2016年諾貝爾物理學獎：拓撲相變與物質拓撲相的理論發(fā)現*

施郁

復旦大學物理學系，上海 200433

2016年諾貝爾物理學獎：拓撲相變與物質拓撲相的理論發(fā)現*

施郁?

復旦大學物理學系，上海 200433

對2016年諾貝爾物理學獎的獲獎工作以及背景知識進行了通俗而力求準確的介紹，考察了科學思想的歷史發(fā)展過程以及三位獲獎科學家的經歷，最后總結了這次獲獎成就的意義以及給我們的啟示。

2016年諾貝爾物理學獎；相變；拓撲相變；拓撲相；索利斯；科斯特里茲；霍爾丹

2016年的諾貝爾物理學獎授予大衛(wèi)·索利斯(David J. Thouless)、鄧肯·霍爾丹(F. Duncan M. Haldane)和邁克·科斯特里茲(J. Michael Kosterlitz)，以表彰他們關于拓撲相變和物質拓撲相方面的理論發(fā)現。其中，獎金的一半由索利斯獲得，另一半由霍爾丹和科斯特里茲均分。

在這篇文章中，筆者用通俗易懂而又力求準確的方式，解釋涉及的科學問題，并梳理科學思想的演變。在這之前，我們先介紹一下這三位物理學家。

1 獲獎科學家

這三位諾貝爾獎得主都是長期在美國工作的英國人，都是劍橋大學校友，也都是理論物理學家。

索利斯1934年出生于蘇格蘭的拜爾斯頓(Bearsden)，在英格蘭的劍橋長大，因為他的父親是劍橋大學的心理學家。索利斯就讀于著名的溫切斯特公學(Winchester College)。這所學校有著600多年的歷史，是英國歷史最為悠久、具有最好的學術傳統(tǒng)的預科學校。

1952年，索利斯進入劍橋大學三一學堂(Trinity Hall)念本科。1955年取得學士學位后，索利斯來到康奈爾大學攻讀博士學位，導師是著名物理學家貝特(Hans Bethe)。1958年獲博士學位后，索利斯在美國加州的勞倫斯·伯克利實驗室工作了一年，然后作為博士后研究員來到英國伯明翰大學，導師是著名物理學家派爾斯(Rudolf E. Peierls)。1961—1965年，索利斯任劍橋大學講師。1965—1978年，他任伯明翰大學數學物理學教授。1979—1980年在美國耶魯大學任教授。1980年后在華盛頓大學任教授，2003年榮休。

科斯特里茲1942年生于蘇格蘭的阿伯丁(Aberdeen)，1962年進入劍橋大學岡維爾與凱斯學院(Gonville and Caius College)。這時，索利斯是劍橋大學講師，科斯特里茲還聽過他的課。

科斯特里茲1965年和1966年在劍橋大學分別獲學士和碩士學位，1969年在牛津大學獲得博士學位，后去意大利都靈做博士后研究。1971年，科斯特里茲來到伯明翰大學做博士后。他后來在康奈爾大學工作了一段時間后，1974年回到伯明翰大學任教?？扑固乩锲?982年也去了美國，任布朗大學教授至今。

霍爾丹1951年生于英國倫敦，在圣保羅學校(St Paul’s School)上學。這是英國最好的學校之一，牛津劍橋錄取率最高。1970年，進入劍橋大學基督學院(Christ’s College)。1978年又在劍橋大學獲博士學位。導師是當時從貝爾實驗室到劍橋大學兼職的著名物理學家安德森(Philip W. Anderson)。安德森是凝聚態(tài)物理的大師，1977年與他的導師范弗列克(J. H. van Vleck)及英國物理學家莫特(N. F. Mott)分享諾貝爾物理學獎?；魻柕と〉貌┦繉W位后，來到美國?，F在他也是普林斯頓大學教授。

2 物質的相與相變

同樣的微觀粒子組成的物質有不同的宏觀表現，這就是相。物質究竟處于哪個相，除了有能量因素外，還有混亂程度的因素?；靵y程度叫作熵。熵這個字是老一輩物理學家翻譯“entropy”一詞的時候發(fā)明的字，火字旁表示與熱有關，右邊的商字表示它是熱量與溫度的商。準確地說，對于可以定義溫度的系統(tǒng)，微小的熵的變化是微小的熱量變化與溫度的商。所以簡單來說，溫度乘以熵就得到熱量。

熱力學第二定律告訴我們，孤立系統(tǒng)的熵總是不減少的，也就是說，熵會不斷增加直到最大，然后保持不變。一個系統(tǒng)和它的周圍環(huán)境之間有熱量交換，但是它們共同構成一個孤立系統(tǒng)。根據能量守恒定律(也就是熱力學第一定律)，系統(tǒng)內部能量的改變作為熱量從環(huán)境獲得或者傳遞給環(huán)境，而熱量除以溫度就是環(huán)境的熵的改變。由此可以推論出，系統(tǒng)的內部能量減去溫度乘以系統(tǒng)的熵(叫做自由能)總是減少，一直到最小值，然后保持不變，這時系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)。這里所說的溫度是指絕對溫度。絕對零度即“絕對的零度”，是世界上最低的可能的溫度，等于零下273.15 °C。只要溫度不是絕對零度，熵就要起作用。

因此為了降低自由能到最小，一方面系統(tǒng)的內部能量要盡可能地低，另一方面混亂程度(熵)又要盡可能地高。這決定了在一定溫度下物質處于哪個相。也就是說，對于給定的某個溫度，哪種相的自由能低，系統(tǒng)就選擇哪種相。這也決定了在什么溫度發(fā)生不同相之間的轉變，這就是相變。高于相變溫度，系統(tǒng)處于無序相；低于相變溫度，系統(tǒng)處于有序相。如果在某個溫度下，有序相的自由能比無序相低，那么無序相到有序相的相變就是可以發(fā)生的。

一個常用的相變模型是磁模型(圖1)。磁體是由很多磁性原子組成的點陣，點陣整體像是一臺大型集體舞蹈。每個原子是個小磁體，有類似磁鐵的南極到北極的磁性方向。每一對相鄰原子之間有個耦合，當它們磁性方向相同或者相反時，耦合的能量最低。遵循前一種規(guī)則的叫做鐵磁體，后一種叫做反鐵磁體。因此，在鐵磁體中，所有的原子磁性方向一致時，總能量(也就是所有的鄰居對的耦合能量之和)最低。在反鐵磁體中，相鄰原子磁體的磁性方向相反，犬牙交錯時總能量最低。原子之間的磁性耦合原理是海森堡首先提出的。對于原子磁性方向可以指向空間任意方向的情況，磁性模型又叫作海森堡模型。如果每個原子的磁性方向局限一個平面上，相鄰原子的磁性耦合能取決于它們磁性方向在這個平面上的夾角，這樣的磁性模型叫XY模型。

同樣是這些原子，它們的磁性方向卻有各種可能。如果溫度不是絕對零度，因為要兼顧混亂度的要求，這些原子的磁性方向可能滿足不了能量最低的要求，也就是做不到完全相同或者相反。因此它們的總和，也就是整個磁體的磁性，有可能有一定大小，朝向某個方向；但也有可能為零，因為各個原子不同的方向可能互相抵消了。

圖1 鐵磁體(左)與反鐵磁體(右)示意圖(圖片來源：Nobelprize.org)

如果每個原子的磁性方向可以在三維空間中指向任意方向，那么鐵磁體在某個溫度以下有個總的磁性，也就是說，各個原子的磁性加起來不為零，指向某個方向，這個有序相叫鐵磁相。在某個溫度以上，各個原子的磁性方向是混亂的，磁性互相抵消，整個鐵磁體的磁性為零，這個無序相叫順磁相。

相變能否發(fā)生，還與系統(tǒng)的維度有關。通常的物體有長、寬、高三維。如果構成物體的粒子只能在一個面上運動，就是二維。如果構成物體的粒子只能在一條線上運動，就是一維。1966年，康奈爾大學的默敏(D. Mermin)和瓦格納(H. Wagner)[1]以及貝爾實驗室的霍亨貝格(P. Hohenberg)[2]證明，如果物理特性(比如磁性方向)可以連續(xù)變化，那么只要溫度不是絕對零度，二維或二維以下不發(fā)生相變，因為這時混亂程度總能戰(zhàn)勝能量的改變。韋格納(F. Wegner)也專門針對二維XY模型，嚴格證明了在絕對零度以上沒有相變[3]。

但是伊辛模型是一種特殊的磁體模型，其中每個原子的磁性方向不是空間或平面上的任意方向，而只能是上下兩個方向。對于伊辛模型，上面關于相變的結論有所改變，一維沒有相變，但是二維有相變。這正是索利斯的博士后導師派爾斯在1936年證明的[4]。

3 索利斯與科斯特里茲提出拓撲相變

1971年，科斯特里茲來伯明翰做博士后時，索利斯正在伯明翰上一門關于超流與超導的研究生課程[5]。超流是沒有黏滯的流體現象，液態(tài)氦在極低溫時就是超流體。超導是電子的超流，因為帶電，所以是電阻為零的導電。雖然超流和超導的微觀機制要用到量子力學，但是相變行為可以用前面所解釋的能量與混亂度的競爭來描述，不需要量子力學。

索利斯開的課程介紹了理論上的超流薄膜，也就是二維超流，它的相變性質與二維XY模型是類似的。根據上面說的相變對維度的依賴，二維XY在絕對零度之上沒有相變。索利斯在解釋理論上超流薄膜的渦旋能量時，意識到渦旋可能引起相變。

索利斯和科斯特里茲合作研究了二維系統(tǒng)相變的可能[6-8]。他們發(fā)現，渦旋扮演關鍵角色。渦旋是繞著一個點或者一個軸的流動，或者某種物理性質(比如XY磁模型中不同原子的磁性方向) 隨角度變化。有兩種可能的相，高溫相是有自由的渦旋，低溫相是旋轉方向相反的渦旋兩兩束縛成對(圖2)。隨著溫度的不同，這兩個相的自由能誰高誰低會發(fā)生變化，導致在絕對零度之上的某個溫度發(fā)生相變。

圖2 左圖：一個單獨的渦旋；右圖：一個渦旋對(圖片來源：Nobelprize.org)

這個研究工作就是2016年諾貝爾獎所嘉獎的拓撲相變，又以他們的姓氏首字母命名為KT相變或被稱為科斯特里茲-索利斯相變。

拓撲相變這一名詞源于渦旋的拓撲結構。拓撲是指在局部的連續(xù)變化下保持不變的整體性質。假設你用橡皮泥捏一個輪胎狀的東西，你可以拉伸、扭曲、變形，把它變?yōu)槠嫘喂譅畹臇|西，但是始終有一個洞在那里，這就是拓撲不變量。

渦旋的拓撲不變可以如下理解：假設你圍繞一個點或者一個軸走動，回到原地，不管路徑怎樣五花八門，總歸是繞了整數圈數。這個圈數不依賴于路徑的細節(jié)，是個拓撲數，術語叫做纏繞數。渦旋就由它的纏繞數表征。

在索利斯和科斯特里茲發(fā)現拓撲相變前一年，蘇聯(lián)的貝熱津斯基(Vadim Berezinskii，1981年去世)提出XY模型中渦旋激發(fā)的重要性[9-10]。大概由于有些科學家對貝熱津斯基工作的強調，KT相變還被稱為BKT相變。但是，其實貝熱津斯基沒有得出相變的結論。

相變規(guī)律具有普適性，在不同系統(tǒng)中存在同樣的定量規(guī)律，KT相變也是如此。索利斯和科斯特里茲的這個工作使人們認識到二維薄層材料也可以有超流、超導以及其他有序相。

4 量子霍爾效應的拓撲

霍爾效應是美國物理學家霍爾(Edwin Hall)在1897年發(fā)現的，指電子在電壓驅動下形成電流時，再加上一個垂直的磁場，由于電場和磁場的共同作用，電子偏離原來的電壓方向，并在導體邊緣累積，從而在垂直于電流的方向形成新的電壓，叫做霍爾電壓。

量子霍爾效應自從1980年被發(fā)現后，一直是凝聚態(tài)物理的重要課題，曾兩次獲諾貝爾獎青睞。最初的發(fā)現者馮·克里青(Klaus von Klitzing)做出發(fā)現5年之后就得獎了[11]。

量子霍爾效應(圖3)是二維電子氣的行為。二維電子氣在兩種不同的半導體的界面形成，電子局限在這個二維平面上運動。在低溫下，二維電子氣的霍爾效應出現量子化，也就是說，電流與霍爾電壓的比值總是某個常數(e2/h，其中e是電子電荷，h是代表量子力學效應的普朗克常數)的整數倍。這個整數非常精確，精確度達到十億分之一，而且在一定范圍內改變實驗參數時保持不變。如果磁場改變達到一定程度，量子化的整數跳到下一個整數。那個常數的倒數，即e2/h，等于 25 812.807 557 Ω，被命名為馮·克里青常數，已成為電阻的標準。

圖3 量子霍爾效應(圖片來源：Nobelprize.org)

20世紀80年代，在華盛頓大學，索利斯與合作者提出，量子霍爾效應的量子化起源于拓撲，對應的整數是所謂“陳省身數”[11-12]。這是華人數學家陳省身先生很多年前發(fā)現的一個表征拓撲性質的數，是一種特殊的纏繞數，代表了空間的彎曲程度。但是對于量子霍爾效應來說，這個空間是電子的量子波函數構成的閉合抽象空間。這就是索利斯獲得諾貝爾獎的另一部分成就。

5 霍爾丹的貢獻

在索利斯等人提出量子霍爾效應的拓撲本質后，1988年，霍爾丹提出一個模型，其中沒有磁場，但是也能實現量子霍爾效應，因為用另外的方法實現了所需要的拓撲性質[13]。這是霍爾丹的一部分獲獎成就。無磁場的量子霍爾效應現在稱作反常量子霍爾效應。

霍爾丹的另一部分獲獎成就是他1982年關于量子一維海森堡反鐵磁體的結論。按前面的介紹，一維海森堡反鐵磁體就是說，每個原子與相鄰原子磁性方向相反時，這對鄰居的耦合能量最低。但是前面討論的模型中沒有量子力學，霍爾丹研究的是量子力學起作用時的模型，計算各種可能的能量取值。

量子力學使得問題復雜化，因為量子力學里有個著名的海森堡不確定關系，使得原子磁性方向不確定。不過，對于一維鐵磁體，最低能量狀態(tài)仍然是所有原子磁性方向一致。在此基礎上的激發(fā)類似于聲波，也就是說無論多小的能量都能激發(fā)一個磁性波在原子間傳播。簡單的近似計算給出，對于一維反鐵磁，最低能量狀態(tài)是所有原子的磁性方向犬牙交錯，在此基礎上也能激發(fā)能量可以任意小的磁性波。

刻畫原子磁性的特征量(稱作磁矩)要么是某個常數(玻爾磁矩)的整數倍，要么是半整數倍，這個倍數叫作自旋。所以一維磁體又叫自旋鏈，磁性波也叫自旋波。索利斯的導師貝特在1931年嚴格地解出了自旋等于1/2的情況[14]。從楊振寧和楊振平1966年的一篇文章開始[15]，貝特的方法被稱作貝特假設。嚴格的最低能量態(tài)并不是犬牙交錯態(tài)，但是確實能激發(fā)能量可以任意小的自旋波。

那么對于自旋是其他整數或半整數的情況，以上自旋波結論是否正確呢？霍爾丹發(fā)現，對于自旋是半整數的情況(1/2、3/2、5/2等等)，結論與1/2類似。但是對于自旋是整數的情況(1、2、3等等)，結論則截然不同，能量必須大于某個非零值，才能有激發(fā)[16-17]?；魻柕さ慕Y論后來得到實驗證實。

他的論證用到一維時間與一維空間組成的抽象二維空間里的一個拓撲纏繞數。對于整數自旋情況，各種纏繞數的拓撲效應都不起作用(后來人們發(fā)現對于磁體的邊界有影響)，結果量子力學不確定關系導致磁體的最低能量態(tài)和激發(fā)態(tài)之間有一個不等于零的差別，所以不能有能量任意小的自旋波。對于半整數情況，偶數纏繞數和奇數纏繞數帶來的效應互相抵消，結果導致有能量可以任意小的自旋波。

霍爾丹的兩個獲獎工作都與目前的熱門領域拓撲絕緣體關系密切。

6 意義與啟示

三人的工作將凝聚態(tài)物理帶到了一個新的天地，帶來了革命性的新觀念，打開了組成物質的大量粒子微觀拓撲性質與物質宏觀物理性質關系的大門。他們開辟的這個方向現在已經成為一個前沿和主流領域，而且對材料科學和信息科學有很大的影響，為新材料、新器件的設計帶來了新的思路。對于量子計算機的實現也很有意義，因為拓撲的性質可能帶來穩(wěn)定的量子狀態(tài)，幫助克服量子計算對于環(huán)境擾動的敏感。

從這三位科學家的道路中，筆者總結了幾條啟示，與大家分享：

首先，追求卓越。前面提到，索利斯在中學就表現出追求卓越、不滿足于最低要求。三位獲獎者事業(yè)上的經歷也體現出了這一點。

第二，不囿于成規(guī)，勇于創(chuàng)新。不是簡單否定，而是另辟蹊徑。拓撲相變之于普通相變，整數自旋鏈之于半整數自旋鏈，這些創(chuàng)新都是突破了原來的范式，但是又不否定適用于各自范疇的原來的理論 。

第三，他們的研究工作是研究本身和好奇心驅動的。值得注意的是，除了索利斯等人揭示量子霍爾效應的拓撲，他們的獲獎工作都是領先于實驗的理論研究。關于量子霍爾效應的拓撲雖然是在量子霍爾效應發(fā)現之后，但是它激發(fā)了進一步的實驗和工作。這些理論上的成功對于理論工作者是一個鼓舞。

第四，三位科學家都有特立獨行的風格。他們的研究并非為了趕時髦、追樂隊花車，他們的成果后來卻引導了主流和熱門領域。

第五，他們的道路反映了優(yōu)秀的科學傳統(tǒng)的積累和傳承。筆者注意到，2016年三位獲獎科學家分屬兩個“師生三代獲得諾貝爾物理學獎”的系列，一個是貝特—索利斯—科斯特里茲，另一個是范弗列克—安德森—霍爾丹。

最后，他們三位都是長期在美國工作的英國人，分享2003年諾貝爾物理學獎的萊格特(Anthony J. Leggett)也是英國人，1983年從英國移居美國工作，是美國伊利諾伊州立大學教授(他得獎時，筆者正是他的訪問學者)。由此可以看到那些年英國人才流失的嚴重。中國香港的高錕獲得2009年諾貝爾物理學獎的工作，是1966年在英國國際電話電報公司(ITT)的英國分公司標準電話電纜公司(STC)完成的，后來他去香港中文大學兼職，然后又去ITT的美國分公司任職，最后又去香港中文大學。大概20世紀90年代開始，英國也吸引人才流入，達到一種平衡。獲得2010年諾貝爾物理學獎的蓋姆(A. Geim)和諾沃謝諾夫(K. Novoselov)在英國曼徹斯特大學工作，最初都來自俄羅斯。

7 祝福索利斯教授

筆者在劍橋大學工作期間，2000年曾經與來訪的索利斯教授有過比較深入的學術討論，并請他評閱我當時正在寫作的一篇論文草稿。索利斯教授后來從美國發(fā)電子郵件給筆者，說在飛機上又想了我的問題，而且仔細讀了我的草稿，并提出了重要的建議。

2007年10月31日至11月3日，在新加坡召開的慶祝楊振寧先生85歲壽辰的學術研討會上，我見到了索利斯。索利斯在會上作了個凝聚態(tài)中的拓撲量子數的綜述報告。我還記得，我國某位物理學家做報告時，索利斯是主持人，到了規(guī)定時間時，他很有原則性地要求報告人停止。會議期間我還與他聊到前一年和當年的諾貝爾獎，并預祝他得到諾貝爾獎。

索利斯夫婦現在住在故鄉(xiāng)劍橋。筆者前段時間發(fā)郵件給索利斯，祝賀他獲得實至名歸、姍姍來遲的諾貝爾獎。以他和家人名義的回信提到索利斯目前有點健康問題，還說：“大衛(wèi)獲悉得諾貝爾獎，感到感動和光榮，而且很高興與科斯特里茲和霍爾丹分享。他感激世界各地的朋友和同事的祝賀和對他對物理學的貢獻的贊美(David was moved and honored to learn of the Nobel Prize, and he was delighted to hear that he would share it with Mike Kosterlitz and Duncan Haldane. He is grateful to all his friends and colleagues around the world who have sent congratulations and made such lovely comments about his contributions to physics)?！?/p>

讓我們期待索利斯教授12月份在斯德哥爾摩從瑞典國王手中接過諾貝爾獎章的時刻。

(2016年11月17日收稿)

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(編輯：溫文)

2016 Nobel Prize in Physics: Theoretical discoveries in topological phase transitions and topological phases of matter

SHI Yu
Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China

A popular accurate introduction is made for the prize-winning work and related background knowledge for 2016 Nobel Prize in Physics. The historical development leading to these theoretical discoveries and the careers of the three Nobel Laureates are also investigated. The paper is concluded with the implications of these achievements as well as the lessons we can learn.

2016 Nobel Prize in Physics, phase transition, topological phase transition, topological phases, Thouless, Kosterlitz, Haldane

10.3969/j.issn.0253-9608.2016.06.004

*國家自然科學基金面上項目(11374060)資助

?通信作者，E-mail: yushi@fudan.edu.cn