4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)聚合物混沌混合的拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析

高 鶴, 朱向哲, 佟 瑩, 何延?xùn)|

(遼寧石油化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 撫順 113001)

4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)聚合物混沌混合的拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析

高 鶴, 朱向哲, 佟 瑩, 何延?xùn)|

(遼寧石油化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 撫順 113001)

采用拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)的分析方法，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)四棱4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)聚合物混沌混合進(jìn)行研究。利用網(wǎng)格疊加技術(shù)(MST)，計(jì)算了密煉機(jī)二維流場(chǎng)的速度場(chǎng)分布。在此基礎(chǔ)上，利用基于拉格朗日體系的有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)(FTLE)、拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCS)，結(jié)合Poincaré映射和粒子可視化技術(shù)，分析了4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)二維流場(chǎng)的混沌混合特性；討論了轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)對(duì)FTLE和LCS分布的影響以及密煉機(jī)二維流場(chǎng)潛在的動(dòng)力學(xué)和幾何特性。結(jié)果表明，由于物質(zhì)線的封閉狀態(tài)，導(dǎo)致了密煉機(jī)近轉(zhuǎn)子區(qū)流體輸運(yùn)受到了阻礙，因此，增強(qiáng)近轉(zhuǎn)子區(qū)與遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)的物質(zhì)交換是進(jìn)行轉(zhuǎn)子優(yōu)化的重要環(huán)節(jié)。由于4WS轉(zhuǎn)子棱邊獨(dú)特的凹槽結(jié)構(gòu)，在近轉(zhuǎn)子區(qū)易產(chǎn)生馬蹄形結(jié)構(gòu)，在流域中形成同宿穿插結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)了近轉(zhuǎn)子區(qū)和遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)之間的物質(zhì)交換，強(qiáng)化了密煉機(jī)流場(chǎng)的混沌混合。

密煉機(jī)；混沌混合；有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)；拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)

1 前 言

密煉機(jī)是聚合物加工的重要設(shè)備，廣泛應(yīng)用于聚合物塑煉和混煉等。密煉機(jī)內(nèi)聚合物流體經(jīng)歷著變形、合并、破裂、混合等一系列行為，其流動(dòng)和混合機(jī)理非常復(fù)雜。轉(zhuǎn)子是密煉機(jī)的核心部件，是引發(fā)流體混合的主要?jiǎng)恿碓?；轉(zhuǎn)子的幾何構(gòu)型和運(yùn)行條件是控制混合強(qiáng)度的主要因素。因此，以密煉機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為核心，聚合物流體的混合機(jī)理，是調(diào)控混煉設(shè)備參數(shù)和加工參數(shù)、實(shí)現(xiàn)混煉過程精密控制的重要理論基礎(chǔ)。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于密煉機(jī)流體混合機(jī)理的研究主要集中在分布混合和分散混合等線性混合表征。Connelly等[1]采用粒子簇分布指數(shù)、分離尺度、平均混合效率和瞬時(shí)混合效率等參數(shù)表征二維混合器的分布混合，采用剪切應(yīng)力和混合指數(shù)表征分散混合。Zhang等[2]采用停留時(shí)間分布(RTD)表征聚合物流體分布混合。Domingues 等[3]采用Shannon熵和分布混合指數(shù)表征聚合物分布混合，采用毛細(xì)管數(shù)和液滴尺寸變形量表征分散混合強(qiáng)度。Nakayama等[4]采用流體所經(jīng)歷的平均應(yīng)力和最大應(yīng)力值來衡量分散混合。聚合物流體線性混合的表征方法已具有相對(duì)較高的成熟度，但很難從本質(zhì)上揭示混煉流體的復(fù)雜混合機(jī)理。

混沌混合是強(qiáng)化聚合物加工流體層流混合的有效方法，傳統(tǒng)混沌混合動(dòng)力學(xué)主要以Poincaré截面和Lyaponuv指數(shù)等為研究工具[5～9]。Lee等[6]采用Poincaré截面和Lyaponuv指數(shù)對(duì)單螺桿擠出機(jī)混沌螺桿螺槽展開模型進(jìn)行了混沌混合研究。Hwang等[7]利用體積輸運(yùn)原理，采用Poincaré截面刻畫了混沌單螺桿的流體折疊結(jié)構(gòu)，并利用奇異攝動(dòng)法給出了不穩(wěn)定流形。程志飛等[8]采用Poincaré截面和Lyapunov指數(shù)對(duì)Roller轉(zhuǎn)子密煉機(jī)聚合物流體的混沌混合特性進(jìn)行了研究，以非線性混沌混合的視角對(duì)流場(chǎng)混合過程進(jìn)行了分析。徐百平等[9]對(duì)副螺棱軸向往復(fù)運(yùn)動(dòng)的單螺桿擠出機(jī)牛頓流體進(jìn)行了三維周期性流動(dòng)和混沌混合進(jìn)行了數(shù)值模擬，計(jì)算了示蹤劑界面增長(zhǎng)，采用Poincaré 截面揭示混沌混合存在的區(qū)域。

近年來，在傳統(tǒng)混沌混合動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，提出了基于拉格朗日體系的流動(dòng)結(jié)構(gòu)分析方法。Haller等[10]利用有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)(FTLE)定義了拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCS)，Shadden等[11]進(jìn)一步給出了LCS的精確定義，并證明了LCS結(jié)構(gòu)與輸運(yùn)邊界之間的相關(guān)性。Santitissadeekorn等[12]使用FTLE探究了單轉(zhuǎn)子混合機(jī)理，成功的識(shí)別了流場(chǎng)的LCS。Robinson等[13]利用速度場(chǎng)，計(jì)算了Cam轉(zhuǎn)子密煉機(jī)流體的FTLE和LCS，研究了轉(zhuǎn)子構(gòu)型對(duì)LCS的影響。目前，拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析方法廣泛應(yīng)用于海洋流動(dòng)、湍流和微流體混合等領(lǐng)域[14～18]，而對(duì)于聚合物加工流場(chǎng)的研究十分有限。

4WS標(biāo)準(zhǔn)四棱轉(zhuǎn)子是在傳統(tǒng)雙棱轉(zhuǎn)子的基礎(chǔ)上發(fā)展起來，具有混煉均勻、混合效率高等優(yōu)點(diǎn)。本文以4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)為研究對(duì)象，利用基于拉格朗日體系的有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)(FTLE)、拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCS)，結(jié)合Poincaré映射和粒子可視化技術(shù)，研究了4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)二維流場(chǎng)的混沌混合特性，分析了密煉機(jī)二維流場(chǎng)潛在的動(dòng)力學(xué)和幾何特性以及4WS轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)對(duì)FTLE和LCS的影響。從拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)分析視角，分析了密煉機(jī)流體輸運(yùn)和混合機(jī)理，為密煉機(jī)轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)提供理論參考。

2 拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)

對(duì)于二維流場(chǎng)，其瞬時(shí)變化的速度場(chǎng)可表示為：

由FTLE的定義可知，F(xiàn)TLE是表征相鄰流體粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，定義其“脊”結(jié)構(gòu)為拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCS)。當(dāng)時(shí)間向前積分時(shí)(T ＞ 0)，F(xiàn)TLE值越大，則表明在該位置的物質(zhì)被拉伸得越長(zhǎng)，即此時(shí)“脊”結(jié)構(gòu)代表穩(wěn)定流型，成為排斥的LCS。相反，當(dāng)時(shí)間向后積分時(shí)(0T＜)，則表明該處物質(zhì)將被壓縮，此時(shí)“脊”結(jié)構(gòu)則代表非穩(wěn)定流型，成為吸引的LCS?；贔TLE的LCS是分析非定常流體的有利工具，可以捕捉到流場(chǎng)潛在的力學(xué)和幾何特性。

3 物理模型及計(jì)算方法

圖1 密煉機(jī)幾何模型和有限元模型Fig.1 Geometry and finite element model of the internal batch mixer

4 計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 積分時(shí)間選取

積分時(shí)間是影響FTLE場(chǎng)中“脊”表現(xiàn)狀態(tài)的核心要素，當(dāng)選取優(yōu)質(zhì)積分時(shí)間，F(xiàn)TLE場(chǎng)中的 “脊”結(jié)構(gòu)(LCS)較為明顯且結(jié)構(gòu)完整。然而，優(yōu)質(zhì)的積分時(shí)間段并不是絕對(duì)的，對(duì)于不同的動(dòng)力系統(tǒng)、不同的網(wǎng)格密度等，積分時(shí)間段的選取也不相同。本文研究的密煉機(jī)為封閉式流道結(jié)構(gòu)，流體運(yùn)動(dòng)不能穿過筒壁或流進(jìn)轉(zhuǎn)子，隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)，原本相近的流體粒子(流體質(zhì)點(diǎn)，以下簡(jiǎn)稱粒子)必然會(huì)相遇。這對(duì)于利用Cauchy-Green張量計(jì)算的FTLE有一定的影響。由公式(5)可知，當(dāng)T→∞時(shí)，σ→0，這就意味著當(dāng)選取較長(zhǎng)的積分時(shí)間時(shí)，不同流域的FTLE相差較小，從而使FTLE變得平緩，不易觀測(cè)“脊”狀結(jié)構(gòu)。因此，本文首先對(duì)積分時(shí)間T的選取進(jìn)行分析。當(dāng)兩轉(zhuǎn)子的相位角為0° 時(shí)(見圖1(a))，設(shè)定為初始時(shí)刻t = 0 s，利用有限元網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)速度，采用4階Runge-Kutta法，確定出整體流場(chǎng)的速度函數(shù)，進(jìn)而求解相應(yīng)的流函數(shù)；再分別選取不同的積分時(shí)間，計(jì)算出時(shí)間向前的FTLE。

圖2所示為不同積分時(shí)間密煉機(jī)流場(chǎng)時(shí)間向前的FTLE場(chǎng)，其中紅色代表較大的FTLE值，藍(lán)色代表較小的FTLE值。從圖2(a)中可以看出，當(dāng)積分時(shí)間T= 40 s 時(shí)，在流道中心位置具有由較大值FTLE所組成的連續(xù)曲線，即“脊”狀結(jié)構(gòu)—LCS。隨著積分時(shí)間的增加，中心區(qū)域靠近轉(zhuǎn)子附近的較為平緩的“脊”消失，并出現(xiàn)了突變，且脊線長(zhǎng)度增加。因此，積分時(shí)間選取較短，會(huì)導(dǎo)致LCS顯示不完整，甚至還會(huì)將重要的LCS掩埋。當(dāng)T= 160 s 時(shí)，LCS基本將整個(gè)轉(zhuǎn)子包圍，這對(duì)于理解全局混合特性具有重要的參考意義。當(dāng)T= 240 s 時(shí)，LCS表現(xiàn)的更加復(fù)雜，很難分辨出主要與次要的LCS，不利于短期全局混合特性的研究，而適于研究局部混合形態(tài)。當(dāng)T= 480 s 時(shí)，由于流體粒子的均勻混合，使得FTLE而趨于平均化，LCS全局混亂且“脊”狀結(jié)構(gòu)不再明顯，只能作為長(zhǎng)時(shí)間混合和拉伸形態(tài)的參照。需要說明的是，由于初始的數(shù)據(jù)提取會(huì)有一定的誤差，在長(zhǎng)時(shí)間的積分過程中，誤差將以指數(shù)增長(zhǎng)，為了避免誤差過大，盡量不要選取過長(zhǎng)的積分時(shí)間，這也是選取有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)計(jì)算LCS的原因。

圖2 t= 0 s時(shí)不同積分時(shí)間的時(shí)間向前FTLE場(chǎng)Fig.2 Forward time FTLE field in the mixer with different integration times

4.2 不同時(shí)刻的LCS

LCS是物質(zhì)線的近似，且隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而發(fā)生相應(yīng)的改變[10]。為了詳細(xì)了解密煉機(jī)流場(chǎng)不同時(shí)刻的LCS狀態(tài)，給出了積分時(shí)間T= 160 s 時(shí)，不同初始時(shí)刻流場(chǎng)的時(shí)間向前FTLE場(chǎng)，如圖3所示。從圖中可以看到，排斥的LCS隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而表現(xiàn)出不同的形狀，但是無論形狀如何變化，其主要部分總是在中心區(qū)域，將混合區(qū)劃為兩個(gè)部分。由于排斥的LCS將導(dǎo)致邊界兩側(cè)的粒子向背離LCS的方向運(yùn)輸，成為流體運(yùn)動(dòng)中一個(gè)無形邊界。通過該邊界的流量很小，可以忽略[15]。所以，粒子在排斥的LCS附近會(huì)受到較強(qiáng)的拉伸作用，使得在LCS兩側(cè)較近的粒子，在某一時(shí)間內(nèi)以指數(shù)速度迅速分開，形成了良好的混沌混合開端。

圖3 積分時(shí)間T= 160 s 不同初始時(shí)刻的時(shí)間向前FTLE場(chǎng)Fig.3 Forward time of FTLE field in the mixer with different initial times atT=160 s

圖4 積分時(shí)間T= ?160 s 不同初始時(shí)刻的時(shí)間向后FTLE場(chǎng)Fig.4 Backward time of FTLE field in the mixer with different initial times atT= ?160 s

圖4 為積分時(shí)間T= ?160 s 時(shí)，不同初始時(shí)刻的時(shí)間向后的FTLE場(chǎng)。從圖中可以清晰的辨識(shí)出吸引的LCS。隨著時(shí)間增加，在吸引LCS附近的流體粒子會(huì)逐漸被吸引到該“脊”線上。因此，“脊”線上的流體粒子逐漸被壓縮、變細(xì)、重新排列。這說明瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的粒子會(huì)按照當(dāng)時(shí)所表現(xiàn)的吸引的LCS軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。此外，在圖4中還可以看到在轉(zhuǎn)子棱邊的凹槽附近，會(huì)產(chǎn)生類似于馬蹄狀的扭結(jié)，隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)，扭結(jié)被逐漸拉長(zhǎng)而最終捏合成一條線，同時(shí)在另一轉(zhuǎn)子棱的凹槽附近產(chǎn)生新的扭結(jié)，且循環(huán)往復(fù)。在扭結(jié)附近粒子出現(xiàn)折疊現(xiàn)象，使其周圍的流體粒子混合更加充分。

圖5 不同初始時(shí)刻流場(chǎng)排斥(藍(lán))和吸引(紅)的LCS(T=±160 s)Fig.5 The repelling LCS (blue) and attracting LCS (red) redrawn from the FTLE field with different initial times

4.3 全局混合形態(tài)分析

為了便于分析密煉機(jī)流場(chǎng)的全局混合特性，將排斥和吸引的LCS共同提取，并繪制于同一流場(chǎng)中。圖5所示為積分時(shí)間T=±160 s 時(shí)，密煉機(jī)流場(chǎng)排斥和吸引的LCS分布。需要說明的是，本節(jié)研究的主要目的是分析全局混合性態(tài)，為了不被細(xì)小的LCS所擾亂，只提取了最主要的LCS，即較突出的“脊”。對(duì)于數(shù)值較小的FTLE“脊”，具體細(xì)節(jié)將在4.4節(jié)中詳細(xì)分析。

從圖5中可以看到，排斥和吸引的LCS將整個(gè)流場(chǎng)分割成了3個(gè)不同運(yùn)動(dòng)特性的流場(chǎng)區(qū)域，即：I、II、III區(qū)，其中I、III區(qū)為L(zhǎng)CS與轉(zhuǎn)子外壁之間的流體區(qū)域，II區(qū)為L(zhǎng)CS與機(jī)筒外壁之間的流體區(qū)域，其中兩個(gè)轉(zhuǎn)子被分入不同的區(qū)域。由于LCS作為運(yùn)輸?shù)臏?zhǔn)邊界，在運(yùn)動(dòng)過程中穿過這個(gè)邊界的物質(zhì)是非常少的，在一定程度上可以忽略[12]。這表明流場(chǎng)中的粒子也會(huì)按照其邊界的變化而被劃為三個(gè)區(qū)域，且各區(qū)域之間只有很少的流體交流。位于II區(qū)被困在轉(zhuǎn)子周圍的粒子，由于采用了無滑移邊界條件，貼近轉(zhuǎn)子周圍的粒子隨著轉(zhuǎn)子一同旋轉(zhuǎn)，混合效果相對(duì)較差。值得注意的是，在密煉室中心區(qū)域存在雙曲不動(dòng)點(diǎn)，粒子團(tuán)在經(jīng)過雙曲不動(dòng)點(diǎn)將先沿著非穩(wěn)定流型的法線方向受到強(qiáng)拉伸；沿著非穩(wěn)定流型運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到沿非穩(wěn)定流型法線方向的壓縮。這使得初始位置在穩(wěn)定流型兩側(cè)很近的兩個(gè)粒子在經(jīng)過雙曲不動(dòng)點(diǎn)之后，會(huì)以指數(shù)速度分離，這是混沌混合必要條件。

此外，從LCS分布圖還可以看出，對(duì)于遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)(II區(qū))，由于自由流動(dòng)使得流體粒子能夠均勻分布，混合比較充分，僅在貼近機(jī)筒壁面區(qū)域的粒子存在滯留，混合效果相對(duì)較差。反之，在近轉(zhuǎn)子區(qū)的流體(I、III區(qū))，由于物質(zhì)線的封閉，導(dǎo)致流體的輸運(yùn)受到阻礙，加之轉(zhuǎn)子邊界的作用，流體的拉伸強(qiáng)度較弱，混合均勻性較差，而近轉(zhuǎn)子區(qū)和轉(zhuǎn)子的幾何形狀有關(guān)。因此，近轉(zhuǎn)子區(qū)是進(jìn)行轉(zhuǎn)子優(yōu)化的重要流域。由于4WS轉(zhuǎn)子棱邊獨(dú)特的凹槽區(qū)產(chǎn)生了局部渦流，減小了轉(zhuǎn)子邊界上粒子滯留的區(qū)域，強(qiáng)化了邊界區(qū)域的流體混合，使得密煉機(jī)的整體混合效率有所提高。

混沌混合的另一標(biāo)志性是Smale馬蹄映射，是雙區(qū)不動(dòng)點(diǎn)鄰域同宿軌道性態(tài)簡(jiǎn)單模型的康托爾集(Cantor set)[19]。圖6為0～180 s吸引的LCS的變化。由于轉(zhuǎn)子為同步周期性轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看到吸引的LCS形成馬蹄映射的整個(gè)過程。特別是LCS上的的馬蹄結(jié)構(gòu)在多次迭代映射后，將逐漸變細(xì)，并在雙曲固定點(diǎn)附近趨于非穩(wěn)定流型。由穩(wěn)定和非穩(wěn)定流型相互疊加后，可推斷在流域中存在多個(gè)同宿點(diǎn)，并形成同宿穿插(Homoclinic transverse)，由于混合腔室的空間有限，穩(wěn)定流型和非穩(wěn)定流型都被壓縮在一起。另外，因?yàn)榉€(wěn)定流型和非穩(wěn)定流型是不變集，且流映射是至少C1微分同胚，說明這些同宿點(diǎn)具有相同的性質(zhì)，根據(jù)Smale-Birkhoff定理[19]，接近這些同宿點(diǎn)的不變康托爾集，在Poincaré映射下是混沌的。

圖6 不同時(shí)刻穩(wěn)定流型的變化Fig.6 Change of stable manifolds with different times

4.4 局部混合特性分析

本節(jié)將利用Poincaré截面和LCS結(jié)構(gòu)，分析密煉機(jī)流場(chǎng)的局部混合特性。Poincaré截面由不同回歸點(diǎn)的集合所組成，對(duì)封閉軌線和不動(dòng)點(diǎn)的研究更為直觀[20]。本文選取40個(gè)周期的回歸點(diǎn)，求出不同時(shí)刻的Poincaré截面，對(duì)局部混合特性進(jìn)行深入分析。圖7所示為不同初始時(shí)刻的Poincaré截面。從圖中可以看到，周期軌道在相空間中大部分處于一種無序的混沌狀態(tài)，流道的大部分區(qū)域?qū)儆诨煦鐓^(qū)。其中，在密煉機(jī)最右和最左端的區(qū)域粒子分布最為均勻，沒有明顯的規(guī)則區(qū)域。此外，在密煉機(jī)Poincaré截面中也存在規(guī)則區(qū)—KAM管、馬蹄結(jié)構(gòu)和局部極限環(huán)曲線。為了進(jìn)一步了解上述的特殊區(qū)域的混合特性，給出了Poincaré截面的局部放大圖，如圖8所示。從圖8(c)中可以看到，規(guī)則區(qū)的流體粒子具有較為有序的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)KAM定理可知，外部粒子不能穿越KAM管邊界而進(jìn)入到管內(nèi)部，管內(nèi)的粒子也不能穿過邊界而進(jìn)入管外部，使得KAM管內(nèi)粒子獨(dú)立于外部區(qū)域，不與外界產(chǎn)生物質(zhì)交換。同時(shí)，在混沌的中心區(qū)域可以清晰可見一些曲線，如圖8(b)所示。由Poincaré截面的特性可知，當(dāng)t→∞時(shí)，周圍的流體質(zhì)點(diǎn)會(huì)逐漸靠近這些曲線。這些曲線具有類似極限環(huán)的性質(zhì)，由于轉(zhuǎn)子的擾動(dòng)使得這些原本封閉的極限環(huán)不能閉合，這樣的曲線稱之為局部極限環(huán)曲線。局部極限環(huán)曲線的存在阻隔了粒子的運(yùn)輸，減緩了粒子的交換和重疊，使得物質(zhì)混合的區(qū)域變得有限，而減小了全局混沌混合。此外，圖7(a)中還存在一處較為特殊的極限環(huán)曲線—馬蹄結(jié)構(gòu)，其局部放大圖如圖8(a)所示。粒子在極限環(huán)的限制作用下，隨極限環(huán)曲線產(chǎn)生強(qiáng)彎曲，形成了馬蹄形結(jié)構(gòu)。雖然粒子的運(yùn)輸性降低了，但流體粒子的折疊作用增加了混合的均勻性。需要說明的是，由于粒子的混沌運(yùn)動(dòng)，其混沌結(jié)構(gòu)大部分被眾多粒子所掩蓋。對(duì)于混沌區(qū)內(nèi)部的混合狀態(tài)、混合邊界以及混合機(jī)理仍不易看出。

圖7 不同時(shí)刻密煉機(jī)流道Poincaré截面Fig.7 Poincaré sections in the mixer with different initial times

圖8 Poincaré截面局部放大圖Fig.8 Magnified Poincaré sections in local flow region

為了更好的理解混沌區(qū)內(nèi)部的混合機(jī)理，給出了物質(zhì)線隨時(shí)間演變成馬蹄形結(jié)構(gòu)過程，如圖9所示。物質(zhì)線由于兩端的拉伸被分成兩段新的物質(zhì)線，且產(chǎn)生彎曲和折疊現(xiàn)象，如圖9(a)～(d)所示。隨著時(shí)間的增加，兩段物質(zhì)線的彎曲和折疊程度逐漸增大。當(dāng)物質(zhì)線再次回到雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近時(shí)(見圖9(l))，由于雙曲不動(dòng)點(diǎn)周圍的拉伸與壓縮的作用，其物質(zhì)線運(yùn)動(dòng)方式由平流壓縮變?yōu)檎郫B壓縮，并逐步向初始物質(zhì)線靠攏，再一次壓縮為一條物質(zhì)線，這就是一次馬蹄映射的全過程。之后，新生成的物質(zhì)線再次被拉伸成兩段新的物質(zhì)線而被彎曲折疊，循環(huán)往復(fù)。

選取積分時(shí)間T = -240 s ，計(jì)算密煉機(jī)流場(chǎng)時(shí)間向后的FTLE場(chǎng)，如圖10所示，較長(zhǎng)的積分時(shí)間(T = -240 s )可以體現(xiàn)出更多LCS細(xì)節(jié)。從圖10可以看到，在轉(zhuǎn)子棱邊凹槽附近，物質(zhì)線產(chǎn)生了具有較大彎曲和壓縮的扭結(jié)(在Poincaré截面中表現(xiàn)為馬蹄結(jié)構(gòu)，見圖8(a))。產(chǎn)生扭結(jié)的主要原因?yàn)椋阂皇橇鞯揽臻g狹小，粒子沒有較大擴(kuò)散的范圍而積聚在一起；二是由于轉(zhuǎn)子的“S形”輪廓結(jié)構(gòu)，更容易產(chǎn)生滾壓作用，從而得到較大的壓縮。隨著時(shí)間的增加，扭結(jié)的彎曲和壓縮程度逐漸增大。當(dāng)轉(zhuǎn)子經(jīng)過一個(gè)周期后，物質(zhì)線已嚴(yán)重變薄，且在轉(zhuǎn)子凸棱與機(jī)筒內(nèi)壁之間的強(qiáng)壓縮作用下，扭結(jié)尾部的物質(zhì)線被截?cái)嘣谶h(yuǎn)離轉(zhuǎn)子的混合區(qū)(Ⅱ區(qū))，如圖10(c)所示，這種分離現(xiàn)象使部分屬于近轉(zhuǎn)子區(qū)域(I、III區(qū))的粒子，能夠進(jìn)入到遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)域，有利于不同區(qū)域之間的物質(zhì)交換。這是扭結(jié)(馬蹄結(jié)構(gòu))所帶來的積極作用，即讓遠(yuǎn)、近轉(zhuǎn)子區(qū)域的粒子有了交換的媒介，增強(qiáng)了流體混合的均勻性。由于馬蹄結(jié)構(gòu)的循環(huán)產(chǎn)生(見圖9)，因此，馬蹄結(jié)構(gòu)在混沌混合中具有重要的強(qiáng)化作用。

圖9 物質(zhì)線演變成馬蹄形結(jié)構(gòu)過程Fig.9 Processes of material line evolution into horseshoe shaped structures

圖10 積分時(shí)間T = ?240 s不同初始時(shí)刻時(shí)間向后的FTLE場(chǎng)Fig.10 Backward time of FTLE field in the mixer with different initial times at T = ?240 s

4.5 不同區(qū)域粒子追蹤可視化結(jié)果

密煉機(jī)流道的不同區(qū)域呈現(xiàn)出不同的混沌或周期混合特性，為了進(jìn)一步理解密煉機(jī)局部混合特性，在流道中選取了3處典型位置釋放流體粒子，進(jìn)行粒子追蹤可視化分析[22]，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。圖11(a)為在吸引的LCS內(nèi)側(cè)(位于I區(qū))和外側(cè)區(qū)域(位于II區(qū))分別釋放粒子的可視化結(jié)果。從圖中可以看到，位于吸引的LCS外側(cè)的藍(lán)色粒子團(tuán)與LCS內(nèi)側(cè)的紅色粒子團(tuán)基本上沒有相互混合。藍(lán)色粒子團(tuán)不但比紅色粒子團(tuán)具有更大的拉伸，還伴隨著折疊與再拉伸。對(duì)于內(nèi)側(cè)紅色粒子團(tuán)，經(jīng)過240 s 后依然附于轉(zhuǎn)子壁面，不但未與藍(lán)色粒子團(tuán)發(fā)生混合，其自身也僅出現(xiàn)了較小拉伸和折疊現(xiàn)象，混合效果較差。這說明即使初始位置很近的兩個(gè)粒子團(tuán)，但位于不同的LCS分割區(qū)域，混合效果也有較大的差異。

其次，對(duì)轉(zhuǎn)子中心區(qū)域釋放粒子，紅色和綠色粒子團(tuán)分別位于靠近雙曲不動(dòng)點(diǎn)兩側(cè)的I區(qū)和III區(qū)，如圖11(b)所示，通過粒子追蹤分析雙曲固定點(diǎn)周圍流體的混合特性。從圖中可以看到，在60 s 時(shí)，放于雙曲不動(dòng)點(diǎn)兩側(cè)的粒子團(tuán)在非穩(wěn)定流型的作用下產(chǎn)生了背離運(yùn)動(dòng)，并隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)而逐漸拉長(zhǎng)且在轉(zhuǎn)子凹槽處發(fā)生折疊；之后在同宿穿插的作用下，近轉(zhuǎn)子區(qū)域與遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)域出現(xiàn)物質(zhì)交換；在150 s 后，部分回到雙曲不動(dòng)點(diǎn)粒子在穩(wěn)定流型的影響下，再次被折疊并在穩(wěn)定流型的附近重新排列和壓縮，使混合得到進(jìn)一步增強(qiáng)?？梢婋p曲固定點(diǎn)的存在極大的提高了混合效率。

圖11 不同區(qū)域粒子追蹤可視化結(jié)果Fig.11 Particle visualization results in different portions

最后，討論規(guī)則區(qū)內(nèi)粒子追蹤可視化規(guī)律，如圖11(c)所示。規(guī)則區(qū)是通過Poincaré截面所獲得的具有周期性混合的區(qū)域(見圖8(c))，對(duì)應(yīng)的FTLE值較小，粒子間沒有較大的相對(duì)位移差。從圖11(c)中可以看到，紅色粒子團(tuán)被放于規(guī)則區(qū)內(nèi)部，在60 s 時(shí)，紅色粒子團(tuán)仍保持在規(guī)則區(qū)內(nèi)，無明顯變化。在120 s 后紅色粒子團(tuán)被逐漸拉伸，并緩慢地貼近機(jī)筒壁內(nèi)側(cè)流動(dòng)，150 s 后這一區(qū)域的粒子仍呈連續(xù)狀分布，無明顯的混合現(xiàn)象，因此規(guī)則區(qū)內(nèi)流體的混合強(qiáng)度遠(yuǎn)弱于混沌區(qū)。

5 結(jié) 論

采用有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)、拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)和Poincaré截面等對(duì)4WS轉(zhuǎn)子密煉機(jī)流體的混沌混合進(jìn)行了分析，討論了轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)對(duì)FTLE和LCS分布的影響。

(1) 通過對(duì)同一相位不同積分時(shí)間的FTLE場(chǎng)可以發(fā)現(xiàn)，積分時(shí)間過短時(shí)，LCS結(jié)構(gòu)顯示不明顯。當(dāng)增加積分時(shí)間，可逐漸清晰、完整的辨識(shí)出LCS。但積分時(shí)間過長(zhǎng)，LCS結(jié)構(gòu)反而被各種計(jì)算誤差所產(chǎn)生的復(fù)合誤差所掩埋。

(2) 吸引和排斥的LCS在全局上形成同宿穿插，在雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近產(chǎn)生馬蹄形映射，且隨時(shí)間增加，馬蹄形映射重復(fù)出現(xiàn)，密煉機(jī)流體獲得了較好的混沌混合。排斥和吸引的LCS將整個(gè)流場(chǎng)分割成了2個(gè)不同運(yùn)動(dòng)特性的流動(dòng)區(qū)域，其中，在近轉(zhuǎn)子區(qū)由于物質(zhì)線的封閉，而導(dǎo)致流體的輸運(yùn)受到阻礙，因此，近轉(zhuǎn)子區(qū)是進(jìn)行轉(zhuǎn)子優(yōu)化的重要流域。由于4WS轉(zhuǎn)子棱邊特殊的凹槽結(jié)構(gòu)，在近轉(zhuǎn)子區(qū)易產(chǎn)生馬蹄結(jié)構(gòu)，且隨著混合時(shí)間的增加，馬蹄結(jié)構(gòu)的彎曲和折疊程度逐漸增大，增強(qiáng)了近轉(zhuǎn)子區(qū)和遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)之間的物質(zhì)交換，強(qiáng)化了流場(chǎng)的混沌混合。

(3) 粒子可視化模擬結(jié)果表明，相比于近轉(zhuǎn)子區(qū)的粒子，遠(yuǎn)轉(zhuǎn)子區(qū)的粒子會(huì)受到更大的拉伸，而且有更好的遍歷性。在雙曲不動(dòng)點(diǎn)的附近，近轉(zhuǎn)子區(qū)域中的粒子由于受到同宿穿插的影響，使得原本封閉的區(qū)域發(fā)生了物質(zhì)交換，從而引起了各區(qū)域之間的粒子交換，并在不動(dòng)點(diǎn)周圍的穩(wěn)定流型上重新排列而獲得了較好的混合效果。

(4) 受雙曲不動(dòng)點(diǎn)的影響，在Poincaré截面中，流道中間區(qū)域粒子向兩側(cè)拉伸，且存在不同層次的分成結(jié)構(gòu)，并其帶入到馬蹄結(jié)構(gòu)中，得到較好的折疊而達(dá)到混沌混合。同時(shí)，在整體混沌的情況下，還在密煉機(jī)流道的混合區(qū)上部存在較低FTLE值的局部規(guī)則區(qū)—KAM管，以及諸多局部極限環(huán)結(jié)構(gòu)，阻隔了粒子的運(yùn)輸，減緩了粒子的交換和重疊，一定程度上減弱了全局混沌混合。

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Lagrangian Coherent Structure Analysis of Chaotic Mixing in an Internal Batch Mixer with 4WS Rotors

GAO He, ZHU Xiang-zhe, TONG Ying, HE Yan-dong
(School of Mechanical Engineering, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, China)

Mixing mechanism in a 4WS batch internal mixer was studied with Lagrangian coherent structure (LCS) analysis. Two-dimensional velocity distributions in the mixer were calculated with mesh superposition technique (MST). Moreover, the characteristics of chaotic mixing in the mixer were analyzed based on finite-time Lyapunov exponent (FTLE), LCS, Poincaré map and particle visualization technology. The effects of rotor geometry on FTLE and LCS distributions were discussed. Furthermore, potential dynamics and geometrical features in the mixer were given. The results show that fluid transportation is hindered by the closed material line near the rotor region. Therefore, it is important to enhance fluid exchange between near and far rotor areas. In addition, Smale horseshoes near rotor region is easily formed due to special structure of rotor edges, which leads to homoclinic transverse that enhances material exchange and chaotic mixing in the mixer.

internal batch mixer； chaotic mixing； finite time Lyapunov exponent； Lagrangian coherent structure (LCS)

TQ 320. 5

：A

10.3969/j.issn.1003-9015.2016.06.006

1003-9015(2016)06-1274-10

2016-03-07；

2016-07-04。

國(guó)家自然科學(xué)基金(51473073，51303075，50903042)；遼寧省自然科學(xué)基金(2015020142)。

高鶴(1990-)，男，遼寧撫順人，遼寧石油化工大學(xué)碩士生。

朱向哲，E-mail:xzzhu@126.com