一類矩陣方程組的正交投影迭代解法

周富照，田時宇，袁艷杰

(長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410004)

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一類矩陣方程組的正交投影迭代解法

周富照，田時宇，袁艷杰

(長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410004)

摘要：討論了矩陣方程組AX=B，XC=D一般解的正交投影迭代解法.利用正交投影原理和一般矩陣的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)構(gòu)造迭代算法，再利用矩陣的奇異值分解、F-范數(shù)的正交不變性及矩陣方程組解的性質(zhì)，證明了算法的收斂性，且推導(dǎo)出收斂速率的估計式.經(jīng)數(shù)值實(shí)例驗證了算法的有效性.

關(guān)鍵詞：矩陣方程組；一般解；正交投影迭代法；最佳逼近解；極小范數(shù)解

為了敘述方便，先介紹一些記號.用Rm×n表示m×n實(shí)矩陣的集合，A?B表示矩陣A和B的Kronecker積，vec(A)表示將矩陣A按行拉直構(gòu)成的列向量，tr(A)表示A的跡.對A,B∈Rm×n，A與B的內(nèi)積定義為A,B=tr(BTA)，由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)‖A‖，即矩陣A的Frobenins范數(shù).

考慮如下問題：

問題Ⅰ給定A∈Rp×m,B∈Rp×n,C∈Rn×l,D∈Rm×l,S?Rm×n，求X∈S，使得

(1)

(2)

問題Ⅰ與問題Ⅱ就是約束矩陣方程組問題及其最佳逼近問題，來源于左右逆特征對問題，在循環(huán)理論等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1].近幾年，國內(nèi)外眾多學(xué)者對該問題的研究取得許多成果.如文獻(xiàn)[2]利用矩陣的廣義逆，就S為一般實(shí)矩陣集合研究了問題有解的條件及其解的表達(dá)式；文獻(xiàn)[3-4]借助于矩陣的奇異值分解及矩陣的廣義逆，就S為對稱正定矩陣集合、自反矩陣集合、反自反矩陣集合、廣義自反矩陣集合等給出了問題有解的充分必要條件及其通解的表達(dá)；文獻(xiàn)[5]借助于拉直算子及線性方程組的迭代思想，就S為一般實(shí)矩陣集合研究了問題的迭代解法；文獻(xiàn)[6]就S為一般實(shí)矩陣集合、對稱矩陣集合、反對稱矩陣集合、中心對稱矩陣集合等研究了矩陣方程組A1XB1=C1,A2XB2=C2的廣義共軛梯度迭代解法.

迄今為止，關(guān)于問題Ⅰ的正交投影迭代解法的研究文獻(xiàn)尚未見到.筆者主要就問題Ⅰ和問題Ⅱ的正交投影迭代解法進(jìn)行研究.

1問題Ⅰ的迭代解法

首先給出求解問題Ⅰ的算法.

(ⅲ) 令ΔXk=αk(ATBk+DkCT)；

(ⅳ)當(dāng)ΔXk充分小時，迭代結(jié)束，輸出結(jié)果，否則，令Xk+1=Xk+ΔXk；

其次介紹如下幾個引理：

引理1[5]矩陣方程組(1)有解的充要條件是B=AA+B,D=DC+C且BC=AD.

證明(ⅰ)由算法1可知，對?k=0,1,2,…,都有BkC=BC-AXkC，ADk=AD-AXkC.又由引理1，BkC=BC-AXkC=AD-AXkC=ADk.

引理3在迭代算法1中，αk的值使得：

(ⅰ)‖Rk+1‖極??；

(ⅱ)Rk+1和ΔRk相互正交且‖Rk+1‖2=‖Rk‖2-‖ΔRk‖2(即Rk+1，ΔRk，Rk構(gòu)成直角三角形，Rk是斜邊).

證明(ⅰ) 利用算法1，有

‖Rk+1‖2=‖Rk-ΔRk‖2=Rk-ΔRk,Rk-ΔRk

2αk+

易知使‖Rk+1‖達(dá)到極小的充要條件是

(ⅱ)利用算法1，有

Rk+1,ΔRk=Rk-ΔRk,ΔRk=αk-

若Rk+1和ΔRk相互正交，則可推出

反之亦然.由Rk+1和ΔRk相互正交，有‖Rk‖2=‖Rk+1‖2+‖ΔRk‖2，即‖Rk+1‖2=‖Rk‖2-‖ΔRk‖2.

最后討論算法1的收斂性.

設(shè)θ是矩陣Rk和矩陣ΔRk的夾角，有

兩組患者在出院時空腹血糖值比較，差異無統(tǒng)計學(xué)意義（P＞0.05）；出院后3個月時，兩組空腹血糖值比較，差異具有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.05），見（表1）。

其中

‖ATBk‖2+‖DkCT‖2+‖ADk‖2+‖BkC‖2=‖VETUTUGPPT‖2+‖VVTHQTQFTPT‖2+

‖UEVTHQT‖2+‖UGPFQT‖2=‖ETGP‖2+‖VTHFT‖2+

‖EVTH‖2+‖GPF‖2=‖ETY‖2+‖ZFT‖2+‖EZ‖2+‖YF‖2=

‖AATBk+ADkCT‖2≤2‖AATBk‖2+2‖ADkCT‖2=2‖AATBk‖2+2‖BkCCT‖2=

2‖UEVTVETUTUGPPT‖2+2‖UGPFQTQFTPT‖2=

2‖EETGP‖2+2‖GPFFT‖2=2‖EETY‖2+2‖YFFT‖2=

同理可得，

‖ATBkC+DkCTC‖2≤2‖ATBkC‖2+2‖DkCTC‖2=2‖ATADk‖2+2‖DkCTC‖2=

2‖VETUTUEVTHQT‖2+2‖VVTHQTQFTPTPFQT‖2=

2‖ETEVTH‖2+2‖VTHFTF‖2=2‖ETEZ‖2+2‖ZFTF‖2=

‖Bk‖2+‖Dk‖2=‖UGPPT‖2+‖VVTHQT‖2=‖GP‖2+‖VTH‖2=

則

引理4[7]設(shè)線性方程組My=b存在解y0∈R(MT)，則y0必為該線性方程組的唯一的極小范數(shù)解.

定理2設(shè)問題Ⅰ相容，若取初值X0=ATW1+W2CT，其中W1為任意Rp×n矩陣，W2為任意Rm×l矩陣，則算法1收斂到該問題的極小范數(shù)解.

證明由定理1可知算法1收斂到問題Ⅰ的一個迭代解X*，且若取初值X0=ATW1+W2CT，其中W1為任意Rp×n矩陣，W2為任意Rm×l矩陣，則X*可表示為X*=ATN1+N2CT.

下面證明X*即為問題Ⅰ的極小范數(shù)解.

記wec(X)=x,vec(B)=b,vec(D)=d，則矩陣方程組(1)等價于線性方程組

(2)

又記vec(X*)=x*,vec(N1)=n1,vec(N2)=n1，則

再根據(jù)引理4可知x*是線性方程組(2)的極小范數(shù)解，由拉直映射同構(gòu)，故X*是問題Ⅰ的極小范數(shù)解.

2問題Ⅱ的解

3數(shù)值實(shí)例

例1設(shè)

(1)求問題Ⅰ的極小范數(shù)解X*.

(2)若問題Ⅰ相容，給定

求問題Ⅱ的解.

下面計算結(jié)果是在Windows XP操作系統(tǒng)、頻率2.40 GHz的計算機(jī)處理器環(huán)境下利用Matlab7.4編程給出的.

(1) 取X0=O∈R9×8作為初始矩陣，ε=5×10-10作為迭代終止的條件，即當(dāng)‖ΔXk‖<ε迭代終止.對于本例可以得到問題Ⅰ的極小范數(shù)解為

迭代過程所花的時間及迭代次數(shù)分別為t=0.030 425 s,k=108.

迭代過程所花的時間及迭代次數(shù)分別為t=0.035 521 s,k=87.

參考文獻(xiàn)：

[1]BERMANA，PLEMMONSRJ.NonnegativeMatricesintheMathematicalSciences[M].NewYork:AcademicPress，1994.

[2]MITRASK.TheMatrixEquationsAX=B,XC=D[J].Linear Algebra and Its Application,1984，59：171-181.

[3] 袁永新.關(guān)于矩陣方程AX=B,XC=D及AXB=D的對稱正定解[J].華東船舶工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2000，14(6)：9-13.

[4] 陳永林.求解矩陣方程組AX=B,XC=D的迭代法[J].南京師范大學(xué)學(xué)報，1999，22(2):1-2.

[5] 李范良.幾類特殊矩陣的左，右逆特征對問題及其矩陣方程組問題[D].長沙：湖南大學(xué)，2005.

[6] 彭亞新.幾類特殊約束矩陣方程問題及其最佳逼近問題[D].長沙：湖南大學(xué)，2006.

[7] 湯賽，周富照.一類約束矩陣方程的迭代解法[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010,22(5)：29-34.

(責(zé)任編輯向陽潔)

An Orthogonal Projection Iteration Method for a Matrix Equations

ZHOU Fuzhao，TIAN Shiyu，YUAN Yanjie

(College of Mathematics and Computing Science,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410004,China)

Abstract:An orthogonal projection iteration method for matrix equations AX=B,XC=D is studied.Firstly,the iterative method is constructed by using the theory of orthogonal projection and the properties of general matrix;secondly,its convergence is proved by using the singular value decomposition,the orthogonal invariance of F￣norm and the properties for solutions of the matrix equations and the estimation of its convergence rate is obtained;finally,numerical examples are given to verify the validity of the algorithm.

Key words:matrix equations;general solution;orthogonal projection iteration method;optimal approximation;minimum norm solution

作者簡介：周富照(1964—)，男，湖南漣源人，長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授，博士，主要從事數(shù)值代數(shù)研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11371072)

收稿日期：2014-10-31

中圖分類號：O241.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.03.001

文章編號：1007-2985(2015)03-0001-06