銑削過程顫振穩(wěn)定性分析的研究進展

盧曉紅， 王鳳晨, 王　華, 王鑫鑫, 司立坤

(大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點實驗室， 大連　116024)

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銑削過程顫振穩(wěn)定性分析的研究進展

盧曉紅， 王鳳晨, 王華, 王鑫鑫, 司立坤

(大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點實驗室， 大連116024)

摘要：綜述銑削過程顫振穩(wěn)定性分析的研究概況和進展。顫振建模和穩(wěn)定性分析是該方法兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。依據(jù)顫振形成的物理條件，將其分為摩擦型顫振、振型耦合型顫振和再生型顫振。從切削過程的非線性和切削系統(tǒng)的非線性兩方面，重點介紹再生型顫振的非線性建模的研究成果。穩(wěn)定性分析方法根據(jù)對顫振模型的求解方法，分為頻域法、離散法及數(shù)值法，概括了各個方法的特點、效果及適用工況。最后介紹了近來興起的微細銑削研究領(lǐng)域中顫振穩(wěn)定性分析的研究成果。由于其尺度效應(yīng)，微細銑削加工具有獨特的加工機理和特點，顫振建模中需考慮的因素與傳統(tǒng)銑削多有不同，但穩(wěn)定性分析方法仍大多沿用傳統(tǒng)銑削中的方法。

關(guān)鍵詞：銑削；顫振；穩(wěn)定性分析；微細銑削

銑削加工過程中刀具與工件間的相對振動，是降低產(chǎn)品的精度及表面質(zhì)量，影響生產(chǎn)效率的主要原因。顫振是在切削過程中，在無周期性外部激振力持續(xù)作用下由于加工系統(tǒng)本身特性所引起的一種切削振動，一般表現(xiàn)為金屬切削過程中刀具與工件之間強烈的相對振動。顫振的發(fā)生降低了切削用量和工件表面質(zhì)量，產(chǎn)生大量的噪聲，甚至?xí)?dǎo)致刀具的提前報廢。

通過銑削過程顫振穩(wěn)定性分析，可獲取無顫振切削參數(shù)組合，以達到優(yōu)化工藝參數(shù)，抑制振動的目的。國內(nèi)外學(xué)者在銑削過程顫振穩(wěn)定性分析領(lǐng)域的方法大多為從銑削過程動力學(xué)模型出發(fā)求得由切削參數(shù)構(gòu)成的加工穩(wěn)定域邊界。本文不僅介紹了銑削顫振穩(wěn)定性分析方法中幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)的國內(nèi)外研究成果，而且對近年來興起的微細銑削研究領(lǐng)域中顫振穩(wěn)定性分析的研究進展進行了詳細說明。

1銑削過程顫振建模

1.1銑削過程動力學(xué)模型

顫振按照形成的物理條件可大體分為三種形式：摩擦型顫振、振型耦合型顫振和再生型顫振。

(1) 摩擦型顫振

摩擦型顫振是由切削速度方向上刀具與工件之間相互摩擦引起的，而產(chǎn)生這種相互摩擦的原因很多。Tlusty等[1]認為該原因是切削力相對于切削速度與刀具前角的動態(tài)變化的相位滯后；Sisson等[2]則通過研究刀具所受的切削力，得出切削速度增大時切削力下降的特性是主要原因的結(jié)論。國內(nèi)劉習(xí)軍等[3]建立了由非線性動態(tài)切削力相耦合的刀具彈性子系統(tǒng)與工件彈性子系統(tǒng)的多自由度非線性系統(tǒng)的顫振模型，以數(shù)值模擬計算方法，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)存在內(nèi)共振現(xiàn)象；之后，又利用平均法求出了系統(tǒng)的1∶2內(nèi)共振的近似解析解，找出了切削速度影響切削顫振的動態(tài)切削條件[4]。

(2) 振型耦合型顫振

振型耦合型顫振是由于振動系統(tǒng)在兩個方向上剛度相差不大，導(dǎo)致兩個固有振型相耦合引起的。一般采用實驗?zāi)B(tài)分析方法即可求得系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。Tlusty等[5]提出振型耦合型顫振，研究對象一般為兩自由度線性振動系統(tǒng)。Gasparetto[6]根據(jù)系統(tǒng)特征方程，利用特征值分析方法，研究振型耦合型顫振的穩(wěn)定條件，作出了詳細的闡述。Iturrospe等[7]利用狀態(tài)空間分析將系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)與系統(tǒng)自然頻率定量地聯(lián)系到一起，并提出了一種以控制系統(tǒng)自然頻率變化來探測切削過程穩(wěn)定狀態(tài)的方法。

振型耦合和再生效應(yīng)在多自由度的切削系統(tǒng)中往往同時存在。Huang等[8]建立了兩種效應(yīng)同時作用下的立銑顫振模型。研究表明：過程矩陣的特征值決定銑削穩(wěn)定性，而過程矩陣的特征向量影響結(jié)構(gòu)振動軌跡；通過分析振動軌跡，發(fā)現(xiàn)顫振會在振動能量周期性累積的方向上旋轉(zhuǎn)。Moradi等[9]利用多尺度法，研究了在再生效應(yīng)影響下XY方向的耦合模態(tài)之間能量傳遞。結(jié)果表明，當(dāng)能量傳遞給一個方向上的模態(tài)時，另一方向的振動會衰減，這樣可以通過將振動能量傳遞給表面質(zhì)量要求較低的方向上來抑制表面質(zhì)量要求較高的方向上的振動。林潔瓊等[10]綜合考慮再生效應(yīng)和振型耦合效應(yīng)，建立了隨機擾動激勵下兩自由度切削加工系統(tǒng)的顫振時滯動力學(xué)模型，分析了剛度主軸方位對切削穩(wěn)定性的影響。

(3) 再生型顫振

再生型顫振是由于上次切削所形成的振紋與本次切削的振動位移之間的相位差導(dǎo)致刀具切削厚度的不同而引起的顫振。由于再生效應(yīng)的存在，切削過程中某一時刻顫振的狀態(tài)依賴于切削系統(tǒng)在過去某一時刻的狀態(tài)，一般用時滯微分方程組來描述。Tlusty和星鐵太郎為代表所作的研究在線性模型范圍內(nèi)發(fā)展了一整套較為完善的理論與方法[11]。線性再生型顫振理論，一般將加工過程用反饋系統(tǒng)來表示，利用控制理論中的方法求解系統(tǒng)方程的穩(wěn)定性條件與穩(wěn)定性圖。

切削系統(tǒng)本質(zhì)上是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。對于再生型顫振最初的研究目的是更容易分析其穩(wěn)定性，線性再生顫振理論對于切削系統(tǒng)做了大量的簡化假設(shè)，不能描述顫振發(fā)生、發(fā)展和自穩(wěn)定的全過程，也無法解釋實際切削顫振中的很多現(xiàn)象。Hooke等考慮到切削過程和機床加工系統(tǒng)的非線性后，首先建立了非線性再生顫振模型。Stépán等[12]， Balachandran等[13-15]，師漢民[16-17]及龍新華等[18-19]也在非線性再生顫振理論方面做了很多有益的研究。

1.2顫振模型的主要影響因素分析

非線性動態(tài)銑削力被普遍認為是影響顫振模型的主要因素。切削過程中，切削力對于切削厚度存在非線性依賴關(guān)系。在再生顫振理論模型中，動態(tài)銑削力通常被表達為動態(tài)切削厚度的函數(shù)，一般為動態(tài)切削厚度的三次冪函數(shù)和四分之三冪函數(shù)[12]。Hanna等[20]基于機床結(jié)構(gòu)的非線性和切削力的非線性，建立了常系數(shù)差分微分方程，其中以動態(tài)切削厚度的二次冪和三次冪函數(shù)描述切削力的非線性。大振幅的斷續(xù)切削也是導(dǎo)致顫振的重要因素。當(dāng)振幅較大時，刀具運動軌跡會有一部分越出工件范圍之外，與工件脫離接觸；此時，動態(tài)切削厚度為零，動態(tài)切削力也為零，這與銑削中刀齒周期性間斷切削工件的現(xiàn)象不同，是造成切削加工中非連續(xù)、非線性的主要因素之一。在考慮大振幅的斷續(xù)切削的同時，切削過程中的多重再生效應(yīng)也不可忽略。多重再生效應(yīng)，簡而言之，就是在決定某次切削的動態(tài)切削厚度時，不僅要考慮上一次切削時刀具-工件系統(tǒng)間的動態(tài)位移，還需要考慮上一次乃至上上次切削時刀具留在工件上的波紋。由于大振幅的斷續(xù)切削和多重再生效應(yīng)的存在，動態(tài)切削厚度需表達為非光滑函數(shù)。Balachandran等[13]考慮到大振幅的斷續(xù)切削和多重再生效應(yīng)，建立了適用于部分徑向切深銑削及全徑向切深銑削等多種工況的銑削顫振模型，利用龐加萊截面圖和數(shù)值方法預(yù)測了其穩(wěn)定及失穩(wěn)狀態(tài)下的運動，預(yù)測結(jié)果與實驗觀察結(jié)果很接近。Banihasan等[21]建立了詳盡的二自由度顫振模型，除兩個不同方向的狀態(tài)依賴時滯外，首次提出同時考慮切削區(qū)中多個不同滯后刀具位置的多重再生效應(yīng)的準確幾何模型，指出分段多重再生效應(yīng)是銑削過程中非線性振動的根本特征，最大Lyapunov指數(shù)和分岔的數(shù)值計算證明了高速切削時存在混沌振動。

切削過程中，進給率對于時滯以至系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響也為國內(nèi)外學(xué)者所廣泛研究。Zhao等[14-15]研究了進給率對時滯和大振幅斷續(xù)切削效應(yīng)的影響，建立了顫振模型。該模型為含周期系數(shù)矩陣的非線性非齊次非自治方程組，在進給方向和其他方向上有著不同的常數(shù)時滯項。研究結(jié)果表明，線性顫振模型對于大徑向銑削過程可以做出相當(dāng)準確的穩(wěn)定性預(yù)測，但對于小徑向銑削過程不能準確的預(yù)測其穩(wěn)定性。龍新華等[18-19]除了考慮進給率對于時滯的作用之外，還考慮了其對于切入角和切出角的影響，以含周期系數(shù)矩陣的非自治時滯微分方程組描述四自由度銑削系統(tǒng)顫振，得到了較精準的非線性顫振穩(wěn)定葉瓣圖。該顫振模型中，由于進給率的影響，時滯項不再是常數(shù)項而是時變項，并且在X和Y方向上不同。

上述研究說明了銑削過程中的非線性，如切削厚度的時滯特性、大振幅的斷續(xù)切削、多重再生效應(yīng)等對于穩(wěn)定性預(yù)測及切削顫振的影響。此外，切削系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的非線性，如刀具結(jié)構(gòu)，機床結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，也都是影響切削顫振模型的重要因素。

在刀具結(jié)構(gòu)對于切削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響方面，關(guān)于變齒距或不等齒距銑刀的研究較多，主要因為在切削過程中，使用變齒距的銑刀比使用均勻齒距銑刀穩(wěn)定性更好。銑刀的齒距是切削刃上的點到下一個切削刃上同一個點的距離。此類結(jié)構(gòu)的銑刀可以分為兩種，變螺旋角銑刀和變齒間角銑刀。Altintas等[22]針對變齒間角銑刀修改了銑削顫振解析模型，在頻域內(nèi)繪制了以機床主軸轉(zhuǎn)速和軸向切深為橫、縱坐標(biāo)的穩(wěn)定性葉瓣圖。研究結(jié)果表明，相比于等齒距銑刀，變齒距銑刀在切削過程中穩(wěn)定性更好，更不易發(fā)生顫振。因此，優(yōu)化設(shè)計這類變齒距銑刀也是國內(nèi)外研究者抑制切削過程中顫振的方法之一。Budak[23-24]從理論和試驗兩方面分析和證明了變齒間角銑刀在提高材料去除率和降低表面粗糙度等方面有明顯的作用，尤其在低主軸速度時，可以得到很高的無顫振軸向切深。Turner等[25]將Budak的分析方法應(yīng)用到了變螺旋角銑刀，并與等螺旋角銑刀及變齒間角銑刀的穩(wěn)定性預(yù)測進行了對比，結(jié)果表明變螺旋角銑刀同樣可以很大改善切削穩(wěn)定性。Sellmeier等[26]認為，因等齒間角銑刀的動態(tài)銑削過程需用單時滯項的非自治微分方程組來描述，而不等齒間角銑刀的動態(tài)銑削過程應(yīng)用多時滯量的微分方程組來描述；研究結(jié)果表明，在單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖中，有 “穩(wěn)態(tài)島”出現(xiàn)。Otto等[27]針對變齒距銑刀的分布式時滯，建立解析模型，在頻域內(nèi)拓展了零階求解法，通過求解多階頻率矩陣的特征值繪制了更為完整的穩(wěn)定性圖。Dombovari等[28]考慮銑刀螺旋角的連續(xù)變化，建立了分布式時滯微分方程組。他認為連續(xù)變化的螺旋角會引起切削過程中時滯的連續(xù)變化，因此軸向力的分布可以用關(guān)于滯后時間的加權(quán)分布函數(shù)來表示。該模型探究了變螺旋角銑刀的一些復(fù)雜穩(wěn)定特性，有助于優(yōu)化設(shè)計更高材料去除率的新型銑刀。Eksioglu等[29]提出了銑削動態(tài)系統(tǒng)的離散時間模型，任意形狀的銑刀沿刀具軸線被劃分為微分單元，適用于變齒間角和變螺旋角刀具。

鋸齒銑刀由于其良好的抑振效果得國內(nèi)外學(xué)者的深入研究。Dombovari等[30]在時頻域內(nèi)建立了鋸齒銑刀切削穩(wěn)定性模型。由于沿切削刃每一點的時滯都與鋸齒結(jié)構(gòu)和進給率有關(guān)，利用含周期系統(tǒng)矩陣的多時滯微分方程組來描述切削動態(tài)過程。研究表明：在切削相同體積的材料時，鋸齒銑刀需要的驅(qū)動扭矩更??；即使在切削鈦之類的難加工材料時，鋸齒銑刀可采用無顫振切削深度也更大，加工效率更高。

機床結(jié)構(gòu)，主要是刀具與主軸結(jié)合面，以及主軸本身的非線性動態(tài)特性，也是影響切削顫振模型的重要因素。Catania等[31]建立了銑床結(jié)構(gòu)的實驗?zāi)B(tài)模型，將機床結(jié)構(gòu)對顫振模型的影響考慮在內(nèi)。李勤良等[32]考慮結(jié)合面遲滯非線性的基礎(chǔ)上，建立含有非線性激振力的機床單自由顫振模型，利用多尺度法求解系統(tǒng)振幅和相位的分岔方程，對顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究，并在此基礎(chǔ)上分析轉(zhuǎn)速和滯回參數(shù)等對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。Gao等[33]發(fā)現(xiàn)，主軸-夾具-刀具系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性對于切削過程穩(wěn)定性的影響在過往研究中往往以刀尖頻響函數(shù)的形式體現(xiàn)，而主軸結(jié)構(gòu)本身往往受到忽視。在這方面，Tian等[34-36]考慮了旋轉(zhuǎn)主軸的陀螺效應(yīng)對于切削穩(wěn)定特性的影響，而Erturk等[37]探討了主軸-夾具-刀具裝配結(jié)構(gòu)特性的作用。Gao等[33]利用數(shù)值模擬方法研究了主軸中球軸承對于切削過程穩(wěn)定性的影響，他發(fā)現(xiàn)主軸中球軸承與滾道的非線性非光滑赫茲接觸剛度是復(fù)雜振動響應(yīng)的根源之一，尤其在大軸承間隙的情況下。

主軸的動態(tài)特性對于切削顫振影響的研究主要集中在主軸速度變化上。Radulescu等[38-39]的研究指出變主軸速度切削可以降低切削振動振幅而且其切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性相比于常主軸速度切削，對于切削系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)變化的魯棒性更好。Takemura等[40]研究了主軸速度不同變化曲線下的切削穩(wěn)定性特點，變化曲線包括三角波，方波和正弦波。Sastry等[41]提出了一個針對變主軸速度下切削穩(wěn)定性的分析方法。該方法通過含時變周期系數(shù)及時變時滯的微分差分方程組描述動態(tài)切削系統(tǒng)的閉環(huán)模型，利用Floquet理論和傅里葉分析將穩(wěn)定問題簡化為確定無窮階特征方程根的位置?；赟astry等[41]的研究，Zatarain等[42]提出了一個頻域內(nèi)適用于任何主軸速度變化曲線的通用分析方法。龍新華等[43]利用半離散法，對變主軸速度下順銑和逆銑的穩(wěn)定性分別進行了研究，發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的軸向切深深度與常主軸速度切削相比有明顯改善，另外變主軸速度下逆銑的穩(wěn)定性改善要比順銑更好。Seguy等[44]以三角波及正弦波的主軸速度變化曲線，研究主軸變化的幅度和頻率對于穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明低頻率、大幅度的主軸變速更利于改善穩(wěn)定性。

2顫振穩(wěn)定性分析

銑削穩(wěn)定性分析的研究內(nèi)容一般為預(yù)測由臨界加工參數(shù)構(gòu)成的銑削過程穩(wěn)定性邊界，從而劃分出穩(wěn)定切削區(qū)和不穩(wěn)定切削區(qū)，繼而可以從穩(wěn)定性葉瓣圖中選擇適當(dāng)?shù)那邢鲄?shù)，達到避免顫振，提高加工效率和加工質(zhì)量的目的。

目前求解銑削加工穩(wěn)定性域的方法可以大體分為顫振模型求解和實驗法兩類。

2.1顫振模型求解法

顫振模型求解根據(jù)其對顫振模型的求解方法又可分為頻域法，離散法和數(shù)值法。

(1) 頻域法

頻域法一般為將顫振模型的時滯微分方程組利用傅里葉變換轉(zhuǎn)到頻域表示，基于控制理論，解析計算銑削穩(wěn)定邊界。Altintas等[45-46]首先提出了零階求解法。該方法求解基于再生效應(yīng)的兩自由度銑削顫振模型，將隨時間變化的定向動態(tài)銑削力系數(shù)矩陣，通過傅里葉變換到頻域，以傅里葉級數(shù)展開的平均量(即零次諧波分量)對其近似，并忽略了刀具-工件接觸區(qū)的交叉?zhèn)鬟f函數(shù)，求解閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的特征值，得到無顫振條件下的軸向切深。該方法所需要的計算條件較少，并且計算效率很高，但由于過于簡化，不能預(yù)報低徑向銑削工況時出現(xiàn)的倍周期分岔，精度較差。為解決這個問題，Merdol等[47]提出了多頻率法，該方法考慮了定向因子的高次諧波，在計算過程中需要迭代搜索顫振頻率，需求解多個特征值。Bachrathy等[48]將多頻率法擴展到適用于所有刀具結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性預(yù)測，包括可引入分布時滯的復(fù)雜刀具結(jié)構(gòu)，把擴展多頻率法和多維二分法結(jié)合大幅提高了計算效率，并證明了在所測頻響函數(shù)質(zhì)量較差的情況下，擴展多頻率法依然可以得到可靠的穩(wěn)定預(yù)測結(jié)果。

(2) 離散法

再生顫振模型一般為時滯微分方程組，穩(wěn)定性由系統(tǒng)單值算子的特征值所決定，但單值算子由無窮維矩陣表示，造成求解閉合形式的穩(wěn)定預(yù)測結(jié)果十分困難。離散法通常是利用有限維轉(zhuǎn)換矩陣去近似無窮維的單值算子，從而降低求解難度，減少計算時間。離散法主要包括半離散法、全離散法和時間有限元法三種。

Insperger等[49]為求解含周期時間系數(shù)矩陣的時滯微分方程組，從計算流體力學(xué)和有限元分析領(lǐng)域借鑒了半離散法；之后Insperger等[50]改進該算法，應(yīng)用于單自由度及兩自由度銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測。該方法用每個時間區(qū)段兩個相鄰滯后狀態(tài)值的加權(quán)和近似該時間區(qū)段的時滯項，同時對周期系數(shù)項做分片零階平均處理，從而構(gòu)造出單周期上逼近原微分動力系統(tǒng)的離散動力系統(tǒng)，獲得單周期的Floquet狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，最后以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的譜半徑大小來判斷是否穩(wěn)定。Insperger等[51]基于提高收斂性的目的，提出了一階半離散法：如周期時間系數(shù)項利用分段常值函數(shù)近似，對時滯項只需做不高于一階的逼近；為了取得更高階的收斂，周期時間系數(shù)需要用更高階的方法來逼近，如Magnus級數(shù)。Altintas等[52]比較了頻域法和半離散法，認為零階求解法對周期方向系數(shù)取平均，無需迭代，計算速度快，適用于大徑向切深比及每齒切削周期與結(jié)構(gòu)自然頻率接近的工況；多頻率法所需的頻響函數(shù)質(zhì)量要求不高，無需識別模態(tài)參數(shù)，適用于低徑向切深比及刀齒數(shù)較少的間斷切削工況；半離散法的精度及計算速度取決于使用的離散時間間隔和節(jié)點數(shù)量，可考慮變齒距刀具和變主軸速度等復(fù)雜工況，不過半離散法和多頻率法相對于零階求解法來說，分析更準確，但需要迭代搜索穩(wěn)定性邊界，需要更多的計算時間。該方向上，后來的研究重點主要集中在利用不同的方法提高計算速度和收斂性上，如李中偉等[53]提出基于Magnus-Gaussian截斷的零階半離散穩(wěn)定分析法,Niu等[54]提出基于Runge-Kutta的分析方法等。

Ding等[55]提出了一種基于數(shù)值積分的全離散法。該方法在對時間周期等距離散后，積分得到Floquet轉(zhuǎn)移矩陣，亦基于Floquet理論判穩(wěn)。全離散法與半離散法相似。二者的不同在于半離散基于微分方程而全離散法基于積分方程；半離散僅對時滯項及周期時間系數(shù)矩陣離散近似，而全離散法同步離散時滯項、當(dāng)前狀態(tài)和周期系數(shù)項。相同的離散時間間隔下，全離散法因矩陣指數(shù)函數(shù)只依賴轉(zhuǎn)速，因此計算時間更短，但收斂速度比一階半離散法低[56]?，F(xiàn)有的一些改進半離散法計算效率的方法也適用于全離散法[56]。全離散法同樣可用于多時滯項的穩(wěn)定性分級[57]，并可進一步提高收斂性[58]。Li等[59]提出了另一類全離散法，該方法離散了所有時間相關(guān)項，利用數(shù)值迭代方法得到迭代公式，從而得到Floquet轉(zhuǎn)移矩陣。

時間有限元法一般通過匹配近似切削中刀具運動和切入切出時刀具自由響應(yīng)的位移和速度，獲得切削時間區(qū)段上的刀具運動方程，再利用加權(quán)余量法得到單個刀齒切削周期的Floquet轉(zhuǎn)移矩陣，由Floquet理論判斷銑削穩(wěn)定性。Bayly等[60]在對單自由度銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性預(yù)測中，針對間斷切削中刀具切削與非切削狀態(tài)描述方程不同等問題，使用了時間有限元法,隨后又將該方法擴展到兩自由度銑削系統(tǒng)。Garg等[61]將該方法擴展到含周期系數(shù)參數(shù)激勵的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，并比較了使用單類型單元、提高多項式級數(shù)逼近精確解和使用多類型單元及三次多項式，增加單元數(shù)量逼近精確解這兩種方法的優(yōu)劣。Mann等[62]之后又將方法擴展到可應(yīng)用于所有可用空間狀態(tài)模型表示的系統(tǒng)。Ding等[63]基于時間有限元法，以積分方程技術(shù)求解銑削動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)，提出數(shù)值積分法，并將其發(fā)展為具有指數(shù)收斂階的譜方法[64]和針對多時滯工況的變步長法[65]。

綜上所述，可知離散法核心在于將有限維矩陣去近似無限維單值算子，方法之間的區(qū)別在于近似的具體手段，類似的還有Ulsoy等[66-67]提出的基于Lambert W函數(shù)的方法，Butcher等[68-69]提出的Chebyshev多項式法及Chebyshev配點法及Ding等[70]的微分求積法等。

(3) 數(shù)值法

數(shù)值法通常是直接求解時滯微分方程獲取銑削過程動態(tài)響應(yīng)，然后由響應(yīng)構(gòu)造的穩(wěn)定判據(jù)或響應(yīng)振動幅值是否發(fā)散，來判斷銑削過程的穩(wěn)定性。Tlusty等[5, 71]提出了基于差分格式的時域系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計算方法。Smith等[72]建立了切削力峰-峰值時域仿真模型,以切削力峰-峰值的變化作為顫振判據(jù)。Altintas等[73]針對低徑向切深的銑削建立了一種改進的時域模型，以仿真預(yù)測的動態(tài)切削厚度與靜態(tài)切削厚度比值，作為無量綱顫振判別系數(shù)。Li等[74]采用仿真預(yù)測的最大動態(tài)切削力與最大靜態(tài)切削力之比作為顫振判定標(biāo)準。Li等[75]提出了利用Runge-Kutta法的銑削穩(wěn)定性數(shù)值求解法。時域仿真方法能夠考慮非線性銑削力，大振幅斷續(xù)切削等非線性因素,其應(yīng)用相當(dāng)廣泛，但計算效率低。

2.2實驗法

實驗法是通過切削試驗，采集切削過程中的振動、切削力或噪音等信號，以適當(dāng)?shù)姆椒ǚ治鲂盘?、判別顫振，最后得到銑削穩(wěn)定性葉瓣圖。如Quintana等[76-77]通過采集加工過程中的噪聲信號，通過快速傅里葉變換(FFT)進行顫振識別，記錄不同主軸轉(zhuǎn)速發(fā)生顫振時的軸向切深值，繪制穩(wěn)定性曲線。遲玉倫等[78]進行了基于聲發(fā)射信號的顫振穩(wěn)定域葉瓣圖確定實驗方法研究。實驗法繪制穩(wěn)定性葉瓣圖在實際生產(chǎn)加工中具有一定的實用價值,但由于實驗誤差及多變的生產(chǎn)加工條件，其得到的無顫振臨界加工參數(shù)的可靠性及通用性都較差。實驗法多用來與顫振模型求解得到的穩(wěn)定性預(yù)測結(jié)果對比，以證明顫振模型及穩(wěn)定性分析方法的正確性。

3微細銑削過程顫振穩(wěn)定性分析

微銑削加工的零部件尺寸一般介于100 μm到10 mm之間，特征尺寸一般為10 μm～1 mm，加工過程中的振動尤其是刀具和工件之間的相對振動對零部件質(zhì)量和精度影響明顯。微銑削加工所用微銑刀直徑通常在1 mm以下，剛度低、易磨損、易折斷，振動會加速刀具磨損，嚴重時甚至造成刀具折斷，導(dǎo)致加工成本過高，制約微銑削加工技術(shù)應(yīng)用。因此抑制微銑削加工過程中的振動對于提高加工精度、延長微銑刀壽命、降低加工成本具有非常重要的意義。

微細銑削顫振建模目前多是沿用傳統(tǒng)銑削的顫振建模方法和步驟，主要考慮再生效應(yīng)的影響，根據(jù)切削動力學(xué)系統(tǒng)的控制方程，分別求取控制方程中刀具的模態(tài)參數(shù)及切削力系數(shù)，之后基于模型，以適當(dāng)方法分析其穩(wěn)定性。但微細銑削并不是宏觀銑削加工在尺度上的簡單縮小，其所具有的介觀尺度加工的一些特征(如尺度效應(yīng)、最小切削厚度及單齒切削現(xiàn)象等)以及工件材料微觀結(jié)構(gòu)的影響，使得微細銑削具有獨特的加工機理和特點。

傳統(tǒng)銑削獲取刀具模態(tài)參數(shù)(一般以刀尖頻響函數(shù)的形式)的方法主要為實驗法，即基于力錘沖擊的模態(tài)實驗方法，而微細銑削的刀具結(jié)構(gòu)微小脆弱，力錘的錘擊很難直接施加在刀尖上，而且由于現(xiàn)有硬件限制，力錘模態(tài)實驗的激勵頻率通常僅能達到10 kHz左右，遠小于100 kHz以上的微銑刀自然頻率。Mascaydell等[79]根據(jù)動柔度耦合法，將微銑刀分為兩部分，以錘擊法求取刀柄部分的頻響函數(shù)，以有限元分析獲取刀尖部分的頻響函數(shù)，將兩部分耦合得到完整微銑刀的刀尖頻響函數(shù)。Filiz等[80]考慮了切削刃的幾何形狀，應(yīng)用Timoshenko梁理論求解刀具的頻響函數(shù)。Tajalli等[81-83]根據(jù)應(yīng)變梯度Timoshenko梁理論、擴展哈密頓原理建立了考慮陀螺效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)刀具動態(tài)模型，利用精確動態(tài)剛度方法以期得到更準確的刀具模態(tài)參數(shù)。Uhlmann等[84]以Shi提出的壓電驅(qū)動器激振法得到刀具的前三階模態(tài)參數(shù)，再基于建立了刀具的旋轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁模型。Mustapha等[85]建立可預(yù)估微銑刀橫向響應(yīng)的混合分析模型，該模型中不同類的結(jié)構(gòu)單元表示刀具的剛度、阻尼、幾何結(jié)構(gòu)等不同的特性。

微細銑削中，與工件材料接觸并進行切削的是切削刃刃口圓弧半徑。由于切削厚度和切削刃刃口圓弧半徑一般在一個數(shù)量級，存在一個產(chǎn)生連續(xù)切削的臨界切削厚度值，即最小切削厚度。當(dāng)實際切削厚度大于最小切削厚度時，剪切效應(yīng)為主導(dǎo)，工件材料發(fā)生剪切滑移變形；當(dāng)實際切削厚度小于最小切削厚度時，耕犁效應(yīng)為主導(dǎo)，工件材料發(fā)生彈性變形。因此微細銑削中不同的切削厚度下切削力系數(shù)矩陣可能不同，而且在耕犁效應(yīng)為主導(dǎo)的情況下，工件材料的彈性變形會引起過程中很大的阻尼。過程阻尼力，尤其在低主軸轉(zhuǎn)速下，也是影響銑削過程穩(wěn)定性的重要因素。Rahnama等[86]考慮了切削刃圓弧半徑及銑削過程中的過程阻尼并利用刀具和工件間的等效接觸體積來定義過程阻尼參數(shù)，但僅考慮了只有剪切效應(yīng)存在的工況，忽略了耕犁效應(yīng)及其帶來的非線性。Afazov等[87]考慮了剪切效應(yīng)、耕犁效應(yīng)、切削刃口圓弧半徑及刀具徑向跳動，有限元預(yù)測了正交切削下切削力，描述了切削力，切削速度和切削厚度的非線性關(guān)系，之后Afazov等[88]進一步研究了工件初始溫度的影響，比較了滑移-黏摩擦模型和黏滯摩擦模型在正交切削有限元建模中的準確性。Jin等[89]基于刀具結(jié)構(gòu)和材料本構(gòu)特性，建立了滑移線區(qū)域模型，得到了切削力系數(shù)，過程阻尼力系數(shù)則是有限元分析獲得。以上的研究都沒有將剪切效應(yīng)和耕犁效應(yīng)下的切削力區(qū)分考慮，僅在力模型中考慮了耕犁效應(yīng)帶來的過程阻尼力，Song等[90]則根據(jù)以最小切削厚度為臨界點，剪切效應(yīng)及耕犁效應(yīng)下不同的切削力模型，利用時域仿真方法獲得了穩(wěn)定性預(yù)測圖。

微細銑削的穩(wěn)定性分析方法仍采用傳統(tǒng)銑削使用的方法，如零階求解法，半離散法及時域法。其中時域法方面，Afazov等[87]利用Runge-Kutta方法求解，以x,y方向振動位移的統(tǒng)計方差作為顫振判別準則；Baschin等[91-92]在其研究中獲取銑刀運動軌跡，根據(jù)龐加萊截面和分岔理論來判別顫振；Park等[93]認為系統(tǒng)動態(tài)特性及切削參數(shù)可能在切削過程中發(fā)生變化，利用基于棱邊定理和零點排除法的魯棒性顫振穩(wěn)定性理論，繪制了魯棒性穩(wěn)定性葉瓣圖。

4結(jié)論

本文對銑削過程顫振穩(wěn)定性分析中動力學(xué)建模和穩(wěn)定性預(yù)測的研究進行了歸納和綜述，并對微細銑削領(lǐng)域的顫振穩(wěn)定性分析的研究進行了論述。

顫振動力學(xué)模型方面，以再生型、振型耦合型、摩擦型為代表的顫振理論已相當(dāng)成熟。更精確的“機床-刀具-工件-夾具”系統(tǒng)動力學(xué)模型，針對難加工材料的低速切削過程動力學(xué)模型，多種顫振類型綜合的動力學(xué)模型，考慮工件材料微觀結(jié)構(gòu)的微細銑削動力學(xué)模型等是該領(lǐng)域有待進一步研究的課題。

穩(wěn)定性分析方面，頻域法、離散法、數(shù)值法這三類主流方法發(fā)展已相當(dāng)成熟，但它們都有各自的局限性。頻域法計算效率高，由于其簡化，導(dǎo)致精度不高，忽略了很多復(fù)雜的非線性效應(yīng)，不同工況的通用性較差；離散法通用性及精度較好，但計算效率不高；數(shù)值法可以考慮多種非線性效應(yīng)，但計算效率最低，穩(wěn)定性判據(jù)通用性差。穩(wěn)定性分析方法仍待進一步的改進，以提高其通用性、精度及計算效率。微細銑削領(lǐng)域大多沿用銑削的穩(wěn)定性分析方法，針對微細銑削本身的加工機理及特點的方法仍有待研究。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金(51305061 )；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(DUT13LAB13)

收稿日期：2014-06-24修改稿收到日期：2014-09-30

中圖分類號:TH113；TG54

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.014

Review about chatter stability analysis in milling process

LU Xiao-hong, WANG Feng-chen, WANG Hua, WANG Xin-xin, SI Li-kun

(Key Laboratory for Precision and Non-traditional Machining Technology of Ministy of Education, University of Technology, Dalian 116024, China)

Abstract:Literatures about chatter stability analysis in milling process were reviewed. Chatter modeling and stability analysis were two key procedures of the studying method. The mechanisms leading to chatter were classified as dry fiction effect, mode coupling effect and regenerative effect. Nonlinear regenerative chatter modeling was mainly introduced according to nonlinearity in cutting processes and spindle-holder-tool systems. Stability analysis was divided into three categories, i.e., frequency domain method, discretization method and numerical simulation method based on the dynamic model solving methods. The features and applicable conditions of each method were described. The study achievements of chatter stability analysis in the micro-milling area were introduced. Due to its size effect, micro-milling had its unique cutting mechanism and characteristics. The factors to be considered in micro-milling chatter modeling were different from those in traditional milling, but the methods of stability analysis were mostly similar.

Key words:milling; chatter; stability analysis; micro-milling

第一作者 盧曉紅 女，博士，副教授，1978年生