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    具有脈沖時滯和Holling Ⅲ型的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性

    2016-02-09 09:28:34葉麗霞
    關(guān)鍵詞:食餌有界捕食者

    葉麗霞,張 忠

    (1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,福建武夷山354300;2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶400030)

    具有脈沖時滯和Holling Ⅲ型的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性

    葉麗霞1,張 忠2

    (1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,福建武夷山354300;2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶400030)

    利用重合度理論及Mawhin連續(xù)性定理,研究了一類具有脈沖時滯和HollingⅢ類功能反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性問題,得到系統(tǒng)存在正周期解的充分條件,并推廣和改進部分已有結(jié)果。

    脈沖效應(yīng);時滯;Holling Ⅲ型功能反應(yīng);重合度;正周期解

    近年來,具有Holling功能反應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)模型及其變形引起了廣泛的關(guān)注。許多學(xué)者利用不同的方法研究了不同類型功能反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解的存在性[1-5]。另外,生態(tài)系統(tǒng)是漸變的系統(tǒng),無法避免外界突發(fā)干擾,因而廣泛存在時滯現(xiàn)象和脈沖效應(yīng),如環(huán)境突變,山洪、地震的爆發(fā),其他物種的遷入和人為添加種群幼崽,幼兒捕食者與成年捕食者捕食能力的不同等會導(dǎo)致種群數(shù)量許多出現(xiàn)瞬時變化,即表現(xiàn)為脈沖效應(yīng)。具有時滯和脈沖效應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)模型引起許多學(xué)者的關(guān)注,得到許多相關(guān)研究成果[6-11]。本文結(jié)合脈沖效應(yīng)和時滯因素及Holling Ⅲ型功能反應(yīng),利用用重合度理論及微分方程中的積分方法,得到了系統(tǒng)存在正周期解的一個充分條件。

    本文考慮食餌種群服從Logistic增長、具有脈沖時滯和Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng):

    其中:n∈Z+,0<m(t)<1;x(t),y(t)分別表示食餌、捕食者種群密度;cn,dn分別表示食餌、捕食者在t=tn的脈沖增長率;其他參數(shù)的生態(tài)學(xué)含義參考文獻[2-4]。本文總是假設(shè):

    (A1)脈沖時刻{tn},n∈Z+滿足0=t0<t1<…<tn<…;

    (A2)存在正數(shù)ω>0和正整數(shù)p,使得

    (A3)函數(shù)a,d:R R;b,c,k,τ:R R+是連續(xù)ω-周期的,且假設(shè)系統(tǒng)(1)的系數(shù)都是嚴格正的ω周期函數(shù)。

    設(shè)X,Z是賦范向量空間,Ω為X的有界開集,L:DomL?X→Z為線性映射,N:X→Z為連續(xù)映射,如果dim KerL=Co dim lm L<+∞,且lm L為Z中閉子集,則映射L稱為指標(biāo)為零的Fredholm映射。如果L是指標(biāo)為零的Fredholm映射,且存在連續(xù)投影:

    則L|DomL∩KerL(I-P)X→lm L可逆,設(shè)其逆映射為Kp。如果QN(ˉΩ)有界且KP(I-Q)N:ˉΩ→X是緊的,則稱N在ˉΩ上是L-緊的。由于lm Q與KerL同構(gòu),因而存在同構(gòu)映射J:lm Q→KerL。

    以下給出相關(guān)引理:

    引理1(Mawhin連續(xù)性定理)[10]記Ω?X是一有界開集,L:Dom L?X→Y是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子,N:X→Z為ˉΩ上的L-緊的,假設(shè)

    1)對任意λ∈(0,1),Lx→λNx的任意解滿足x??Ω;

    2)對任意x∈?Ω∩KerL,QNx≠0且deg{JQN,Ω∩KerL}≠0。

    那么算子方程Lx=Nx在DomL∩ˉΩ至少有一個解。

    引理2 在引理1條件1)和2)下,R2+是系統(tǒng)(1)的不變集。

    為方便,設(shè)J?R,記PC={g:J→R2|g(t)在t≠tk處連續(xù),在t=tk處左連續(xù),右極限存在}。對ω-周期函數(shù)g(t)和ω-周期序列{cn},{dn},本文采用以下記號:

    利用上面的引理和記號,討論系統(tǒng)(1)的周期解的存在性。

    則系統(tǒng)(1)至少存在一個ω-正周期解。

    證明 作變換x(t)=exp{u(t)},y(t)=exp{v(t)},則系統(tǒng)(1)等價于:

    設(shè):

    其中:

    因此,dim KerL=Co dim lm L<+∞且lm L在Z中是閉的,即L是一個指標(biāo)為零的Fredholm算子。對于U∈ X,V=(U,z1,…,zp)∈Z,定義連續(xù)投影算子P:X→X和Q:Z→Z為

    則lm P=KerL,lm L=KerQ=lm(I-Q),而且L|DomL∩KerP:(I-P)X→lm L存在逆映射,記為KP:lm L→ DomL∩KerP。對任意的V=(U,z1,…,zp)∈Z,必存在χ∈X,使得

    由此可知QN與Kp(I-Q)N是連續(xù)的。再根據(jù)Arzela-Ascoli定理,對?Ω?X有界開集,易證緊算子。

    接下來估計使得引理1的2個條件成立的有界開集Ω。不妨設(shè)Ω={U|‖U‖<H},其中H為待定的常數(shù)。

    對?λ∈(0,1),由算子方程LU=λNU,U∈X有

    式(2)從0到ω積分得:

    由式(2)和(4)有

    從而根據(jù)式(2)和(5)有

    由于(u,v)T∈X,則存在ξi,ηi∈[0,ω],i=1,2,使得

    由式(5)和(8)知

    所以:

    又由于

    且由式(4)和(10)可得

    因此有

    又由于

    且由式(4)、(10)和(11)可得

    則有

    所以:

    至此,對任意的λ∈(0,1),已對算子方程LU=λNU的解u(t),v(t)作了估計,這里與λ無關(guān)。取其中H為充分大的數(shù),使由上面估計可知,任意λ∈(0,1),LU=λNU的任意解滿足x??Ω,即引理1的第一個條件成立。為了驗證第2個條件,考慮關(guān)于(u,v)T∈R2的代數(shù)方程組:

    其中μ∈[0,1]。類似上面的估計過程。容易證明對于?μ∈[0,1],方程(12)的解(u,v)T有界,實際上,它也滿足估計:

    對于任意U∈?Ω∩KerL,因U=(u,v)T是R2中滿足‖U‖=H的常數(shù),則有

    由式(9)得,對任意的U∈?Ω∩KerL,都有QNU≠0。為了計算Brouwer度,構(gòu)造同構(gòu)變換G(μ,U)=μQNU+(1-μ)H(U),μ∈[0,1],這里U=(u,v)T且

    從式(12)可以看出:對任意U∈?Ω∩KerL和μ∈[0,1],都有G(μ,U)≠0。由假設(shè)得H(U)=0都有唯一解。由lm Q=KerL,取J=I,并利用同構(gòu)不變的性質(zhì)得deg{JQN,Ω∩KerL,0}=deg{QN,Ω∩KerL,0}=deg{N,Ω∩KerL,0}≠0。因此,驗證了引理1的所有條件,從而LU=NU在DomL∩ˉΩ上至少有1個解(U*(t),V*(t))T,且也是方程(1)的周期解。所以(x*(t),y*(t))T=(exp{u*(t)},exp{v*(t)})T也是方程(1)的正周期解。證明完畢。

    [1] 范猛,王克.一類具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2001,21A(4):492-497.

    [2] 葉丹,范猛,張偉鵬.一類具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)非平凡周期解的存在性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,21(4):504-508.

    [3] 任磊.一類具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)正周期解的存在性[J].魯東大學(xué)學(xué)報,2008,24(3):199-202.

    [4] 唐小平,李靖云,高文杰.食餌被開發(fā)并具有Holling Ⅲ型的捕食系統(tǒng)周期解的存在性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,31(2):1001-8395.

    [5] 劉振杰,范鷹,于景偉.具有稀疏效應(yīng)和Holling Ⅲ類功能性反應(yīng)的捕食者食餌模型周期解[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2007,12(2):63-65.

    [6] 譚遠順,徐曉曼,夏江.一類食餌具時滯與擴散的非線性脈沖捕食系統(tǒng)正周期解存在性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,27(2):333341.

    [7] 楊志春.具有時變時滯和Holling-N類功能反應(yīng)的脈沖捕食系統(tǒng)的周期解[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,38(16):85-91.

    [8] 徐炳祥,曾志軍.一類具有Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(4):1008-5513.

    [9] 施秀蓮.一類具有Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解的存在性與穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,34(2):272-282.

    [10]鐘秀敏,劉秀湘.脈沖時滯Hassell-Varley-Holling型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解存在的充要條件[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,35(2):297-308.

    [11]SHIHong-bo.permanence and periodic solutions of a delayed predator-prey system with impulse[J].ApplMath,2010,25(3):264-276.

    (責(zé)任編輯劉 舸)

    Existence of Periodic Solutions Holling Ⅲ Prey-Predator System w ith Tim e-Varying Delay

    YE Li-xia1,ZHANG Zhong2

    (1.Department of Mathematics and Computer,Wuyi University,Wuyishan 354300,China;2.Department of Mathematics and Statistics,Chongqing University,Chongqing 400030,China)

    :By utilizing Mawhin’s coindidence degree theory and Mawhin’s Continuity theorem,a criterion for the periodic solution of the Holling Ⅲ predator-prey systems with time-varying delay is further investigated.The criterion improves several recent works.The sufficient conditions for the existence of positive periodic solution of the system is presented.

    time-varying delay;HollingⅢfunctional response;coindidence degree theory;periodic solution

    O175

    A

    1674-8425(2016)12-0171-06

    10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.12.027

    2016-10-06

    國家自然科學(xué)基金資助項目11202249);福建省校科研基金資助項目(XL201508)

    葉麗霞(1987—),女,碩士,主要從事生物數(shù)學(xué)研究,E-mail:yelixia2015@126.com。

    葉麗霞,張忠.具有脈沖時滯和Holling Ⅲ型的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)),2016(12):171-176.

    format:YE Li-xia,ZHANG Zhong.Existence of Periodic Solutions Holling Ⅲ Prey-Predator System with Time-Varying Delay[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science),2016(12):171-176.

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