一秩元集上完全保反對合性的可加映射

劉 敏，黃 麗，李俊林

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

近幾十年來，許多學(xué)者對算子代數(shù)或算子空間上保持某種性質(zhì)、子集、函數(shù)或關(guān)系等不變量的映射的刻畫問題進(jìn)行了研究，其結(jié)果表明，許多情形下這樣的映射是代數(shù)同態(tài)或代數(shù)反同態(tài)的，從而揭示了算子代數(shù)或算子空間的代數(shù)或幾何結(jié)構(gòu)性質(zhì)[1-3].Hadwin和Larson[4]2003年引入了完全秩不增的線性映射的概念;文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別刻畫了無限維實(shí)或復(fù)Banach空間上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保持冪等元，平方零元和斜冪等元的滿射問題，證明了這樣的映射是同構(gòu)或(復(fù)情形下)共軛同構(gòu)的;文獻(xiàn)[7]給出了反對合矩陣的若干性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，考慮一秩元集上完全保反對合性的可加映射的刻畫問題。

1 定義

令X，Y表示實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Banach空間，X*表示X的對偶空間，R表示一秩元集，用I1(X)表示R上的所有一秩冪等元的集合。稱T為反對合算子，若T2=-I，對任意的x∈X，f∈X*，x?f表示由y→(y，f)x定義的一秩算子。一秩算子x?f是冪等的當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=1.P⊥Q表示P和Q正交，P⊥Q?PQ=QP=0.設(shè)映射 Φ∶R→?，對于每個(gè)n∈? ，定義映射為 Φn∶R?Mn(F)→??Mn(F)為 Φn((sij)n×n)=(Φ(sij))n×n，則如果Φn保反對合性，稱Φ是n-保反對合性的;如果對于每個(gè)正整數(shù)n，Φ是n-保反對性的，則稱Φ是完全保反對合性的。

2 主要結(jié)果和證明

為了證明主要定理，需要引入引理1.

引理1[5]設(shè)X，Y是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Banach空間，P?B(X)，Q?B(Y)是任意包含所有秩一冪等元的冪等元集。令Φ∶P→Q是一個(gè)雙射，如果Φ雙邊保正交性，則要么存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形下)共軛線性算子A∶X→Y，使得Φ(T)=ATA-1，T∈P，要么存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形下)共軛線性算子A∶X*→Y，使得Φ(T)=AT*A-1，T∈P.在第二種情形中，X和Y一定自反。

定理1 令X，Y是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的無限維Banach空間，R，?分別是X和Y上的一秩元的集合。設(shè)Φ∶R→?是一個(gè)可加滿射，則下列陳述等價(jià):

(i)Φ是雙邊完全保反對合性的映射;

(ii)Φ是雙邊2-保反對合性的映射;

(iii)存在有界可逆線性或(復(fù)情形下)共軛線性算子A∶X→Y使得:Φ(T)=cATA-1

對每個(gè)T∈R成立，其中c=±1.

證明 顯然有(iii)?(i)?(ii)，下面只需證明(ii)?(iii).

假設(shè)Φ是雙邊2-保反對合性的映射。

斷言1 Φ(0)=0，Φ(I)=±I，且Φ是單射。

因?yàn)棣凳强杉佑成洌瑢τ谌我獾腡∈R，由于:

是R?M2?B(X2)中的反對合元，所以有:

也是一個(gè)反對合元，因此有:

在矩陣(1)中取T=0，有

是R?M2?B(X2)中的反對合元，所以

也是一個(gè)反對合元，所以有:

再在矩陣(1)中取T=I，有

是R?M2?B(X2)中的反對合元，所以

也是一個(gè)反對合元，所以有:

因?yàn)棣凳且粋€(gè)滿射，由方程(2)可得Φ(I)與?中的每個(gè)元可交換，又由方程(5)可得:Φ(I)=cI，c=±1.由方程(3)和方程(5)可得Φ(0)2=0，在方程(2)中取T=0之后加方程(4)可得Φ(I)Φ(0)=0，所以 Φ(0)=0.

下面證明Φ是單射。

對任意的T，S∈R，滿足Φ(T)=Φ(S)，則有:

對于 Φ(I)=-I，可以令 Ψ(T)=-Φ(T)，則有 Ψ(I)=-Φ(I)=-(-I)=I.對于A，B，C，D∈R，假設(shè)是反對合算子，則，所以Φ雙邊保反對合性時(shí)，Ψ也是雙邊保反對合性的映射，所以后面一直假設(shè)Φ(I)=I.

斷言2 存在有界可逆線性或共軛線性算子A∶X→Y，使得Φ(T)=ATA-1，對于任意的T∈I1(X)都成立。

首先證明Φ雙邊保一秩冪等元的正交性。

所以Φ雙邊保一秩冪等元。

所以Φ是I1(X)上雙邊保一秩冪等元的正交性的雙射。在引理1中取P=Q=I1(X)，則有:

(a)存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形下)共軛線性算子A∶X→Y，使得:Φ(T)=ATA-1，T∈I1(X);

(b)存在一個(gè)有界可逆線性或(復(fù)情形下)共軛線性算子A∶X*→Y，使得:Φ(T)=AT*A-1，T∈I1(X).

在第二種情形中，X和Y一定自反。

現(xiàn)在證明第二種情況不可能出現(xiàn)。

假設(shè)Φ(T)=AT*A-1.對于所有的T∈I1(X)成立。對于任意的x∈X，一定存在非零的f1，f2∈X*，使得＜x，f1＞=1，＜x，f2＞=0，令f=f1-f2，g=f1+f2，從而有x?f，x?g∈I1(X)，所以

是R?M2?B(X2)中的反對合元，而:

因此Φ(T)=ATA-1對每個(gè)T∈I1(X)都成立，斷言2成立。

令 Ψ ∶R→?為Ψ(T)=A-1Φ(T)A，則Ψ是一個(gè)雙射，Ψ(I)=I，且Ψ(T)=T，?T∈I1(X).下面要驗(yàn)證 Ψ2保反對合性。取Ti∈ R(i=1，2，3，4)，使得)是反對合元，則:

由于Φ2雙邊保反對合性，所以Ψ2也是雙邊保反對合性。不失一般性，下面假設(shè)Φ(T)=T，其中T∈I1(X).

斷言3 對于任意的秩一元x?f，Φ(x?f)=λx?f(x?f)成立，其中0≠λx?f∈F.

對于任意的一秩元x?f，其中x∈X，f∈X*，對于任意的h∈X*，取y∈X，使得＜y，h＞=1.則:

h∈x⊥且是反對合元?

即h∈x⊥?h∈{ran Φ(x?f)}⊥且y∈kerf?f∈ker(Φ(x?f)).

所以Φ(x?f)=λx?f(x?f)對于某個(gè) λx?f∈F{0}成立。

斷言4 對于任意的x?f∈R{0}有λx?f=1，從而Φ(x?f)=x?f成立。

對任意的一秩非零元x?f，其中x∈X，f∈X*，是反對合元，所以也是反對合元，此蘊(yùn)涵所以即Φ2(x?f)=Φ((x?f)2)，所以(λx?fx?，即，所以 λx?f=1.

這樣就完成了(ii)?(iii)，證畢。

[1]侯晉川，崔建蓮.算子代數(shù)上線性映射引論[M].北京:科學(xué)出版社，2002.

[2]路召飛，黃麗，李俊林.保持算子乘積譜函數(shù)并零的映射[J].太原科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(1):59-62.

[3]HOU J C，CUI J L.Additive maps On standard operator algebras preserving invertibilities or zero divisors[J].Lin Alg Appl，2003，359:219-233.

[4]HADWIN D，LARSON D R.Completely rank-nonincreasing linear maps[J].J Funct Anal，2003，199:210-227.

[5]HOU J C，HUANG L.Maps completely preserving idempotents and maps completely preserving square-zero operators[J].Israel Journal Of Mathematics，2010，176:363-380.

[6]黃麗，路召飛，李俊林.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保斜冪等性的可加映射[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32(1):71-73.

[7]鄒本強(qiáng).對合矩陣和反對合矩陣的若干性質(zhì)[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，7(2):88-90.