基于頻率特性和參數(shù)靈敏度的系統(tǒng)脆弱性的分析

張鯤鵬,蘇永清,趙聞達

(同濟大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海,201800）

基于頻率特性和參數(shù)靈敏度的系統(tǒng)脆弱性的分析

張鯤鵬,蘇永清,趙聞達

(同濟大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海,201800）

脆弱性是閉環(huán)控制系統(tǒng)對參數(shù)靈敏度的表征。本文通過分析控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性和系統(tǒng)對參數(shù)的靈敏度來定量分析脆弱性，當系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線離臨界點（-1,0j）越近，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越容易遭到破壞；同時系統(tǒng)對某個參數(shù)越靈敏，系統(tǒng)特性也是相對容易變化。實際上，系統(tǒng)的參數(shù)總是存在一定的不確定性，可能導(dǎo)致設(shè)計的系統(tǒng)無法實現(xiàn)。

參數(shù)靈敏度；頻率特性；控制系統(tǒng)；脆弱性

0 引言

控制領(lǐng)域中“脆弱性”問題首先被Keel和Bhattacharryya提出來，他們認為系統(tǒng)控制器是脆弱性的，是因為控制器參數(shù)的微小擾動導(dǎo)致整個閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。James F.Whidborne等從閉環(huán)系統(tǒng)極點對控制器參數(shù)的靈敏度進行分析量化脆弱性，并提出對控制器設(shè)計的優(yōu)化方法。文獻[1][2]認為這是控制器脆弱性的問題，所以一經(jīng)提出就受到部分學(xué)者質(zhì)疑。何朕等學(xué)者認為任何反饋系統(tǒng)都具有一定的穩(wěn)定性，只是其穩(wěn)定裕度有大有小，也就是說，任何穩(wěn)定的反饋系統(tǒng)，總能容許實際上存在的各種微小攝動，其中包括參數(shù)的攝動，只是這個容許范圍有寬有窄。因此對控制系統(tǒng)脆弱性研究，不能僅在控制器上尋找原因。脆弱性系統(tǒng)是對參數(shù)非常敏感的，參數(shù)的微小攝動將導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，它是一種系統(tǒng)對參數(shù)極端敏感度的研究。

脆弱性的系統(tǒng)在理論上是存在一定的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度，但是實際調(diào)試中，由于受到環(huán)境應(yīng)力的影響以及器件參數(shù)精度限制而無法實現(xiàn)，這就是系統(tǒng)脆弱性的問題。而研究脆弱性的意義在于，對于存在脆弱性問題的系統(tǒng)，如從脆弱性方面去分析并重新設(shè)計，就有可能使這個設(shè)計得以實現(xiàn)。本文將從系統(tǒng)對各個存在攝動參數(shù)的極端靈敏度方面對脆弱性進行定量分析。

1 系統(tǒng)靈敏度

在實際控制系統(tǒng)中，控制對象的參數(shù)將受到一些因素的影響，如持續(xù)變化的環(huán)境、器件老化、過程參數(shù)的不確定性等，對于閉環(huán)系統(tǒng)而言，這些變化可能導(dǎo)致輸出變化和穩(wěn)定裕度的變化。控制系統(tǒng)穩(wěn)定性對受控對象參數(shù)變化的靈敏度是非常重要的系統(tǒng)特性之一。首先，系統(tǒng)對受控對象靈敏度的定義為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與受控對象傳遞函數(shù)變化率之比。閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為T(s )，受控對象傳遞函數(shù)為G(s)，則靈敏度，取其微小增量的極限形式，則式變?yōu)?/p>

對于控制系統(tǒng)脆弱性而言，需要研究的是參數(shù)的攝動對閉環(huán)系統(tǒng)的影響。假設(shè)α為受控對象G(s)的參數(shù)為系統(tǒng)對受控對象參數(shù)變化的靈敏度。根據(jù)鏈式法則，可以得到其中為受控對象對參數(shù)的靈敏度。得到受控對象對參數(shù)α的變化的靈敏度的計算公式

其中，α0為參數(shù)α的標稱值。

2 脆弱性計算

脆性在字典中的定義為：“物體在受拉力和沖擊時，沒有顯著變形而突然破碎的性質(zhì)”，引申到控制領(lǐng)域，可以理解為：“穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界環(huán)境應(yīng)力的作用而突然失去原本的穩(wěn)定性”。環(huán)境應(yīng)力作用的直接體現(xiàn)就是系統(tǒng)中參數(shù)的變化。

從開環(huán)傳遞函數(shù)G(s )的Nyquist特性的示意圖中，ρ為G(jω)距離-1點的最小距離，由幾何關(guān)系得到

考慮到反饋環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，本文通過系統(tǒng)對受控對象最大靈敏度下的參數(shù)靈敏度來表示系統(tǒng)的脆弱性Fs。設(shè)系統(tǒng)對受控對象最大靈敏度的頻率為脆弱頻率ωs，顯然

脆弱性定義為

脆弱性指標包含系統(tǒng)兩方面的信息，一是閉環(huán)傳遞函數(shù)的穩(wěn)定裕度，二是開環(huán)傳遞函數(shù)對參數(shù)的靈敏度。因此脆弱性的含義可以理解為受控對象中的參數(shù)變化對系統(tǒng)的破壞性。數(shù)值越大，參數(shù)的微小攝動將導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定性；數(shù)值越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越不易被破壞。

其中Fi(i=1,…,n)為系統(tǒng)對參數(shù)xi的靈敏度，即

代入式得到脆弱性定義為

3 脆弱性分析

其中

閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均處于左半平面，因此系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，下面對其進行脆弱性分析。

系統(tǒng)存在三個可變參數(shù)的情況下，計算系統(tǒng)的脆弱性為

此時系統(tǒng)脆弱性變大說明了，在其中兩個參數(shù)變化的情況下，導(dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定的第三個參數(shù)的最小變化幅度一定小于兩個參數(shù)不變情況下第三參數(shù)的最小變化幅度。同時MATLAB的仿真結(jié)果也證明了上述結(jié)論。

例2同樣是例2的受控對象

反饋環(huán)節(jié)設(shè)計為

其中

系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。下面對其脆弱性進行分析。

4 結(jié)論

結(jié)合開環(huán)頻率特性曲線與開環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)的靈敏度計算得到系統(tǒng)的脆弱性指標，脆弱性指標越大，參數(shù)相對很小的變化將導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；脆弱性指標越小，系統(tǒng)受參數(shù)影響程度越小。在系統(tǒng)設(shè)計時，通過對脆弱性指標進行分析，結(jié)合實際中系統(tǒng)參數(shù)的可變化范圍，可以預(yù)見和減少在系統(tǒng)實現(xiàn)時出現(xiàn)的問題。

[1] Whidborne J F,Istepanian R S H,Wu J. Reduction of controller fragility by pole sensitivity minimization[J]. Automatic Control IEEE Transactions on, 2001, 46(2):320-325.

[2] KEEL L H,BHATTACHARYYA S P.Robust,fragile,or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098 – 1105.

[3] 何朕,王廣雄,張靜,等.控制系統(tǒng)的脆弱性分析[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2013, 30(1).

[4] 王廣雄,張靜,朱井泉.倒立擺的輸出反饋控制:脆弱性和魯棒性分析[J].電機與控制學(xué)報,2002, 6(3):221-223.

[5] 多爾夫.現(xiàn)代控制系統(tǒng)[M].清華大學(xué)出版社,2008.

[6] Keel L H,Bhattacharyya S P.Robust,fragile, or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098-1105.

System vulnerability analysis based on frequency characteristics and parameter sensitivity

Zhang Kunpeng,Su Yongqing,Zhao Wenda
(electronic and information engineering,Tongji University,Shanghai,201800)

Vulnerability is a token of the parameter sensitivity of closed loop control system.In this paper,through the analysis of control system of open-loop frequency characteristic and sensitivity of the system parameters to the quantitative analysis of vulnerability,when the open-loop frequency characteristic curve from the critical point (-1,0j) closer,the stability of the system is easily damaged;at the same time the system of a more sensitive parameter,system characteristics is also relatively easy to change.In fact, there are some uncertainties in the parameters of the system,which may lead to the design of the system can not be realized.

parameter sensitivity;frequency characteristic;control system;vulnerability