“月上柳梢頭”的時間預(yù)測模型與求解

彭亞發(fā)

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，浙江 東陽 322100）

“月上柳梢頭”的時間預(yù)測模型與求解

彭亞發(fā)

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，浙江 東陽 322100）

定義“月上柳梢頭”為月亮對觀察者的仰角大于10°，“黃昏”時刻為太陽的邊緣與地平線相切的時刻，“黃昏后”3 h為可“約”時間。建立“月上柳梢頭”時間預(yù)測模型，求解得到太陽位置與月亮對觀察者的仰角隨時間變化的關(guān)系；借助已有的天文資料，采用計算機(jī)仿真求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。仿真結(jié)果表明，該模型能準(zhǔn)確預(yù)測發(fā)生時間。

數(shù)學(xué)模型；計算機(jī)仿真；天文學(xué)；高度角

0 引 言

“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋詩人歐陽修描述的佳人相約情景，“月上柳梢頭”自古以來也是一種奇特的天文景觀。地球、月球和太陽的運動系統(tǒng)紛繁復(fù)雜，因而要預(yù)知某個城市發(fā)生這種天文現(xiàn)象的準(zhǔn)確時間非常困難。針對“月上柳梢頭”的時間預(yù)測，國內(nèi)學(xué)者開展了諸多研究。如薛毅就“月上柳梢頭”的天文現(xiàn)象提出三種模型：模型1假定黃赤交角和黃白交角均為0°，模型2假定黃白交角為0°，模型3假定天體作圓周運動，最終利用三種模型假設(shè)對比計算求解的方法進(jìn)行預(yù)測[1]；李波等利用Mathematica軟件編程計算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型，Mathematica強(qiáng)大的日期函數(shù)處理功能，使輸出結(jié)果可讀性較強(qiáng)[2]。本文借助數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)建立數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型求解得到太陽的位置與月亮對觀察者的仰角隨時間變化的關(guān)系，最后利用挖掘的天文資料數(shù)據(jù)進(jìn)行計算機(jī)仿真實驗，以期精確預(yù)測“月上柳梢頭”發(fā)生的時間和地點，實現(xiàn)計算機(jī)建模與仿真技術(shù)和天文學(xué)知識的融合創(chuàng)新。

1 “月上柳梢頭”的相關(guān)問題

以月亮在空中與觀察者構(gòu)成的角度進(jìn)行推理，“月上柳梢頭”是指觀察者與月亮的仰角大于10°時的天文現(xiàn)象，即當(dāng)月亮相對觀察者的高度角（仰角）大于10°時可實現(xiàn)“月上柳梢頭”?？梢?，最終需要推導(dǎo)出月亮與觀察者的高度角隨時間變化的關(guān)系，即求解月亮相對觀察者的高度角大于10°的這一特定時刻。同時將傍晚太陽上邊緣和地平線相切的時刻定義為日沒時刻，即“黃昏后”的時刻。在定義黃昏時刻后，還需要對“約”的時間加以限制，結(jié)合日沒時刻之后夜幕降臨，進(jìn)入深夜就不適合相“約”的現(xiàn)實，約定自黃昏時刻起后3h為約會時間。接著對任意時刻太陽和月亮位置的計算進(jìn)行改進(jìn)，同時加入攝動量和觀測地點的海拔，以最終提高模型精度。根據(jù)相關(guān)天文學(xué)資料分析，在農(nóng)歷每月初一新月時，月亮和太陽同時升起，每過一天，月亮升起時間晚52min；到了農(nóng)歷每月十五，月亮在太陽落下時升起，隨后同樣是每過一天，月亮出來晚52min。因此，為準(zhǔn)確預(yù)測“月上柳梢頭”的發(fā)生時間，先將公歷時間轉(zhuǎn)換為農(nóng)歷時間，如果農(nóng)歷時間小于農(nóng)歷十五，則直接舍去；對于剩余日期分別計算日沒時刻，并判斷“月上柳梢頭”的時刻是否在日沒時刻之后3h以內(nèi)。通過該方法可充分剔除與“月上柳梢頭”不相關(guān)的時間段，減少計算量，同時大大提高模型的精度。

2 模型的建立與求解

為精確求解“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”天文現(xiàn)象出現(xiàn)的具體時間，先定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度，再定義“人約黃昏后”的具體時間?！霸律狭翌^”描述的是月亮的位置，“人約黃昏后”描述的是太陽的位置。

2.1 求解月球經(jīng)度和緯度攝動

設(shè)LunarPLon為經(jīng)度攝動量，LunarPLat為緯度攝動量，則有：

同時距離攝動LunarPDist為：

其中，M為月球的異常度，當(dāng)時間給定后，該值為常量；DMoon為月球距離太陽的平均角距離；MSun為太陽的異常度，當(dāng)時間給定后，該值為常量；常量FMoon為月球的升交角矩。

設(shè)偏近點的近似估算E為：

E=M+esin(M)(1+ecos(M))

其中e=0.054900。

設(shè)a為地球赤道的平均半徑，計算在直角坐標(biāo)系中月球軌道參數(shù)為：

利用上述參數(shù)得到月球與地球之間的距離r及真近點角v：

至此可求出月球在橢圓坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

其中，N,i,w為月球軌道參數(shù)，i為傾斜度，w為近點角。將笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，設(shè)eLon,eLat, eDist分別為xeclip,yeclip,zeclip對應(yīng)的球坐標(biāo)，考慮攝動時，eLon,eLat,eDist的值被更新為：

將上述球面坐標(biāo)系再進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得到對應(yīng)月球在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置，仍記為xeclip,yeclip, zeclip。至此，通過充分借助攝動量這一關(guān)鍵元素對月球的位置進(jìn)行了重新計算[3]。

2.2 考慮觀測點海拔的月球位置計算

通過參考天文學(xué)相關(guān)資料可知，在相同經(jīng)緯度情況下，在海拔高處進(jìn)行觀測是先看到日出，而后看到日落，即海拔高處晝略長。同理，對月球的觀測情形也類似。因此，利用以上天文現(xiàn)象可將觀測點的海拔納入影響月球位置觀測的原因之一[4]。

設(shè)(eLon,eLat)為觀測點的經(jīng)緯度，Alt為觀測點的海拔高度。因此，可用該點的經(jīng)緯度和海拔高度作為該觀測點的球面坐標(biāo)，設(shè)該點球面坐標(biāo)為(Lon,Lat,Alt+ EarthRadEq)，其中EarthRadEq為地球赤道半徑。對應(yīng)笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xel, yel, zel)，而(Lon,Lat, Alt)對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的點為(Xsl, ysl, zsl)。

若令Obl=23.439291-1.30042×10-2T-1.6×10-7T2+ 5.04×10-7T3，其中T表示儒略世紀(jì)數(shù)，記為：以海平面為基準(zhǔn)時坐標(biāo)直接的夾角為：

其中

同理，可得到在特定高度時坐標(biāo)之間的夾角為：

記。笛卡爾坐標(biāo)(sol1,sol2,sol3)對應(yīng)的極坐標(biāo)為(RA,δ)。由此可得到(Lon,Lat,Alt+EarthRadEq)的位置，月球相對于觀測者的高度角和方位角為：

其中HA為時角。

至此，在計算月亮相對于觀測點的位置時加入了攝動量及觀測點的海拔。對于求解日沒時刻所涉及的太陽位置，采用同樣的方法也可加入攝動量及觀測點的海拔信息。

2.3 求解

根據(jù)我國部分城市的經(jīng)度、緯度及海拔信息（見表1），求解北京市“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。

在農(nóng)歷每月初一新月時，月亮和太陽同時升起；然后每過一天，月亮升起時間晚52min；到了農(nóng)歷每月十五，月亮在太陽落下時升起；然后同樣是每過一天，月亮出來晚52min。究其原因是，月亮每月（29.5天）要向東公轉(zhuǎn)360°，平均每天東移58°，而新月時日月在同一直線，每天偏東58°，每天就比太陽晚出來50多m i n。因此，根據(jù)月亮與太陽在特定時間的運動規(guī)律求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間，如圖1所示。

表1 我國部分城市的經(jīng)度、緯度及海拔信息

圖1 求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間的流程

至此，通過以上求解流程可計算得到北京市2016年“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間（見表2）。

由表2可知，2016年北京市11個月都會出現(xiàn)一次“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情形，但12月沒有符合要求的時間。通過仿真求解發(fā)現(xiàn)，黃昏時刻為16：48，而“月上柳梢頭”的時刻為20：53，已不在“約會”的3h內(nèi)。同理，通過以上方法可預(yù)測得到其它城市2016年“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間[5]。

通過求解月球經(jīng)度、緯度攝動及考慮觀測點海拔的月球位置，建立模型與仿真求解。仿真結(jié)果表明，當(dāng)月亮對觀察者的高度角大于1 0°時可實現(xiàn)“月上柳梢頭”。因此，最終推導(dǎo)出月亮對觀察者的高度角隨時間變化的關(guān)系。同時，對任意時刻太陽和月亮位置的計算進(jìn)行改進(jìn)，加入攝動量和觀測點的海拔，可提高模型精度。根據(jù)客觀規(guī)律，剔除了一些幾乎不可能同時出現(xiàn)“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情況，對于剩余日期分別計算日沒時刻，并判斷“月上柳梢頭”的時刻是否在日沒時刻之后3 h以內(nèi)。

表2 2016年北京市“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時間

3 結(jié)束語

本文利用攝動量和所建立的數(shù)學(xué)模型更加準(zhǔn)確地描述了月亮與太陽的位置，進(jìn)而可更加準(zhǔn)確求解“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時刻。該模型算法直觀，易于計算機(jī)編程仿真實現(xiàn)，并且能準(zhǔn)確預(yù)測發(fā)生時間。由于數(shù)學(xué)模型的建立與求解最終都是為了更好地讓人們了解大自然的運動規(guī)律，同時為人們的生產(chǎn)生活提供更好的服務(wù)，因而下一步研究將借助該模型的相關(guān)算法應(yīng)用于實際生產(chǎn)生活中，從而實現(xiàn)該模型的應(yīng)用和推廣價值。

[1]薛毅.“月上柳梢頭”問題解析[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2015，4(4):50-60.

[2]李波，王妍婷，常星星.對“月上柳梢頭”的數(shù)學(xué)模型分析[J].湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2015，28(6):108-110.

[3]SCHLYTER P.Computing Planetary Positions-a Tutorial with Worked Examples[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://stjarnhimlen.se/comp/tutorial.html.

[4]SCHLYTER P.How to Compute Rise/set Times and Altitude above Horizon[EB/OL].（2015-09-12）[2016-05-20]. http://www.stjarnhimlen.se/comp/riset.html#2.

[5]萬永革，莊獻(xiàn)華.防專校園太陽高度及升降方位的計算[J].防災(zāi)技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報，2003，5(1):1-9.

[責(zé)任編輯：王瑋明]

Time Prediction Model and Solution about “the Moon Rose above the Willow Tree”

PENG Yafa
(Information and Control Engineering Institute, Zhejiang Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang, 322100, China)

“The moon rose above the willow tree” is defined as the moon holds an elevation of more than 10 degrees to the observer. “Dusk” means the moment when the edge of the sun touches the horizon. Three hours after the dusk is the right time to have a date. By making the time predicting model for “the moon rose above the willow tree”, the research has demonstrated the relation between the location of the sun and the elevation of the moon changes with time for the observer. The study tries to use computer simulation to work out the date and time for “the moon rose above the willow tree, and after dusk he had a tryst with me” by referring to the available astronomic materials. The simulation result indicates that this model can predict the exact time.

Mathematical model; Computer simulation;Astronomy; Elevation angle

O242.1

A

1671-4326(2016)04-0062-04

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.086

2016-06-06

彭亞發(fā)（1979—），男，江西吉安人，浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息與控制工程學(xué)院副教授，碩士.