從實(shí)數(shù)不等式到矩陣不等式的演變

胡汭

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

從實(shí)數(shù)不等式到矩陣不等式的演變

胡汭

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

文章通過矩陣的相關(guān)知識(shí)，將兩個(gè)實(shí)數(shù)不等式演變到矩陣跡的不等式以及矩陣的范數(shù)不等式，并且得到該范數(shù)不等式的變形形式；在該方法中主要應(yīng)用矩陣論中半正定Hermite矩陣、酉矩陣以及矩陣跡的相關(guān)知識(shí)得到兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)不等式的推廣形式。

實(shí)數(shù)不等式；矩陣的跡；范數(shù)；正定矩陣

眾所周知，不等式理論在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾牡匚?，它滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，當(dāng)然隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，矩陣不等式理論已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和交通運(yùn)輸?shù)榷鄠€(gè)領(lǐng)域都有著深入的滲透。隨著矩陣不等式理論的廣泛應(yīng)用，科學(xué)家們不斷將矩陣?yán)碚撝R(shí)轉(zhuǎn)化為科技成果。這些新成果不僅使得人們享受它帶來的財(cái)富和便利，更使得人們對(duì)矩陣?yán)碚撝R(shí)有了新的和更深入的思考，并將矩陣?yán)碚搫澐譃楦?xì)的分枝。本文通過對(duì)矩陣?yán)碚撝R(shí)的研究得到一種新方法，這種新方法是將兩個(gè)實(shí)數(shù)不等式演變到矩陣跡的不等式以及范數(shù)不等式，并給出了該范數(shù)不等式的推廣形式。這種方法就是本文要闡述的精髓。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 A＝（aij）為n階復(fù)方陣，稱它的對(duì)角元素之和為矩陣A的跡，稱為trA，即若 l1，l2，……，ln為A的特征值，則成立。[1]

定義2 A＝（aij）為n階復(fù)方陣，定義，則它是一個(gè)矩陣范數(shù)，稱它為Schatten p-范數(shù).當(dāng)p=2時(shí)，稱之為Hilbert-Schmite范數(shù)（或Frobenius范數(shù)），且知A*為A的共軛轉(zhuǎn)置?！珹‖2是酉不變范數(shù)，即對(duì)任意的酉矩陣U，V有‖UAV‖2=‖A‖2成立[1]。以下k，n均為正整數(shù)[1]。

引理1 對(duì)任意大于等于零的實(shí)數(shù)x，不等式x3+1≥x2+x都成立。

引理3 （Neumann）設(shè)A，B為兩個(gè)n階Hermite陣，它們的特征值分別為λ1≥λ2≥…≥λn和μ1≥μ2≥…≥μn則

這里l1，l2，……，ln為A的對(duì)應(yīng)于l1，l2，……，ln的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量[1]。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A為n階半正定Hermite陣，則有tr（A3＋I(xiàn)n）≥trA2+trA

定理2 設(shè)A為n階半正定Hermite陣，則有

定理3 設(shè)A為n階半正定Hermite陣，X為任意n階復(fù)方陣，則有：

定理4 設(shè)X，A，B為同階半正定Hermite矩陣，且trB≥trA，trB≥0，則

定理5 設(shè)A，B為n階半正定Hermite陣，且B≥A，X為任意n階方陣，則有

[1]王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式：第二版[M].北京：科學(xué)出版社，2006:4、18、139.

A STUDY ON THE EVOLUTIONS FROM THE REAL INEQUALITY TO THE MATRIX INEQUALITY

HU Rui
（Tongling University,Tongling Anhui 244000）

Two real inequality are evolved into the matrix trace inequality and norm of the matrix inequality in the paper through the knowledge of matrix.Therefore,the deformation form of the norm inequality is obtained.The positive semi-definite matrix of Hermite,unitary matrix and knowledge relevant to the trace of matrix are applied in the method to get the extension mode of two simple real inequality.

The real inequality；The trace of matrix；Norm；Positive definite matrix

O178

A

1672－2868（2016）06－0011－04

責(zé)任編輯：楊松水 校對(duì)：陳 侃

2016－08－28

胡汭（1985-），女，安徽六安人。銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。