巧用換元法助力初中數(shù)學(xué)解題效率提升

丁秀珍

(江蘇省南通如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 226500)

當(dāng)前的中考評(píng)價(jià)，已經(jīng)進(jìn)一步確定了能力立意，這對(duì)日常的教學(xué)有著很強(qiáng)的指導(dǎo)作用.事實(shí)上絕大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師，已經(jīng)在這樣的引導(dǎo)下，開始關(guān)注學(xué)生的解題效率.對(duì)解題效率的理解，可以通俗地理解為在一定時(shí)間內(nèi)正確解答題目的速度.不可否認(rèn)的一個(gè)事實(shí)是，由于能力立意的進(jìn)一步確定，無論是在中考數(shù)學(xué)試卷上，還是在日常的數(shù)學(xué)考查過程中，都出現(xiàn)了一些能力要求較高的題目，這些題目成為名副其實(shí)的“拉分王”，要讓學(xué)生在面對(duì)這些題目的時(shí)候，有一個(gè)清晰的解題思路，只憑機(jī)械地重復(fù)訓(xùn)練是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，最有效的方法就是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，用這些思想方法來支撐起解題效率地提升.

在現(xiàn)代初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，“換元思想”是解數(shù)學(xué)題中最常使用的方法之一，也是最好用的方法之一，換元思想為解數(shù)學(xué)題提供了一種新的思路.換元就是使用一些與本題無關(guān)的元素，借此替代所給的數(shù)學(xué)題中一些原來的元素，也就是說想辦法讓學(xué)生用一個(gè)自己假設(shè)的全新的變量去代替原題目所給條件中的一些不集中的、較為分散的破碎信息.這樣，原本的不集中且很分散的破碎信息就轉(zhuǎn)變成了新的一個(gè)整體的變量，重新整合信息會(huì)使題目變得簡單且清晰明了，一個(gè)簡單的題目形式會(huì)有助于解題者發(fā)現(xiàn)題目所給的隱藏條件，這樣對(duì)于解題有很大的益處.數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生來說是比較難的一個(gè)科目，它的邏輯性和思維性很強(qiáng)，它要求學(xué)生要有一定的邏輯思維能力和轉(zhuǎn)換問題思考的能力.所以，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分了解換元思想的重要性，積極使用換元思想進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也應(yīng)積極學(xué)習(xí)換元思想，并多多應(yīng)用換元思想去解答相應(yīng)題目.

1 什么是換元？它的特點(diǎn)是什么？

在現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中有許多種方法，但換元無疑是其中最好用的解題方法之一.換元在方法和應(yīng)用的層面上來說，化歸和轉(zhuǎn)化是換元法的最終目的，其中假設(shè)一個(gè)元素和原有的元素轉(zhuǎn)換是換元法的關(guān)鍵核心.相信在平常的解數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生也遇到過這樣的問題，原題目信息不夠我們?nèi)ソ鉀Q這個(gè)問題，或者是原題目所給的信息十分分散，導(dǎo)致我們不能一眼就看出這些信息對(duì)我們解題有哪些幫助，進(jìn)而在我們解題時(shí)就會(huì)無法進(jìn)行深入分析和找準(zhǔn)正確的思考方向，導(dǎo)致對(duì)這個(gè)題目束手無策，不知從何下手.這時(shí)，換元的思想就可以為我們解題帶來便利和好處，我們可以從換元的基本概念入手，聯(lián)系換元的數(shù)學(xué)解題理念，想辦法將原有題目中所給的“舊信息”給替換成自己定義的一個(gè)或者多個(gè)全新的“新信息”，這樣新形成的題目與原有的題目相比較，新題目的信息之間的聯(lián)系會(huì)更加緊密，有助于我們更好地整理出解題思路，解題也會(huì)比之前容易得多.換元法對(duì)于初中生來說，并不是一些學(xué)生所認(rèn)為的那樣神秘晦澀和難以理解，只要能找準(zhǔn)換元思想的核心突破點(diǎn)，那么解題就會(huì)事半功倍，“轉(zhuǎn)變”即是換元思想的核心和關(guān)鍵內(nèi)容，經(jīng)過合理的轉(zhuǎn)變，可以將復(fù)雜的問題簡單化處理，將原有題目中所給的不好利用的信息轉(zhuǎn)變成為有效的信息，使解題速度加快，解題方法更簡便.

從已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，多數(shù)初中學(xué)生在初次接觸換元法的時(shí)候，都感覺到有一些不適應(yīng).所以，站在教師的角度去理解換元法，不能只看關(guān)于換元法的理論闡述，更要看學(xué)生的體驗(yàn)感與獲得感.根據(jù)筆者調(diào)查研究，學(xué)生之所以對(duì)換元法有一些不適應(yīng)，很大程度上是因?yàn)閾Q元法將學(xué)生原先已經(jīng)開始認(rèn)真思考的、已經(jīng)相對(duì)熟悉了的“元”，變成了一個(gè)相對(duì)陌生的另一個(gè)“元”.這兩者之間的切換如果不順利，那么學(xué)生對(duì)換元法的理解就會(huì)出現(xiàn)困難.所以，要讓學(xué)生接受換元法這一數(shù)學(xué)思想方法，很關(guān)鍵的就是要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到換元是有意義的，是能夠化解習(xí)題解答難度的，是不會(huì)影響最終的解題結(jié)果的.

學(xué)生要掌握的換元法，顯然不只是一個(gè)簡單的名稱，也不只是在某一個(gè)題目當(dāng)中的運(yùn)用，教師應(yīng)當(dāng)站在幫助學(xué)生解決一類題目的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在這一類題目里，換元法是可以得到運(yùn)用的.可以說，只有當(dāng)學(xué)生形成良好的換元直覺時(shí)，換元法才能真正入腦入心.

2 換元的思想在解題方面的應(yīng)用

站在學(xué)生的角度，無論是學(xué)生對(duì)換元法特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，還是形成換元法運(yùn)用的必要體驗(yàn)，其最終的落腳點(diǎn)一定是在解題上.讓學(xué)生在解題的過程中認(rèn)識(shí)換元法的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)換元法運(yùn)用的基本思路，無論是對(duì)教師來說，還是對(duì)學(xué)生來說，都是時(shí)間成本較低、理解和運(yùn)用效果較好的方式.只不過在選擇題目的時(shí)候，要有一定要求.盡管換元法在初中諸多知識(shí)體系當(dāng)中都有運(yùn)用，但是在培養(yǎng)學(xué)生體驗(yàn)換元法的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)選擇具有一定代表性的題目.在初中數(shù)學(xué)解題過程中，因式分解是十分常見的一種解題方法，并且在初中數(shù)學(xué)解題知識(shí)點(diǎn)的組成中，因式分解也占有很大的比重，由此可以看出，因式分解在初中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握和培養(yǎng)方面起著無法替代的作用.下面就以初中二年級(jí)教材中的一個(gè)關(guān)于因式分解的題目為例，仔細(xì)解析在因式分解中換元思想的使用方法.

例嘗試將下列題目進(jìn)行因式分解：

(1)(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4；

(2)(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1).

上面所給的這兩個(gè)題目對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)因式分解的初中學(xué)生來講是非常復(fù)雜的.因?yàn)槔}中所給的這兩個(gè)題目在解題的元素和步驟方面都有一點(diǎn)復(fù)雜，而對(duì)于才學(xué)習(xí)因式分解的初中生來講，因式分解的基礎(chǔ)還不夠牢固，應(yīng)用還不夠熟練，因此，很難找準(zhǔn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)，要想一下子就解答出答案明顯是不可能的.特別是第(2)小題，包含了不止一個(gè)未知數(shù)，解題十分困難.不過，我們可以使用換元的方法來解答這兩個(gè)題目.我們可以用簡單的元素替代原有題目中所給的復(fù)雜的元素.以第(2)小題為例，原來題目中已經(jīng)含有x、y兩個(gè)元素了，后面又出現(xiàn)了含有xy的項(xiàng)，這樣解題就更復(fù)雜了.這時(shí)，我們只需要利用預(yù)設(shè)簡單元素的方式代替xy，即令x+y=m，令xy=n，題目就從復(fù)雜轉(zhuǎn)變成簡單的式子，將原來含有多個(gè)項(xiàng)的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成為簡單的二元式子，從內(nèi)部結(jié)構(gòu)上很大程度地進(jìn)行了簡化，更有利于初中學(xué)生進(jìn)行正確的因式分解.

(1)解假設(shè)y=x2+2x+4，

觀察題目原來所給的式子，可以發(fā)現(xiàn)原來所給的式子中的x2+2x+8可以分解成為x2+2x+4+4，再結(jié)合上述的假設(shè)，進(jìn)行簡單地運(yùn)算可以得到x2+2x+4+4=y+4，即x2+2x+8=x2+2x+4+4=y+4，由此，題目所給的原來的式子便可以轉(zhuǎn)變成為y(y+4)+4，經(jīng)過簡單計(jì)算可以得到下式：

y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2

然后再結(jié)合之前假設(shè)的y=x2+2x+4，并將其代入到式子(y+2)2中，就能很容易地得出答案，即：(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4=(x2+2x+6)2.

(2)解假設(shè)x+y=m，xy=n，

利用換元法再代入原有式子，即原有式子可以轉(zhuǎn)化為：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)，經(jīng)過進(jìn)一步地計(jì)算可以得到：(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2mn+n2-1，最終通過化簡得(m+n)2-1，整理得出：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)

=(m+n)2-1

再結(jié)合之前假設(shè)的x+y=m，xy=n，將其代入到式子(m+n)2-1中，由此可以得到：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)

=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1).

通過以上分析可以看出，換元思想是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中使用效果十分顯著的一個(gè)解題的新思路和新方法，適用于初中學(xué)生解決許多問題.換元的思想有利于培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，提高數(shù)學(xué)解題能力，在強(qiáng)化初中學(xué)生的邏輯思維能力等方面也有顯著成就，其產(chǎn)生的影響是不可替代的.

筆者曾經(jīng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)使用換元法的過程進(jìn)行了跟蹤研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只要學(xué)生在換元法運(yùn)用的過程中有成就感，就能夠化解他們最初的那種不適的感覺.作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的這一心理變化，盡管看起來這與換元法沒有直接的關(guān)系，但是卻影響著學(xué)生對(duì)換元法的認(rèn)同，影響著學(xué)生是否能夠從心理上順利建立起關(guān)于換元法的認(rèn)識(shí).大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視學(xué)生的這些心理，因?yàn)橹挥袔椭鷮W(xué)生理順了心理認(rèn)識(shí)，他們才能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法打開心理接納的大門，才能夠真正去認(rèn)識(shí)這些數(shù)學(xué)思想方法的意義與價(jià)值.只要做到這一點(diǎn)，那么包括換元法在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法，就更容易在學(xué)生的思維當(dāng)中扎根.

由此可見，在初中數(shù)學(xué)問題的教學(xué)過程中，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)積極倡導(dǎo)使用換元的思想，教會(huì)初中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握換元法，并能夠熟練使用換元法進(jìn)行解題，從真正意義上提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題水平和相應(yīng)的解決數(shù)學(xué)問題的能力.