基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)跳-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型分析

馬輝 李揚(yáng)

摘 要：本文梳理了金融資產(chǎn)定價(jià)問題中基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)跳-擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型發(fā)展歷程，闡述目前的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì).闡明主要研究方向.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);期權(quán)定價(jià);跳-擴(kuò)散過程

引 言

金融資產(chǎn)定價(jià)問題是金融工程的核心問題之一，產(chǎn)品價(jià)格的確定和預(yù)測(cè)一直是理論界和實(shí)務(wù)界學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題，其中對(duì)股票價(jià)格變化規(guī)律的研究，更是從事該領(lǐng)域研究的學(xué)者關(guān)注的課題.隨著我國金融市場日趨完善，股票引起了越來越多投資者的興趣，已經(jīng)成為了與基金、存款、保險(xiǎn)同等重要的理財(cái)方式.股票市場在金融投資領(lǐng)域占有著重要的地位.

在股票市場中，股價(jià)的波動(dòng)是投資者最為關(guān)心的問題，這是因?yàn)橥顿Y者的風(fēng)險(xiǎn)和收益是由股價(jià)的波動(dòng)幅度引起的.股價(jià)的波動(dòng)分為連續(xù)的波動(dòng)和不連續(xù)波動(dòng)兩種情形，其中，連續(xù)的波動(dòng)受到市場信息的不準(zhǔn)確、發(fā)行股票公司的經(jīng)營狀況、投資者認(rèn)識(shí)的差異等因素影響.不連續(xù)的波動(dòng)來自與某些未知的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)因素，比如戰(zhàn)爭、金融危機(jī)、重大政治事件等.因此股票價(jià)格的變動(dòng)行為是一個(gè)隨機(jī)變化的復(fù)雜過程，需要借助數(shù)學(xué)工具才能夠進(jìn)行深入的研究.同時(shí)對(duì)股票價(jià)格形成機(jī)制與變化規(guī)律的理論研究一直伴隨著金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，并由此帶動(dòng)證券市場和其它理論的發(fā)展，如市場的有效性理論、資本資產(chǎn)定價(jià)理論、市場均衡理論、期權(quán)定價(jià)理論等.其中期權(quán)定價(jià)問題是金融數(shù)學(xué)中的核心問題之一，股票的價(jià)格模型是期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)，所以建立合理的股票價(jià)格模型尤為重要.

1股票價(jià)格理論的發(fā)展

從金融經(jīng)濟(jì)學(xué)歷史發(fā)展的角度來看，對(duì)股票價(jià)格模型的理論與方法的研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面.

首先是股票價(jià)值理論.Iring（1930）最早提出了在確定性條件下價(jià)值評(píng)估體系.Willianms（1938）提出了金融領(lǐng)域最常見的定價(jià)公式股利貼現(xiàn)模型，之后發(fā)展起來的諸如自由現(xiàn)金流理論、相對(duì)估價(jià)法、剩余收益模型等相關(guān)理論都可以看成是股票價(jià)值理論[1].

其次是現(xiàn)代投資理論，Markwitz發(fā)起的資產(chǎn)組合選擇理論，WilliamSharp（1964） JohnLint ner（1965） JanMossin（1966）根據(jù)Markwitz理論在一般均衡框架下提出的資本資產(chǎn)定價(jià)模型;Black和Scholes（1973）運(yùn)用無套利假說提出期權(quán)定價(jià)模型等可以視為現(xiàn)代投資理論;Ross（1976）構(gòu)造了被后人稱為“資產(chǎn)定價(jià)基本定理”的套利定價(jià)模型[2].

再者是當(dāng)代股票定價(jià)理論.Engle（1982）提出了自回歸條件異方差模型（ARCH），隨后國內(nèi)學(xué)者的研究主要集中在利用這族模型的模擬和特征描述.Barrett在美國貨幣指數(shù)中發(fā)現(xiàn)了維數(shù)為1.5 左右的奇怪吸收因子，在金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)中建立了確定性混沌力學(xué)系統(tǒng).Peter（1994），Racherds（2000）等都證實(shí)了金融市場的分形特征以及其它非線性特征，如非正態(tài)性，長期記憶性，過度波動(dòng)性等.貢獻(xiàn)最為突出的是HershShefrin（2004）出版的《資產(chǎn)定價(jià)行為方法》，提出了對(duì)資產(chǎn)定價(jià)統(tǒng)一和系統(tǒng)的方法[3].

當(dāng)下國內(nèi)外學(xué)者對(duì)股票價(jià)格理論的研究主要包括兩個(gè)方面，一是依據(jù)從非線性模型和混沌理論以及分形理論，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊系統(tǒng)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行研究.二是借助分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)理論通過分形性質(zhì)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行研究.

從期權(quán)定價(jià)的角度，學(xué)者都在利用布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)理論對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行研究，并取得了突破性的進(jìn)展.利用布朗運(yùn)動(dòng)建立起的股票價(jià)格模型存在兩個(gè)主要缺點(diǎn)：一是股票價(jià)格是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，那么股票價(jià)格就可能出現(xiàn)負(fù)值，與實(shí)際不符;二是增量是相互獨(dú)立同分布的，這個(gè)假設(shè)也不合理.從獨(dú)立增量性質(zhì)方面，把布朗運(yùn)動(dòng)推廣為一般的增量不獨(dú)立的高斯過程，如分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等;期間經(jīng)歷了算數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型，與布朗運(yùn)動(dòng)相比，在整體漂移和方差方面有所改善，但是沒有改變股價(jià)為負(fù)值的情況;再到幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，由Black，Scholes首次提出相關(guān)理論（B-S定價(jià)理論），B-S期權(quán)定價(jià)模型是20世紀(jì)金融領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)，引領(lǐng)了一場新的金融革命，促進(jìn)了金融學(xué)的發(fā)展.它假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，建立在有效市場假說的基礎(chǔ)上，認(rèn)為股票的價(jià)格波動(dòng)相互獨(dú)立，其收益率是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且服從正態(tài)分布，較好地克服了布朗運(yùn)動(dòng)和算數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的缺陷[5].然而后續(xù)研究人員發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格變化不呈現(xiàn)正態(tài)分布，而是一種尖峰厚尾的分布，這就意味著忽略了股票大漲大跌等極端情況的發(fā)生，并且股票價(jià)格對(duì)數(shù)也并非嚴(yán)格服從正態(tài)分布，同時(shí)忽略了股票價(jià)格具有長期依賴性和自相似性， 因此近年來許多學(xué)者開始對(duì)B-S定價(jià)理論進(jìn)行修正， 主要有兩種思想：一是保持基本假設(shè)不變， 將股票價(jià)格波動(dòng)率的“微笑曲線”特征歸結(jié)于市場的摩擦和扭曲;二是重新對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行修正的模型，其主要思想是向模型中引入更多的隨機(jī)因素，如跳--擴(kuò)散過程、隨機(jī)波動(dòng)率模型等.分形理論開始進(jìn)入金融經(jīng)濟(jì)學(xué)之后， 股票定價(jià)理論得到了快速的發(fā)展，建立并推廣了諸多股票價(jià)格模型，如幾何分形布朗運(yùn)動(dòng)、帶跳和擴(kuò)散的分形布朗運(yùn)動(dòng)模型等.分形理論的引入，使得股票定價(jià)模型和期權(quán)定價(jià)模型得到了長足的發(fā)展，現(xiàn)在很多學(xué)者仍然朝著這個(gè)方向不斷地前行，他們期待利用分形布朗運(yùn)動(dòng)的特殊形式--分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).在股票價(jià)格理論研究和期權(quán)定價(jià)方面取得突破.由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)既不是Markov過程也不是半鞅，古典隨機(jī)積分不能夠處理含有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的積分，這也帶動(dòng)了現(xiàn)代隨機(jī)積分理論的發(fā)展.其次是從高斯性質(zhì)方面，將其推廣到一般的獨(dú)立增量過程，如Levy過程，一維的布朗運(yùn)動(dòng)是Levy過程特殊形式，也有很多學(xué)者從事基于Levy過程的股票價(jià)格研究.但基本的理論和方法與前面所述基本一致， 這里不再贅述.

再者推廣為復(fù)合的過程，如跳——擴(kuò)散過程、重布朗運(yùn)動(dòng)等.充分利用布朗運(yùn)動(dòng)理論的隨機(jī)性描述股票價(jià)格變動(dòng)，即在模型中引入隨機(jī)的跳躍與擴(kuò)散變量，使得模型更能反映股票價(jià)格的實(shí)際變化形態(tài).特別是股票價(jià)格變動(dòng)過程出現(xiàn)奇異點(diǎn)時(shí)，這類模型對(duì)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)與描述要相對(duì)準(zhǔn)確一些，如突發(fā)事件引起的股票價(jià)格突然下跌，利好消息引起的股票迅速上漲，都可以通過在模型中加入泊松過程來描述，把股票價(jià)格的變動(dòng)行為變成布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)使的形式.很多學(xué)者投入這項(xiàng)工作中來， 或是改進(jìn)模型中布朗運(yùn)動(dòng)形式，如利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、分形布朗運(yùn)動(dòng)等;或是改進(jìn)泊松過程，增加更為復(fù)雜的跳躍形式，如補(bǔ)償?shù)牟此蛇^程、時(shí)齊非時(shí)齊的泊松過程等，都建立了相關(guān)的理論體系.

2、跳-擴(kuò)散過程模型分析.

分形布朗運(yùn)動(dòng)是B. B. Mandelbrot 和Van Ness首先提出的，用于模擬各種具有分形特征的噪聲等.Edgar Peters提出了分形市場假說. Peters應(yīng)用R/S 分析法分析了不同資本市場如股市收益率、匯率， 都發(fā)現(xiàn)了分形結(jié)構(gòu)和非周期循環(huán)， 證明資本市場是非線性系統(tǒng).分形布朗運(yùn)動(dòng)的引入，使得股票定價(jià)和期權(quán)理論得到了長足發(fā)展，使得資本資產(chǎn)定價(jià)模型和期權(quán)等衍生品定價(jià)公式得到了發(fā)展. Cipiran.N建立了基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型給出了期權(quán)定價(jià)的分?jǐn)?shù)B-S 公式，McCulloch 提出穩(wěn)定分布下的期權(quán)定價(jià)公式， 而Decreusefond 和Ustunel運(yùn)用路徑依賴積分發(fā)展了基于分形布朗運(yùn)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)公式， 從而為分形市場假說條件下權(quán)證定價(jià)奠定了基礎(chǔ).Duncan、Hu 、Pasik-Duncan推導(dǎo)出Hurst 指數(shù)屬于（0.5，1） 時(shí)基于Wick 算子的分形布朗運(yùn)動(dòng)積分， 并證明分形布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)下市場是無套利的， 從而推導(dǎo)出分形布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)模型. Beckera S對(duì)這一類跳--擴(kuò)散過程模型的參數(shù)進(jìn)行了有效的估計(jì)[6].

3.基于分形布朗運(yùn)動(dòng)理論下的股票價(jià)格研究

采用分形或分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)B-S期權(quán)定價(jià)公式中的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行修正.周孝華通過分析布朗運(yùn)動(dòng)與分形布朗運(yùn)動(dòng)的仿真過程，首次提出并論述了分形布朗運(yùn)動(dòng)是股價(jià)行為的高度逼真. 提出分形維納過程的概念并利用它推導(dǎo)出不付紅利股票價(jià)格所遵循的含分形維納過程的微分方程， 并進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算. 考慮了股本稀釋效應(yīng)，權(quán)證執(zhí)行的“稀釋效應(yīng)”以及“紅利分配”，分形理論等問題進(jìn)行了修正.

4. 股票價(jià)格服從混合過程的定價(jià)模型

很多學(xué)者在股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，對(duì)模型引入更加符合實(shí)際變化的跳躍過程.在股票價(jià)格服從混合過程前提下研究了期權(quán)定價(jià)模型.如無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率和預(yù)期收益率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)，用保險(xiǎn)精算方法，給出兩值期權(quán)定價(jià)公式.對(duì)非高斯過程和非馬爾可夫情況下的期權(quán)定價(jià)理論的探討，進(jìn)行了修正.對(duì)B-S 期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了深入研究，總結(jié)了比較流行的定價(jià)方法即偏微分方程、解析近似方法、二叉樹方法、有限差分方法和Monte-Carlo 模擬法等.利用隨機(jī)利率和多因素影響進(jìn)行了期權(quán)定價(jià)研究[7].在B-S 模型引入了一個(gè)跳過程， 得出稀釋調(diào)整后的股本權(quán)證定價(jià)公式， 并將其推廣到支付紅利狀況下權(quán)證定價(jià)模型.帶有泊松跳過程的股票價(jià)格模型和期權(quán)定價(jià)模型.以上研究實(shí)質(zhì)上主要是對(duì)B-S 模型在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的修正與拓展.

5.結(jié)論

當(dāng)下國內(nèi)外學(xué)者們對(duì)股票價(jià)格的研究實(shí)際上依據(jù)股票市場的分形性質(zhì)，利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程，并在模型中加入跳躍變量，描述波動(dòng)形式，即為分?jǐn)?shù)跳--擴(kuò)散過程.它也是當(dāng)下標(biāo)的資產(chǎn)定價(jià)和期權(quán)定價(jià)利用和討論的重點(diǎn)模型，特別是對(duì)跳-擴(kuò)散過程的修正問題尤為重要.

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基金項(xiàng)目：吉林省教育廳“十三五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目 （JJKU20170338K）