改進(jìn)二項(xiàng)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用

徐鵬鵬，蘇本躍

（安慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院安徽省智能感知與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽安慶246133）

改進(jìn)二項(xiàng)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用

徐鵬鵬，蘇本躍

（安慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院安徽省智能感知與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽安慶246133）

二項(xiàng)分布是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布。針對(duì)二項(xiàng)分布應(yīng)用的局限性，提出一種基于二項(xiàng)分布的改進(jìn)模型，即通過引入控制參數(shù)，擴(kuò)展了二項(xiàng)分布的適用范圍，使其處理的數(shù)據(jù)來源既能滿足二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，又能滿足數(shù)據(jù)集自身的相關(guān)特性。最后通過構(gòu)造矩方程和極大似然方程可求出估計(jì)參數(shù)。

計(jì)數(shù)模型；離散型概率分布；改進(jìn)二項(xiàng)分布；過離散現(xiàn)象

在對(duì)計(jì)數(shù)模型的探究中，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)數(shù)資料符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，但計(jì)數(shù)值中卻存在大量零值，使數(shù)據(jù)的期望小于方差值。此時(shí)，二項(xiàng)分布對(duì)該計(jì)數(shù)資料的分析就存在局限性，需在二次項(xiàng)分布的基礎(chǔ)上構(gòu)建改進(jìn)分布模型。

1 二項(xiàng)分布

隨機(jī)變量X在n次試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)有且僅有兩種對(duì)立結(jié)果A與A，且每次A出現(xiàn)的概率為P（A）=p，P（A）=1-p=q，那么在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，該事件發(fā)生k次的概率為

當(dāng)X～B（n，p）中參數(shù)n很大，p很小，而np大小適中（np≤10）時(shí)，二項(xiàng)分布可用泊松分布近似[1]，即

當(dāng)n→∞時(shí)，近似效果越佳。

當(dāng)np≥5且np（1-p）≥5時(shí)，通常使用正態(tài)分布（Normal Distribution）來替代二項(xiàng)分布，即

（2）式就是著名的棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。當(dāng)n→∞時(shí)，二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似，即二項(xiàng)分布的正態(tài)逼近。由于是用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，即用連續(xù)分布來近似離散分布，為減少近似誤差，通常將區(qū)間由[a，b]增加到[a-0.5，b+0.5]來替代[2]，即

在（3）式中p∈（0.1，0.9）時(shí)，近似效果較為理想。

當(dāng)n很大時(shí)，一般都用正態(tài)分布來近似計(jì)算二項(xiàng)分布，但是當(dāng)np又較?。ū绕餹來說很小），那么用泊松分布近似計(jì)算更簡單些，畢竟泊松分布跟二項(xiàng)分布一樣都是離散型分布[3]。

2 改進(jìn)的二項(xiàng)分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量K服從的分布為

為方便計(jì)算，通常選擇將[n+αk]取整，參數(shù)α為全局參數(shù)，且p∈[0,1]。當(dāng)α=0時(shí)，改進(jìn)二項(xiàng)分布就退化為二項(xiàng)分布；當(dāng)α=p時(shí)，改進(jìn)二項(xiàng)分布即變?yōu)樨?fù)二項(xiàng)分布。由概率的正則性公理可知

二項(xiàng)分布的期望np大于方差np(1-p)，一般只適用于分布較為集中的數(shù)據(jù)集[4]。改進(jìn)的二項(xiàng)分布通過引入?yún)?shù)α增加了概率分布的彈性，在其期望np(1-αp)-1，方差np(1-p)(1-αp)-3中得以體現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)α，可以應(yīng)對(duì)不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，拓寬了應(yīng)用場景。

實(shí)驗(yàn)表明，一般當(dāng)p＜0.1時(shí)，甚至n很小，都會(huì)有很好的近似效果。例如當(dāng)p=0.1，n=2，α<<0.1時(shí)，如表1所示。

表1 改進(jìn)二項(xiàng)分布與泊松的擬合逼近

2.1 構(gòu)造矩方程

2.2 構(gòu)造極大似然方程

設(shè)隨機(jī)變量X服從（4）式定義的改進(jìn)二項(xiàng)分布，從總體X中選取一個(gè)大小為m的樣本x1，x2，…xm，則其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

3 結(jié)束語

綜上所述，在構(gòu)造的改進(jìn)二項(xiàng)分布中，當(dāng)參數(shù)α=0時(shí)，該模型就退化成二項(xiàng)分布，此時(shí)E（X）=np，方差Var（X）=np（1-p），全局參數(shù)α不僅可以控制分布的期望與方差，同時(shí)還可用來刻畫數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)α＜或α＞1時(shí)，則E（X）≥Var（X），此時(shí)就可以處理分布相對(duì)集中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即處理存在欠離散（Under-Dispersion）現(xiàn)象的數(shù)據(jù)；當(dāng)α?xí)r，則E（X）＜Var（X），此時(shí)改進(jìn)分布就可以處理存在過離散[5]（Over-Dispersion）現(xiàn)象的數(shù)據(jù)了。最后，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)木胤匠袒驑O大似然方程可估計(jì)出參數(shù)α的值。

針對(duì)數(shù)據(jù)源本身符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，但數(shù)據(jù)集內(nèi)部隱含的信息（如期望，方差）又不滿足二項(xiàng)分布的特征，此時(shí)使用二項(xiàng)分布來處理顯然不合理。通過構(gòu)造改進(jìn)二項(xiàng)分布，使其處理的數(shù)據(jù)既能滿足二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，又能滿足數(shù)據(jù)自身的分布特性。所以，通過參數(shù)的調(diào)節(jié)可以增加模型的使用范圍和廣度，同時(shí)也拓展了應(yīng)用的空間與場合。

[1]周概容.概率論與管理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2004.

[2]魏振軍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三十三講[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,2013.

[3]于洋.淺析二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系[J].企業(yè)科技與發(fā)展，2008(20):108-110.

[4]范文正,梁亞民.集中與離散是數(shù)據(jù)集合的本質(zhì)[J].統(tǒng)計(jì)教育, 2006(2):27-28.

[5]BAKSH M F,B?HNING D,LERDSUWANSRIR.An extension of an over-dispersion test for countdata[J].Computational Statistics& Data Analysis,2011,55(1):466-474.

Improved Binomial Distribution Modeland Its Properties

XU Peng-peng，SU Ben-yue
（School of Computer and Information，University Key Laboratory of Intelligent Perception and Computing of Anhui Province，Anqing Normal University，Anqing，Anhui246133，China）

Probability of binomial distribution is a broad use of discrete distribution of random variables.Aiming at the limitations for application of the binomial distribution,an improved model is proposed，which is based on binomial distribution. The scope of binomial distribution is expanded by introducing the control parameters,which makes the processed data source meet the binomial distribution characteristics as well as their own relevant characteristics of the data sets.Finally，the values of the parameters are obtained by constructing themoment equation or themaximum likelihood parameter estimation equation.

count model；the discrete probability distribution；improved binomial distribution；over-dispersion phenomenon

TP3

A

1007-4260(2016)04-0011-03

時(shí)間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.004.html

2016-04-19

國家自然科學(xué)基金（11471093），安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2014A142），國家統(tǒng)計(jì)局計(jì)劃項(xiàng)目（2013LY080）和安徽省高?？蒲衅脚_(tái)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目。

徐鵬鵬，男，安徽六安人，安慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)與預(yù)測、數(shù)據(jù)挖掘等。

E-mail:1273611645@qq.com

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.004