兩個(gè)全變換半群之間的同態(tài)I

唐　慧,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

兩個(gè)全變換半群之間的同態(tài)I

唐慧,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

摘要：設(shè)Tn是Xn={1,2,…,n}上的全變換半群.Tm是Xm={1,2,…,m}上的全變換半群,本文刻畫(huà)出當(dāng)n>m時(shí),Tn到Tm的所有同態(tài),且還得到Tm為T(mén)n的同態(tài)像的條件.

關(guān)鍵詞：全變換半群;同態(tài);同余

收稿日期：2015-01-05

通信作者：楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail:yxl@hznu.edu.cn

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.05.014

中圖分類號(hào):O152.7MSC2010: 43A22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1674-232X(2015)05-0527-04

1引言和結(jié)論

設(shè)Tn是Xn上的全變換半群,它的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究[1-5].特別的,在1998年Schein.B.M.和Teclezghi.B.[1]刻畫(huà)出了Tn的所有自同態(tài).在2012年黃麗麗和楊秀良在文[2]中刻畫(huà)出了Tn的奇異部分的自同態(tài).在2013年林雙和楊秀良在文[3]中刻畫(huà)出了全變換半群Tn和對(duì)稱逆半群ISn之間的同態(tài).接下來(lái)我們自然去研究?jī)蓚€(gè)全變換半群Tn和Tm之間的同態(tài).在本文中我們將刻畫(huà)出當(dāng)n>m時(shí),Tn到Tm的所有同態(tài),且還得出Tm為T(mén)n同態(tài)像的條件.

在本文中我們使用的映射為左映射.用Sn,An分別表示n次對(duì)稱群和n次交錯(cuò)群.為完整敘述結(jié)果需引入如下三個(gè)映射.

(1)令ε為T(mén)m中的一個(gè)冪等元.定義映射Φε:Tn→Tm為:對(duì)任意的α∈Tn,Φε(α)=ε.

(2)令ε,δ為T(mén)m中兩個(gè)不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ.定義映射Ψε,δ:Tn→Tm如下:

我們的主要結(jié)果如下

定理1設(shè)n>m,且令φ是Tn到Tm的任一映射,則φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ為如下形式之一:

(1)Φε,其中ε為T(mén)m中的一個(gè)冪等元;

(2)Ψε,δ,其中ε,δ為T(mén)m中兩個(gè)不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ;

推論1Tm為T(mén)n的同態(tài)像,則m=n或者m=1.

2結(jié)論的證明

為敘述方便,令α∈Tn,記im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全變換半群Tn上的Green[4]關(guān)系如下:任取α,β∈Tn,有

(2)αβ當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β);

為證明我們的結(jié)論,需要引入如下4個(gè)引理.

令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:

(1)

(1)若rank(α)

(2)若rank(α)>k,則α≡Rβ當(dāng)且僅當(dāng)α=β;

引理2([4],Lemma7.4.2)n>1,Tn中不包含任何元素α使得對(duì)任意的π∈Sn滿足πα=α.

引理3令ε是Tn的一個(gè)冪等元.則

(i)Tn的包含ε的一個(gè)極大子群Gε為

Gε={α∈Tn|im(α)=im(ε),ker(α)=ker(ε)}.

證明(i)由前面提到的全變換半群上的Green關(guān)系的性質(zhì)直接得到.

(ii)令冪等元

其中bi1,bi2,…,bik是b1,b2,…,bk的一個(gè)排列.定義映射

便知φ是一個(gè)雙射,且易驗(yàn)證Φ保持運(yùn)算,因此Φ為同構(gòu).

定理1的證明易證定理1中給出的三種類型的映射都為T(mén)n到Tm的同態(tài),因此只需證明Tn到Tm的所有同態(tài)都具有定理1所給出的三種類型的映射的其中某種形式.

現(xiàn)令φ為T(mén)n到Tm的任一個(gè)同態(tài),由于ker(φ)為T(mén)n上的一個(gè)同余,于是據(jù)引理1,分兩種情況如下:

情況1ker(φ)是泛同余,則φ把Tn映到Tm中的某個(gè)冪等元,令這個(gè)冪等元為ε,從而φ為常量同態(tài),且φ為定理1中的形式(1);

綜上,當(dāng)n≠4時(shí),φ只具有定理1中的三種類型的映射的某種形式.

即Klien四元群.K4在S4中的6個(gè)陪集如下

φ(αβ)=φ(α)φ(β)=φ(α)ξ=ξ,

綜上,當(dāng)n=4時(shí),φ只具有定理1中的三種類型的映射的某種形式.

推論1的證明若φ為T(mén)n到Tm的滿同態(tài),則n≥m,進(jìn)而如果n=m,則取φ為T(mén)n的自同構(gòu)即可.下面考慮1≤m≤n-1的情況,由定理1的證明知|Tm|≤3,而|T2|=4,則只能取m=1.

參考文獻(xiàn):

[1] Schein B M, Teclezghi B. Endomorphisms of finite full transformation semigroups [J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, 126(9):2579-2587.

[2] 黃麗麗,楊秀良.全變換半群的奇異部分的自同態(tài)[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,11(3):249-253.

[3] 林雙,楊秀良.全變換半群Tn與對(duì)稱逆半群ISn之間的同態(tài)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,40(2):123-126.

[4] Ganyushkin O, Mazorchuk V. Introduction to Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer Verlag,2009.

[5] Howie J M． Fundamentals of semigroups theory[M]． Oxford: Oxford University Press，1995．

Homomorphisms of Two Finite Full Transformation Semigroups I

TANG Hui, YANG Xiuliang

(College of Sciences, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:Let Tnbe the full transformation semigroup on a finite set Xn={1,2,n}. Let Tmbe the full transformation semigroup on a finite set Xm={1,2,m}. This paper describes all homomorphisms from Tnto Tmwhen n>m, and gets the conditions that Tmis the homomorphic image of Tn.

Key words:full transformation semigroup; homomorphism; congruences

第14卷第5期2015年9月杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015