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    一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結(jié)果

    2016-02-08 09:29:58吳波
    大理大學(xué)學(xué)報 2016年12期
    關(guān)鍵詞:振動利用

    吳波

    (普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南普洱 665000)

    一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動結(jié)果

    吳波

    (普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南普洱 665000)

    利用廣義黎卡提變換和積分平均技巧給出了一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準(zhǔn)則,建立了保證此類方程一切解振動或者收斂到零的若干新的充分條件。

    廣義Emden-Fowler阻尼方程;廣義黎卡提變換;振動準(zhǔn)則

    本文考慮一類廣義Emden-Fowler阻尼方程

    方程(1)的一個非平凡解稱為振動的,如果它有任意大的零點,否則為非振動的,如果方程(1)的一切解都是振動則稱該方程是振動的。

    如果p(t)≡0,g(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler方程

    如果p(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為經(jīng)典的Emden-Fowler阻尼方程

    許多學(xué)者對方程(2)~(3)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔1-3〕。1983年,Philos〔1〕建立了方程(2)的一些振動準(zhǔn)則;1989年,Philos〔2〕進(jìn)一步推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)〔1〕的結(jié)論;1986年,Yan〔3〕建立了方程(3)的一些振動準(zhǔn)則。

    如果 p(t)≡0,g(t)≡0,α=β,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為下列方程

    如果 g(t)≡0,廣義Emden-Fowler阻尼方程(1)為廣義的Emden-Fowler方程:

    許多學(xué)者對方程(4)的振動和非振動性質(zhì)做了一些研究〔4-7〕。最近,文獻(xiàn)〔7-10〕對下面的方程

    做了振動和非振動性質(zhì)的一些研究。但是這些結(jié)果不可以應(yīng)用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。

    目前,對廣義的Emden-Fowler方程(5)振動準(zhǔn)則的研究還比較少。2012年,Liu〔11〕利用黎卡提不等式給出了廣義的Emden-Fowler方程(5)的振動準(zhǔn)則。對廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準(zhǔn)則還沒有做過研究。本文利用廣義黎卡提變換構(gòu)造了廣義黎卡提不等式,進(jìn)而建立了廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準(zhǔn)則,并且這些振動準(zhǔn)則都可以應(yīng)用于廣義的Emden-Fowler方程(5)。

    1 幾個引理

    引理1 設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則相應(yīng)的Z(t)只有下面的兩種情況

    證明:設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,由Z(t)的表達(dá)式得到Z(t)≥x(t)>0。由方程的第一種情況,得到兩種可能:Z′(t)>0或Z′(t)<0。

    對上式從t1到t積分,可以得到

    讓t→∞,利用(H3),得到Z(t)→-∞,這矛盾于Z(t)>0。

    本文下面的引理和定理都是基于情形(I)下得到的。

    引理2 設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,則

    其中,Q(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β。

    證明:由Z(t)=x(t)+p(t)x(ι(t)),可以得到x(t)=Z(t)-p(t)x(ι(t)),利用(H4)和Z′(t)>0,可以得到

    利用方程(1),可以得到

    引理3 設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的正解,如果

    證明:假設(shè)存在兩個常數(shù)0<M≤N,使得 0<M≤Z(t)≤N,對方程(7)從t到∞積分,可以得到:

    其中:

    證明:由?(t)的定義可以得到

    利用方程(7),可以得到

    利用β≥α,H5和引理1,可以得到

    由方程(10)~(12),可以得到

    2 主要結(jié)果

    定理1 假設(shè)某些條件成立。設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

    則x(t)振動。

    證明:假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負(fù)解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

    利用引理4得到

    對上面方程從t0到t積分可得

    讓t→∞,可得?(t)→-∞,這矛盾于?(t)>0。

    定理2 假設(shè)某些條件成立。設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

    則x(t)振動。

    證明:假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(2)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負(fù)解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

    利用引理4得到

    兩邊同乘以(t-s)n再從t0到t兩邊積分(t>t0)可得

    由n(t-s)n-1?(s)>0,可得

    兩邊同除以tn可得

    例1 設(shè)p(t)=0,r(t)=1,α=1,β=1,δ(t)=t,ρ(t)=1,q(t)=k1,g(t)=k2,方程(1)變?yōu)?/p>

    下面利用Philos型積分平均條件,給出廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的振動準(zhǔn)則。為此令

    我們稱函數(shù)H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類,記作H(t,s)∈F,如果滿足

    (I)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,t)>0,

    (II)存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),h∈C(D0,R),使得

    定理3 假設(shè)某些條件成立。設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

    則x(t)振動。

    證明:假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(3)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負(fù)解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

    兩邊同乘以 H(t,s),且從t0到t(t>t0)兩邊積分可得

    利用引理4和方程(15)可得

    讓t→∞,則方程(17)矛盾于方程(16)。

    推論1 設(shè)x(t)是方程(1*)的解,如果

    則x(t)振動。

    定理4 假設(shè)某些條件成立。設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的解,如果

    其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。

    證明:假設(shè)x(t)是方程(1)的非振動解,不妨設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(4)的最終正解(對于x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(1)的最終負(fù)解也有類似的結(jié)論),利用引理5可得

    兩邊同乘以H(t,s),再從 T到 t(t>T)兩邊積分可得

    同除以H(t,T)可得

    利用C3可得

    利用方程(18)及 C3可得

    設(shè)

    利用(20)可得

    假設(shè)

    由方程(19)可得:

    方程(22)~(23)矛盾于C4。由矛盾,我們假設(shè)

    設(shè)η是一個任意的正數(shù),利用C1可得

    由方程(24)可得

    利用C1及方程(25)~(26)可得

    利用方程(21)和(27)可得:

    兩邊同除以G(tn)可得

    利用(28)可得

    利用Schwarz不等式

    兩邊同除以 G(tn)可得

    利用 C2可得

    方程(30)~(31)與方程(29)矛盾。

    推論2 設(shè)x(t)是方程(1*)的解,如果

    其中:ψ+(s)=max{ψ(s),0},則x(t)振動。

    [參考文獻(xiàn)]

    〔1〕PHILOS C G.On a Kamenev's integral criterion for oscillation of linear differential equa-tions of second order〔J〕.Ann Polon Math,1983,21:175-194.

    〔2〕PHILOS C G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order〔J〕.Arc-H Math,1989,53:482-492.

    〔3〕YAN J.Oscillation theorems for second order linear differential equation with damping〔J〕.American Mathematical Society,1986,98:276-282.

    〔4〕WONG J S W.On the generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Slam Rev,1975,17:339-360.

    〔5〕YANG X J.Oscillation criterion for a class of quasilinear differential equation〔J〕.Appl Math Comput,2004,155:451-468.

    〔6〕LI H J,YEN C C.Oscillation criteria for second-order neutral delay equation〔J〕.J Comput Math Appl,1998,36:123-132.

    〔7〕SUN Y G,MENG F W.Note on the paper of Dzurina and stavroulakis〔J〕.Appl Math Comput,2006,174:1634-1641.

    〔8〕XU R,MENG F W.Oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay differenti-al equation〔J〕.Appl Math Comput,2007,192:216-222.

    〔9〕LIU L H,BAI Y Z.New oscillation criteria for second order nolinear neutral delay differential equation〔J〕.J Comput Appl Math,2009,231:657-663.

    〔10〕YE L H,XU Z T.Oscillation for second order quasi-linear neutral delay differential equation〔J〕.Appl Math Comput,2009,207:388-396.

    〔11〕LIU H D,MENG F W,LIU P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Appl Math Comput,2012,219:2729-2748.

    Oscillation Results of a Class of Generalized Emden-Fowler Equation with Damping

    Wu Bo
    (College of Mathmatics and Statistic,Pu'er University,Pu'er,Yunnan 665000,China)

    By using generalized Riccati transformation and integral averaging technique,this paper studies the oscillation of a class of generalized Emden-Fowler equation with damping,and establishes some new sufficient conditions for equation oscillating or converging to zero.

    a generalized Emden-Fowler equation with damping;generalized Riccati transformation;oscillation criteria

    O29

    A

    2096-2266(2016)12-0006-08

    10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.002

    (責(zé)任編輯 袁 霞)

    2016-04-24

    吳波,副教授,主要從事微分方程、數(shù)理統(tǒng)計研究.

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