論[M].2版.北京:北京大學(xué)出版社,2001:128-236.

[2]程其襄，張奠宙，魏國強,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版.北京:高等教育出版社，2010：84-112.

[3]徐森林.實變函數(shù)論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002：190-295.

[4]張喜堂.實變函數(shù)論的典型問題與方法[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社，2000：149-298.

[5]周其生.勒貝格積分的計算方法[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，11（4）：89-93.

Abstruct:“Almost everywhere”is a key concept in the theory ofmeasure and integration in the course of real variable function.In this paper,how to correctly understand the concept and its connection with the continuous and convergence of the relevant concepts are described and analyzed.Furthermore,examples are given to explain how to use the functions of almost everywhere equivalently to calculate integral.

How to Master theConceptof“Almost Everywhere”in“RealVariable Function”

ZHOU Qi-sheng
（School of Mathematics and Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui 246133，China）

almosteverywhere；measure;integral；continuous；convergence

O174.1

A

1007-4260(2016)04-0125-03

時間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.031.html

2016-08-22

安徽省質(zhì)量工程項目（gxk075)。

周其生，男，安徽金寨人，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為算子理論。

E-mail:zhouqish@aqtc.edu.cn

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.031