復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的數(shù)形結(jié)合方法

馮艷超

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）28-0133-01

對(duì)于復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題常用解決方法有兩種：第一種方法可以用導(dǎo)數(shù)方法來求；但是解不等式有的時(shí)候難度很大；第二種方法可以用數(shù)形結(jié)合的方法來求。這種求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法直觀、簡便、易懂、便于學(xué)生掌握，是值得一試的好方法?，F(xiàn)將這種方法解析如下：

比如，求函數(shù)y=log■（x2-4x-5）的單調(diào)區(qū)間。

解：要先分內(nèi)外層：內(nèi)層函數(shù)為：t=x2-4x-5；外層函數(shù)為： y=log■t，畫出內(nèi)層函數(shù)t=x2-4x-5的圖像；由內(nèi)層圖像可直接觀察得到內(nèi)層函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間，外層函數(shù)y=log■t當(dāng)t∈（0，∞）是減函數(shù)，用方向箭頭代表單調(diào)性標(biāo)在內(nèi)層圖像上；在x軸上方圖像對(duì)應(yīng)外層函數(shù)為減函數(shù)，x軸下方圖像無對(duì)應(yīng)的外層單調(diào)性即復(fù)合函數(shù)在這部分范圍無意義，只觀察內(nèi)層和外層單調(diào)性都同時(shí)存在的部分即可；x∈（-∞，-1）內(nèi)層函數(shù)是減函數(shù)，外層函數(shù)是減函數(shù)，所以根據(jù)同增異減的原則復(fù)合函數(shù)在x∈（-∞，-1）是增函數(shù)；同理在x∈（5，+∞）內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)而對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)同增異減的原則復(fù)合函數(shù)在是x∈（5，+∞）減函數(shù)。即：復(fù)合函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）是增函數(shù)，在區(qū)間（5，+∞）減函數(shù)。

現(xiàn)將此方法總結(jié)一下：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，首先要把復(fù)合函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；其次畫內(nèi)層函數(shù)圖像，這是因?yàn)樽宰兞糠秶蛦握{(diào)區(qū)間能直接可觀察；第三步求出外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間標(biāo)畫在內(nèi)層函數(shù)的圖像上；第四步根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的同增異減原則直接得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

再比如，求y=（sinx）2-sinx+1的單調(diào)區(qū)間。

解：內(nèi)層函數(shù)： t=sinx

外層函數(shù)：y=t2-t+1在t≥■范圍上是增函數(shù)，在t≤■范圍上是減函數(shù)。

周期函數(shù)畫一個(gè)周期的圖像即可，由圖可知直線t=■上方的內(nèi)層函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)外層函數(shù)單調(diào)性是增函數(shù)；t=■下方的內(nèi)層函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)外層函數(shù)單調(diào)性是減函數(shù)；要先求出t=■與內(nèi)層函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榻稽c(diǎn)把內(nèi)層函數(shù)分成四段對(duì)應(yīng)不同的外層單調(diào)性，在區(qū)間-■，■內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是減函數(shù)，所以在這個(gè)區(qū)間復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間■，■內(nèi)內(nèi)層函數(shù)是增函數(shù)對(duì)應(yīng)外層函數(shù)是增函數(shù)，所以在這個(gè)區(qū)間復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；其他同理可得；因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)是周期函數(shù)，所以寫復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間加上周期即可，所以復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間即：2k？仔-■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是增函數(shù)；2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是減函數(shù)。

這種數(shù)形結(jié)合求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法非常容易掌握，簡便易懂，是值得推廣的方法，如果大家有興趣可以試試以下兩個(gè)題；能幫助我們鞏固一下這種數(shù)形結(jié)合的方法。

練習(xí)：1.求y=log3（x2-2x-3）的單調(diào)區(qū)間。

2.求y=（cosx）2+cosx-2的單調(diào)區(qū)間。