一類對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型隨機(jī)觀察下的邊界分紅

張　娜，　王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

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一類對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型隨機(jī)觀察下的邊界分紅

張娜，王秀蓮

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

[摘要]分紅問題是金融保險(xiǎn)研究的重要內(nèi)容之一。針對(duì)帶擾動(dòng)的馬氏對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮了其隨機(jī)觀察下的邊界分紅問題。根據(jù)收益到達(dá)發(fā)生、分紅發(fā)生和環(huán)境狀態(tài)改變3個(gè)因素，利用重期望公式得到了破產(chǎn)前累積分紅折現(xiàn)期望在不同初始盈余下所滿足的積分-微分方程；進(jìn)一步求得了在馬氏過程僅有兩個(gè)狀態(tài)情形下收益為指數(shù)分布時(shí)的累積分紅折現(xiàn)期望。

[關(guān)鍵詞]對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型；馬氏調(diào)制；隨機(jī)觀察；累積分紅折現(xiàn)期望

1引言與模型介紹

經(jīng)典對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型為U(t)=u-ct+S(t)+σW(t),t≥0。針對(duì)此類模型有較多的研究,如:Cremer H[1]研究了經(jīng)典對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型;Zhu Jin-xia等[2]研究了對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率;Ma Xue-min等[3]研究了兩狀態(tài)下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的常數(shù)邊界策略;Andrew C.Y. Ng[4]研究了具有分紅臨界值的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型;Avanzi B等[5-6]研究了對(duì)偶模型最優(yōu)分紅問題。但是這些成果都沒有考慮外部環(huán)境過程對(duì)公司的影響，實(shí)際上，公司的收益到達(dá)過程、收益額大小、擴(kuò)散系數(shù)以及分紅等都會(huì)受外部環(huán)境的影響，因此許多學(xué)者考慮了受馬氏調(diào)制的風(fēng)險(xiǎn)模型，如:Lu Yi[7]研究了馬氏風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)程度;Zhu Jin-xia等[8]研究了馬氏對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)函數(shù)的可微性;Liu Dong-hai等[9]研究了常數(shù)值分紅策略下帶擾動(dòng)的馬氏調(diào)制對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型;Benjamin Avanzi等[10]研究了帶擾動(dòng)對(duì)偶模型的最優(yōu)分紅策略。

分紅問題作為風(fēng)險(xiǎn)模型的重要問題，受到了許多學(xué)者的關(guān)注，然而多數(shù)學(xué)者考慮的分紅關(guān)于時(shí)間都是連續(xù)進(jìn)行的。實(shí)際上，公司可能會(huì)在定期的但不完全確定的時(shí)間下進(jìn)行賬本審核，如每年進(jìn)行一次或每時(shí)期進(jìn)行一次，這樣考慮隨機(jī)觀察下的分紅更為切合實(shí)際。隨機(jī)觀察下的邊界分紅問題是指公司僅在盈余大于常數(shù)值分紅策略b且被觀察者觀察到的情形下進(jìn)行分紅，并將超出b的部分全部分紅。如果公司的資金超過b但未被觀察到，那也就不分紅。如果破產(chǎn)發(fā)生，則保險(xiǎn)公司不再分配紅利。

當(dāng)I(t)=i時(shí),帶擾動(dòng)的馬氏對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型為

則直到破產(chǎn)時(shí)刻的累積分紅折現(xiàn)期望為

其中π=(π1,π2,…,πm)是{I(t),t≥0}的初始平穩(wěn)分布。

2V(u,b)滿足的積分-微分方程

定理1對(duì)于u>b,累積分紅折現(xiàn)期望V(u,b)滿足下面的積分-微分方程

(1)

證明考慮很小的時(shí)間區(qū)間[0，t]，對(duì)于收益到達(dá)發(fā)生、觀察分紅發(fā)生和環(huán)境狀態(tài)改變，有以下5種情形:

(1)在[0，t]內(nèi)無觀察分紅，無環(huán)境狀態(tài)改變，無收益到達(dá)，其概率為(1-γit-αit-λit)；

(2)在[0，t]內(nèi)僅有一次觀察分紅，無環(huán)境狀態(tài)改變，無收益到達(dá)，其概率為γit(1-αit-λit)；

(3)在[0，t]內(nèi)僅有一次收益到達(dá)，無觀察分紅，無環(huán)境狀態(tài)改變，其概率為λit(1-γit-αit)；

(4)在[0，t]內(nèi)僅有環(huán)境狀態(tài)改變，無觀察分紅，無收益到達(dá)，轉(zhuǎn)移到某個(gè)狀態(tài)k的概率為αikt(1-γit-λit)；

(5)在[0，t]內(nèi)有兩個(gè)或更多的情形發(fā)生，其概率為o(t)。

故對(duì)于u>b，有

Vi(u,b)=(1-γit-αit-λit)e-δtVi(u-cit+σiW(t),b)+

γite-δt(u-b+Vi(b,b))+λite-δt∫0+∞Vi(u-cit+σiW(t)+x,b)dFi(x)+

因?yàn)閑-δt=1-δt+o(t)，所以有

(2)

由于

代入(2)式，兩端同時(shí)除以t，并令t→0，即得(1)式，定理得證。

定理2對(duì)于0

邊界條件是

證明在很小的時(shí)間區(qū)間[0，t],對(duì)于收益到達(dá)發(fā)生、觀察分紅發(fā)生和環(huán)境狀態(tài)改變,類似定理1證明中的5種情形。但是對(duì)于情形(2)，其概率為0，因?yàn)閂i(u,b)(i=1,2)為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)0

3兩狀態(tài)情形下收益為指數(shù)分布時(shí)V(u,b)的解

本節(jié)我們只討論狀態(tài)m=2時(shí)的情形。假設(shè)保險(xiǎn)公司的收益額服從指數(shù)分布，且其分布的密度函數(shù)為fi(x)=βie-βix,x>0,其中βi為環(huán)境狀態(tài)為i時(shí)對(duì)應(yīng)的指數(shù)分布的參數(shù)。

將fi(x)代入(1)式,化簡得

對(duì)u求導(dǎo)，化簡得

當(dāng)i=1,2時(shí)，有

γ1+(γ1+δ+α1)β1V1(u,b)-γ1β1(u-b+V1(b,b))+

(3)

(4)

這兩個(gè)非齊次線性微分方程的特解分別為

下面解其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解。令

方程(3)和(4)對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組可以表示為以下矩陣形式

(5)

因此矩陣C的特征多項(xiàng)式為

其中h(x)=h1(x)h2(x),

由上式知,矩陣C的特征多項(xiàng)式是六次多項(xiàng)式。因此假設(shè)|xI-C|=0有6個(gè)特征根,分別為ρ1,ρ2,ρ3,ρ4,ρ5,ρ6,并且每個(gè)特征根ρi所對(duì)應(yīng)的特征向量設(shè)為rj,滿足

因此，(5)式對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組的解為

其中Aj是常系數(shù)。

從而，非齊次方程(3)、(4)的解為

(6)

(7)

下面我們求解系數(shù)Aj。

由Vi(b,b),i=1,2,得

(8)

(9)

(10)

(11)

再把(6)、(7)代入(3)、(4),并且令u=b,化簡得

(12)

(13)

其中

令

其中dj=eρjbrj1,ej=eρjbrj2,fj=ρjeρjbrj1,gj=ρjeρjbrj2,j=1,2,…,6。

方程組(8)—(13)可以轉(zhuǎn)化為矩陣形式，即A=B-1D,這樣可以確定系數(shù)Aj(j=1,2,…,6)。

4結(jié)論

在經(jīng)典對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，從實(shí)際出發(fā)，既考慮收益到達(dá)、分紅和收益額大小受外部馬氏環(huán)境的影響，又考慮分紅在隨機(jī)時(shí)間下進(jìn)行，利用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論，得到了累積分紅折現(xiàn)期望V(u,b)所滿足的積分-微分方程，為進(jìn)一步研究其最優(yōu)分紅問題奠定了一定的基礎(chǔ)。

[參考文獻(xiàn)]

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[責(zé)任編輯：張存鳳]

Border dividend at random observation in a type of dual risk model

ZHANG Na, WANG Xiu-lian

(College of Mathematical Science, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Abstract:The dividends problem is one of the important issues of Finance and Insurance research. This paper considers a border strategy dividends at random observation time in a type of Markov-modulated dual risk model. We use double expectation formula to derive integral-differential equations of the expected discounted dividends until ruin time according to three factors of occurrence of income arrival process, occurrence of dividends and the change of environment state. Further more, we derive the solution of the expected discounted dividends in two state cases when the income distribution is exponential.

Key words:dual risk model;Markov-modulated process;random observation;expected discounted dividends

作者簡介：張娜(1990—)，女，山西省長治市人，天津師范大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)；[通信作者]王秀蓮(1965—)，女，山西省呂梁市人，天津師范大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡S機(jī)過程在金融保險(xiǎn)中的應(yīng)用。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401436)；天津師范大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目(52XB1204)

收稿日期：2015-06-04

[中圖分類號(hào)]O211.67; F840

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1673-2944(2015)06-0073-06